Lista zadań nr 8 dla kursu z Równań Różniczkowych Cząstkowych

Lista zadań nr 8
dla kursu z Równań Różniczkowych Cząstkowych (MAP 1812)
Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Matematyka, II stopień
rok akademicki 2013/14, semestr zimowy
18 grudnia 2013 r.
8.1. Funkcję ciągłą u określoną na obszarze Ω ⊂ Rn nazywamy subharmoniczną, jeśli dla każdego ξ ∈ Ω nierówność
u(ξ) ¬
1
ωn %n−1
u(x) dSx
S(ξ;%)
jest spełniona dla dostatecznie małych % > 0.
Wykazać, że funkcja subharmoniczna u klasy C 2 spełnia ∆u ­ 0
Wsk. Jest to niemal natychmiastowy wniosek z pewnej równości pojawiającej przy wyprowadzaniu wzoru na funkcję Greena dla kuli.
8.2. Wykorzystując wzór całkowy Poissona wykazać, że jeśli u jest funkcją
klasy C 2 na B(0; a) i harmoniczną na B(0; a), to
uξi (0) =
n
ωn an+1
xi u(x) dSx .
|x|=a
8.3. Wykazać, że jeśli u jest funkcją nieujemną, ciągłą na B(0; a) i harmoniczną
na B(0; a), to spełniona jest nierówność Harnacka1 :
an−2
a − |ξ|
a + |ξ|
u(0) ¬ u(ξ) ¬ an−2
u(0),
(a + |ξ|)n−1
(a − |ξ|)n−1
ξ ∈ B(0; a).
Wsk. Gdy u jest ponadto C 2 na B(0; a), wykorzystać wzór całkowy Poissona wraz z własnością wartości średniej. W ogólnym przypadku, aproksymować kulę mniejszymi kulami.
Dla −∞ < a < b < ∞ definiujemy przestrzeń Hilberta H01 (a, b) jako uzupełnienie przestrzeni C01 ([a, b]) funkcji klasy C 1 na [a, b] przyjmujących wartość zero
na krańcach przedziału, względem normy indukowanej przez iloczyn skalarny
b
u0 (x)v 0 (x) dx.
(u, v) :=
a
Funkcja u : [a, b] → R spełnia warunek Höldera2 z wykładnikiem α, gdzie α ∈
(0, 1], jeśli istnieje stała C > 0 taka, że |u(x) − u(y)| ¬ C|x − y|α dla dowolnych
x, y ∈ [a, b]. Gdy α = 1, mówimy o warunku Lipschitza.
8.4. (a) Wykazać, że elementy przestrzeni Hilberta H01 (a, b)
(i) są funkcjami absolutnie ciągłymi na [a, b], przyjmującymi wartość zero na krańcach przedziału;
1 (Carl
2 Otto
Gustav) Axel Harnack (1851 – 1888), matematyk niemiecki
(Ludwig) Hölder (1859 – 1937), matematyk niemiecki
(ii) spełniają warunek Höldera z wykładnikiem 1/2.
Uwaga. Ogólnie, absolutna ciągłość i warunek Höldera są od siebie
niezależne: funkcja f (x) = x sin (1/x) na (0, 1], f (0) = 0, spełnia
warunek Höldera z wykładnikiem 1/2, lecz nie jest absolutnie ciągła, zaś funkcja g(x) = 1/(ln x) na (0, 1/2], g(0) = 0, jest absolutnie
ciągła, lecz nie spełnia warunku Höldera z żadnym wykładnikiem.
Natomiast warunek Lipschitza na przedziale zwartym pociąga absolutną ciągłość.
(b) Wykazać, że
H01 (a, b) ,→ C([a, b]),
gdzie C([a, b]) oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na [a, b] z
normą supremum. Oznacza to, że istnieje stała M > 0 o tej własności,
że dla każdej funkcji u ∈ H01 (a, b) zachodzi
kukC([a,b]) ¬ M kukH01 (a,b) .
Uwaga. Powyższa własność jest (raczej trywialnym) przykładem
twierdzenia Sobolewa3 o włożeniu.
8.5. Wykazać, że funkcja u ∈ L2 (0, π) należy do H01 (0, π) wtedy i tylko wtedy,
gdy dla jej rozkładu na szereg sinusów,
u(x) ∼
∞
X
cn sin (nx),
n=1
zachodzi
∞
X
n2 (cn )2 < ∞.
n=1
Wsk. Najwygodniej jest przedłużyć funkcję w sposób nieparzysty na przedział (−π, π), i sprowadzić zagadnienie do szeregów Fouriera funkcji i jej
pierwszej pochodnej.
3 Siergiej
Lwowicz Sobolew (1908 – 1989), matematyk rosyjski