pobierz

Wykład 11
Podstawowe wiadomości z teorii
błędów
Teoria błędów
1
Co pomiar to inny wynik !
65.48, 65.49, 65.52, 65.43, 65.48, 65.57,65.54, 65.53,
65.42, 65.44 metrów
Pytania:
Dlaczego różne wyniki ?
Co jest końcowym wynikiem?
Jaka jest dokładność pomiaru?
Teoria błędów
2
Typy obserwacji
Teoria błędów
3
Obserwacje bezpośrednie
Przykładem pomiaru bezpośredniego
jest kilkakrotny pomiar taśmą
stalową odległości między pewnymi
punktami A i B
Pomiar kąta poziomego
Teoria błędów
4
Obserwacje pośrednie
B
a
β
C
az
a
γ
-b
c
α
b
Celem tego pomiaru jest
wyznaczenie odległości
między punktami A i B
oraz C i B. Punkt B jest
niedostępny, gdyż
znajduje się za rzeką.
W tym celu należy
pomierzyć odległość b
zwaną bazą oraz trzy kąty
w trójkącie.
Z twierdzenia sinusów
można obliczyć odległości
a i c.
Teoria błędów
A
5
Przez obserwacje bezpośrednie, jednakowo
dokładne rozumiemy obserwacje wykonane w
tych samych warunkach, to znaczy, że
obserwator, instrument i środowisko są
niezmienne
Przez obserwacje bezpośrednie nie-jednakowo
dokładne rozumiemy obserwacje bezpośrednie
wykonane w odmiennych warunkach, oznacza
to, że obserwator, instrument lub warunki
środowiska uległy zmianie.
Teoria błędów
6
ŹRÓDŁA
BŁĘDÓW
Osobiste:
- ograniczenia
obserwatora
- nieuwaga
obserwatora
Instrumentalne:
z powodu
niedoskonałości
konstrukcji lub
niedoskonałości
rektyfikacji
instrumentów
Teoria błędów
Naturalne:
z powodu
zmian warunków
środowiska w
jakich pomiar jest
wykonywany
7
Rodzaje błędów
Omyłki lub błędy grube
Błędy systematyczne
Błędy przypadkowe
Teoria błędów
8
Omyłki lub błędy grube
Charakterystyka: ich wielkość jest stosunkowo duża,
mała lub różna w porównaniu do mierzonej wielkości
(obserwacja odstająca).
Źródło błędu: personalne (brak uwagi obserwatora).
Skutek: obserwacje niejednorodne.
Zalecane postępowanie: obserwacja taka musi być
wykryta i usunięta z serii pomiarowej.
Przykład: przy pomiarze odległości ilość przyłożeń taśmy,
w kierunku ‘w tę’ i ‘z powrotem’ w dzienniku pomiarowym
różni się o 1. Popełniono przez to błąd = 20 m.
Teoria błędów
9
Błędy systematyczne
Charakterystyka: występują w deterministyczny sposób,
jeśli znany, to jest możliwość ich wyeliminowania na drodze
rachunkowej.
Źródła błędów: z powodu instrumentów, środowiska,
człowieka bądź ich kombinacji.
Skutek: przesuniecie wszystkich obserwacji, które jeśli jest
stałe to jego wielkość i znak pozostają niezmienne w czasie
pomiaru.
Zalecane postępowanie: koniecznie powinny być
zidentyfikowane i wyeliminowane z wyniku pomiaru.
Jako przykład tego rodzaju błędu może posłużyć błąd
wywołany wydłużeniem lub skróceniem się taśmy mierniczej
pod wpływem temperatury.
Teoria błędów
10
Błędy przypadkowe
Charakterystyka: są to błędy, jakie tkwią w
wyniku pomiaru po usunięciu błędów grubych i
systematycznych. Nie można opisać ich
żadnym modelem deterministycznym. Do ich
modelowania stosuje się jedynie model
stochastyczny.
