x fxxf

Metody Optyczne
w Technice
Wykład 10
Informatyka optyczna
Informatyka optyczna
a inne dziedziny nauki i techniki
Teoria
elementów
optycznych i
optoelektr.
Fizyka ciała
stałego i
ciekłych
kryształów
Teoria
sygnałów i
układów
Optyka
Eletronika
Optoeletronika
Informatyka
optyczna
Teoria
informacji
Zastosowania
informatyki optycznej
Analiza częstościowa układów
optycznych
Wizualizacja obiektów
fazowych
Poprawianie obrazów
Realizacja operacji
matematycznych i
logicznych
Informatyka
optyczna
Rozpoznawanie i klasyfikacja
obrazów
Właściwości
informatyki optycznej
• Fala świetlna jako nośnik informacji
• Informacja kodowana w amplitudzie, fazie,
częstości, natężeniu, stanie polaryzacji
– sygnał optyczny
• Sygnał jest dwuwymiarowy (x,y) (sygnał
elektryczny jest jednowymiarowy (t) )
• Podstawą przetwarzania sygnały staje się
przekształcenie Fouriera (analiza fourierowska)
Sygnał optyczny
• Funkcje specjalne:
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Funkcja stała
Skok jednostkowy
Signum
Funkcja prostokątna (rectus)
Funkcja trójkątna
Funkcja kołowa (circus)
Sincus
Sombrero (funkcja Bessela 1. rodzaju i 1. rzedu)
Delta Diraca
Funkcja grzebieniowa (combus)
Funkcje sinc i somb
Funkcja delta Diraca
 ( x)  0
dla x  0

• Właściwość próbkowania
• Właściwość filtracji
  ( x)dx  1

f ( x) ( x)  f 0 ( x)

 f ( x) ( x)dx  f 0
• Właściwość skalowania

 x  x0 
  b  x  x0 
 b 

 cx  x0  
x 
1 
x 0 
c
c 
Sygnał optyczny
• Operacje
– Splot
– Korelacja wzajemna i autokorelacja
– Dwuwymiarowe przekształcenie Fouriera
– Przekształcenie Fouriera-Bessela
– Przekształcenie Hilberta
– Przekształcenie Mellina
Splot

f ( x)  g ( x) 
 f ( x' ) g ( x  x' )dx'

• Operacja przemienna, łączna, rozdzielna
względem dodawania
• Operacja niezmiennicza względem przesunięcia
• Funkcja wynikowa jest wygładzona i rozmyta
• Operacja splotu polega na wstawieniu w każdym
punkcie jednej funkcji całego przebiegu drugiej
funkcji a następnie scałkowaniu wyniku
Korelacja

f ( x)g ( x) 
 f ( x' ) g ( x' x)dx'

• Brak przemienności
• Korelacja jest wypikowana tym bardziej im
bardziej podobne są sygnały
• Jeśli f(x)=g(x) korelacja staje się autokorelacją
Przekształcenie Fouriera
 f ( x, y )  F ( f x , f y ) 

 f ( x, y ) e

 2i xf x  yf y

dxdy

1


 F ( f x , f y )  f ( x, y ) 

 F( f
x
, f y )e

2i xf x  yf y

df x df y

• Transformacja Fouriera przyporządkowuje
funkcji f(x,y) nieskończony ciąg funkcji sinus i
cosinus; F jest amplitudami kolejnych funkcji,
zaś fx ich częstościami
Przekształcenie Fouriera
• Operacja liniowa
• Przeskalowanie współrzędnych (x,y) a razy
powoduje przeskalowanie częstości (fx,fy) oraz
amplitud F 1/a raza
• Transformata splotu dwóch funkcji jest równa
iloczynowi ich transformat i odwrotnie
• Całka z kwadratu funkcji w (x,y) jest równa
całce z kwadratu jej transformaty
Przekształcenie Fouriera
rect ( x, y )  sinc( f x , f y )
 ( x, y )  1( f x , f y )
1( x, y )   ( f x , f y )
comb( x, y )  comb( f x , f y )
circ ( x, y ) 
J1 (2 )

gdzie  
f x2  f y2
Przekształcenie Hilberta
 f x    x  
f  x '
dx'

  x' x
1
1  x   f x  

f  x '
dx'

  x' x
1

• Teoretyczna podstawa cieniowych metod
wizualizacji przedmiotów fazowych
• Optyczne rozpoznawanie obrazów
• Optyka Hilberta
Przekształcenie Mellina

FM ( s ) 

f ( x) x s 1dx
0
c  i
1
s
f ( x) 
F
(
s
)
x
ds
M

2i c i
• Poprawianie obrazów zniekształconych
czynnikami o charakterze nieinwariantnym
przestrzennie
• Optyczne metody rozpoznawania obrazów
nieczułe na zmianę skali obiektu
Twierdzenie o próbkowaniu
• Funkcja g(x,y) której transformata G(fx,fy) jest
równa zeru dla |fx max|>A; |fy max|>B jest
jednoznacznie i całkowicie określona przez
zbiór swoich wartośći (próbek) w punktach
odległych od siebie o stałe odstępy x<1/2A;
y<1/2B odpowiednio w kierunkach osi x i y.