Źródła błędów: personalne, instrumentalne i
środowisko.
Zalecane postępowanie:
Teoria błędów
11
Błędy przypadkowe
Nie mogą być wyeliminowane z pomiaru,
chociaż można zminimalizować ich wpływ przez
wykonanie dodatkowych obserwacji i
zastosowanie metody zwanej metodą
najmniejszych kwadratów. Proces ten nazywa się
wyrównaniem obserwacji i jest istotnym działem
w nauczaniu geodezji.
Małe rozbieżności między wynikami pomiaru a
jego „prawdziwą” lub oszacowaną wielkością
nazywane są błędami.
Teoria błędów
12
Pomiar czyli obserwacja geodezyjna
Obserwacje (l1, l2, ...ln) są wykonywane
określonymi instrumentami (taśma
stalowa, teodolit….) przez określonego
obserwatora i w określonym środowisku.
Wszystkie obserwacje są obarczone
błędami.
Przez błąd rozumiemy różnice między
obserwacją pewnej wielkości li, a jej
wartością prawdziwą L, która oczywiście
prawie nigdy nie jest znana.
Teoria błędów
13
Błąd prawdziwy i pozorny
Błąd prawdziwy ει = li - L
Ponieważ L nigdy nie jest znane, ε również
nigdy nie jest znane.
Na szczęście obydwie wielkości mogą być
oszacowane. Oszacowanie błędu
prawdziwego nazywa się błędem
pozornym
vi = li – x, gdzie x jest oszacowaniem
wielkości L.
Teoria błędów
14
Oszacowanie mierzonej wielkości
Oszacowanie mierzonej wielkości i jej błędu nie
jest zagadnieniem ani prostym ani łatwym.
Opanowanie tej umiejętności wymaga studiów
z zakresu rachunku wyrównawczego. Tu
przedstawiono elementarne wiadomości z tego
zakresu.
Wykonano n pomiarów wielkości L (l1,l2.....ln).
Intuicyjnie jest zrozumiałym, że średnia
arytmetyczna
n
x=
1
li
∑
n i =1
jest najlepszym oszacowaniem nieznanej
wielkości L.
Teoria błędów
15
Suma vi zawsze jest równa zero
v1 =
v2 =
v3 =
....
....
....
vn =
l1 - x
l2 - x
l3 - x
1 n
x = ∑ li
n i =1
n
nx = ∑ li
i =1
ln - x
n
n
n
n
i =1
i =1
i =1
i =1
∑ vi = ∑ li − nx = ∑ li − ∑ li
∑v = ∑l − n⋅ x
Teoria błędów
16
Własności błędów pozornych
1. Ich suma równa jest zeru,
2. Suma kwadratów błędów pozornych jest
równa minimum, co wyraża wzór:
n
∑v
i
2
= min
i =1
na tym warunku oparta jest metoda
najmniejszych kwadratów opracowana przez
Gaussa i stosowana w rachunku
wyrównania.
Teoria błędów
17
Opracowanie wyników pomiaru
65,40
65.45
65,50
Teoria błędów
65,55
65,60
18
Histogram
Wykres częstości względnych jest graficznym
przedstawieniem funkcji gęstości
prawdopodobieństwa błędów przypadkowych
pomiaru.
Częstość
4
3
2
1
0
65,425
65,475
65,525
65,575
Środki przedziałów w metrach
Teoria błędów
19
Krzywa Gaussa
Wielu uczonych od lat
próbowało opisać
histogram krzywą.
Ostatecznie powszechnie
zaakceptowano model
podany przez Gaussa
(krzywa Gaussa), której
analityczny wzór jest
h −h 2 ε2
f (ε) =
e
π
f(ε)
h
π
-ε
Teoria błędów
+ε
20
Gauss
Carl Friedrich Gauss lived
from 1777 to 1855. Gauss
worked in a wide variety of
fields in both mathematics
and physics incuding
number theory, analysis,
differential geometry,
geodesy, magnetism,
astronomy and optics. His
work has had an immense
influence in many areas.
Teoria błędów
21
Właściwości krzywej Gaussa
Pole pod krzywą jest równe jedności,
Krzywa jest symetryczna względem ε= 0.
Prawdopodobieństwo występowania błędów
dodatnich i ujemnych jest jednakowe,
Prawdopodobieństwo występowania małych
błędów jest bardzo duże,
Prawdopodobieństwo występowania bardzo
dużych błędów jest praktycznie niemożliwe.
Teoria błędów
22
Ocena wyniku pomiaru
Precyzja: pomiaru jest to stopień wzajemnej
bliskości pomiarów tej samej wielkości. Precyzja
pomiaru jest obarczona wpływem tylko błędów
przypadkowych.
Dokładność: stopień zbliżenia pomiarów do
wielkości prawdziwej. Dokładność pomiaru jest
obarczona zarówno błędami przypadkowymi jak i
systematycznymi.
Niepewność: jest to wielkość przedziału wewnątrz
którego mieszczą się błędy pomiarowe.
Teoria błędów
23
Miary Precyzji
Błąd przeciętny
Błąd prawdopodobny
Odchylenie standardowe albo błąd średni
Teoria błędów
24
Błąd przeciętny
próbka losowa
L= niewiadome
L = znane
1 n
∂e = ∑εi
n i =1
1 n
te =
∑ vi
n − 1 i =1
Błąd przeciętny te jest to średnia arytmetyczna
bezwzględnych wartości błędów próbki losowej (serii
pomiarowej)
Teoria błędów
25
Odchylenie standardowe lub błąd
średni
próbka losowa
L= niewiadome
1 n 2
σ =
vi
∑
n − 1 i =1
2
L = znane
1 n 2
σ = ∑εi
n i =1
2
Odchylenie standardowe σ jest definiowane jako
pierwiastek kwadratowy średniej arytmetycznej sumy
kwadratów błędów. Kwadrat odchylenia standardowego σ2
jest zwany wariancją lub błędem średnim kwadratowym.
Teoria błędów
26
Cenna właściwość
prawdopodobieństwo wystąpienia
przypadkowego błędu w przedziale –
σ<ε<σ jest równe 0.683, w
przedziale –2σ<ε<2σ wynosi 0.954,
natomiast w przedziale –3σ<ε<3σ
jest równe 0.997.
W praktyce przedział 3σ jest
uważany jako granica występowania
błędów i uważa się, że obserwacje
obarczone błędami przekraczającymi
te granice powinny być odrzucone
jako obserwacje błędne.
Teoria błędów
f(ε)
-ε
-3σ -2σ -σ
+ε
σ 2σ 3σ
27
Prawo przenoszenia się błędów
Przez przenoszenie się błędów rozumiemy proces polegający na ocenie
błędów obliczonych wielkości niewiadomych Y będących funkcją błędów
wielkości mierzonych L
y = a + bx
Jeśli zastosujemy koncepcję wielkości prawdziwej to zgodnie z tą intencją
można napisać, że
y L = a + b xL
Ponieważ błąd pomiaru jest zdefiniowany jako różnica między wielkością
pomierzoną a wielkością prawdziwą, to
y − y L = b(x − x L )
co w skrócie można napisać w postaci
dy = b dx
σy = b σx
Teoria błędów
28
my = (
∂y 2
∂y 2
∂y 2
2
2
2
) ⋅ mx1 + (
) ⋅ mx2 + ... + (
) ⋅ m xn
∂x1
∂x2
∂xn
n
∑ li
x=
mx = (
i =1
n
=
l1 + l2 + ... + ln
n
m
1 2
1
1
1
2
2
2
) ⋅ ml1 + ( )2 ⋅ ml2 + ... + ( )2 ⋅ mln =
n ⋅ m2 =
n
n
n
n
n
Teoria błędów
29