x y
g ( x, y )  comb ,  g ( x, y )  h( x, y )
a b


gdzie h( x, y )  H ( f x , f y )  2 A2 B sinc2 Ax sinc2 By 
Układy liniowe niezmiennicze
przestrzennie
• Suma dwóch sygnałów poddanych operacji
liniowej będzie sumą tych sygnałów
poddanych owej operacji z osobna
• Każdy punkt sygnału wejściowego jest
poddawany operacji w ten sam sposób (kształt
odpowiedzi nie zależy od przesunięć sygnału
wejściowego)
Odpowiedź impulsowa
• Odpowiedź impulsowa to sygnał wyjściowy
układu (operacji) jeśli sygnałem wejściowym jest
punkt (delta Diraca)
• Ponieważ każdą funkcję można zapisać jako jej
splot z funkcją delta Diraca (każdy obiekt składa
się z punktów) oraz zakładamy izoplanatyczność
sygnał wyjściowy będzie splotem odpowiedzi
impulsowej i obrazu idealnego
• Odpowiedź impulsowana nazywana jest też
funkcją rozmycia punktu (ang. Point spread
function, PSF)
Funkcja przenoszenia
• Jeśli sygnałem wejściowym jest sygnał
sinusoidalny o amplitudzie A, to sygnał
wyjściowy będzie charakteryzowała amplituda
B. Stosunek B/A w zależności od częstości
sygnału wejściowego nazywamy funkcją
przenoszenia układu
• Funkcja przenoszenia jest transformatą
Fouriera odpowiedzi impulsowej
Odpowiedź impulsowa
wolnej przestrzeni
eikz 2ikz x 2  y 2 
e
hF ( x, y ) 
iz
u ( x, y, z )  u ( x, y,0)  hF ( x, y )
• Wolna przestrzeń ma ograniczoną funkcję
przenoszenia – część częstości przestrzennych
nie jest przenoszona!
Soczewka
• Soczewka w swoim ognisku realizuje
transformatę Fouriera
• Dzieje się tak przy założeniu nieskończonych
rozmiarów przestrzennych soczewki. W
rzeczywistości transformata Fouriera sygnału jest
spleciona z transformatą Fouriera apertury
(kształtu) soczewki
• Soczewka sferyczna realizuje transformatę
dwuwymiarową, soczewki cylindryczne realizują
transformatę w jednym wymiarze.
Soczewka jako element
odwzorowujący
• Soczewka obrazuje ostro elementy spełniające
równanie soczewkowe: 1/x+1/y=1/f
• Odpowiedzią impulsową idealnej
(bezaberacyjnej, nieskończonej) soczewki jest
punkt czyli delta Diraca. W rzeczywistych
przypadkach dobrym przybliżeniem jest
transformata Fouriera funkcji apertury
• W przypadku, gry apertura ma kształt koła
odpowiedzią impulsową jest więc funkcja J1 (2 )

nazywana plamką Airy
Soczewka jako element
odwzorowujący
Filtracja przestrzenna
• Jeśli z widma przestrzennego sygnału (w
ognisku soczewki) przesłonimy część widma, a
następnie
odtworzymy
obraz uzyskamy
tzw. filtrację
przestrzenną
obrazu
Filtracja przestrzenna
Filtracja dolnoprzepustowa
• Niskie częstości przestrzenne związane są z
małymi częstościami sygnału sinusoidalnego, a
więc dużymi szczegółami i jednorodnie
oświetlonymi przestrzeniami
• Filtracja dolnoprzepustowa powoduje więc
rozmazanie (uśrednienie) obrazu
Filtracja dolnoprzepustowa
Filtracja górnoprzepustowa
• Wysokie częstości przestrzenne odpowiadają
dużym częstością sygnału sinusoidalnego, więc
drobnym szczegółom
• Filtracja górnoprzepustowa pozostawia w
obrazie jedynie krawędzie
Filtracja górnoprzepustowa
Hologramy
• Hologramy to obrazy interferencyjne dwóch
fal (przedmiotowej i odniesienia) zapisane w
postaci natężeniowej na kliszy fotograficznej
• Właściwością hologramu jest fakt, że po
wywołaniu i oświetleniu falą identyczną z falą
odniesienia odtwarza się fala przedmiotowa w
formie zbieżnej (obraz rzeczywisty) i rozbieżnej
(obraz urojony)
Korelator Van der Lugta
• Hologram można wykorzystać do
wyszukiwania znanego kształtu na obrazie.
• Jeśli oświetlimy hologram zawierający
zapisany w wiązce przedmiotowej znany
kształt sygnałem w którym chcemy go
wyszukać odtworzy się korelacja tych
sygnałów wypikowana w punktach, gdzie
znajduje się szukany kształt
Przestrzenne Modulatory Światła
(SLM)
• Istnieją urządzenia ciekłokrystaliczne, które w
każdym pikselu w miejsce natężenia światła
wyświetlają obszar o zadanym przesunięciu
fazowym. W ten sposób można dowolnie ustalać
fazę sygnału
• Analogicznie istnieją modulatory amplitudy (co
jest zadaniem dużo łatwiejszym technologicznie)
• Pozwala to na komputerowe tworzenie
dowolnego sygnału optycznego
Przestrzenne Modulatory Światła
(SLM)
Matryce światłoczułe
• CCD i CMOS
• Matryce są czułe na natężenie a nie na barwę,
dlatego w aparatach i kamerach kolorowych
stosuje się filtry rozdzielając ekspozycję w
czasie lub przestrzeni (3 matryce)
Mnożenie sygnałów optycznych
• Mnożenie realizuje się przez umieszczenie
przeźroczy sygnałowych jeden za drugim
• Aby uniknąć możliwości ich uszkodzenia
można za pomocą soczewki zobrazować jeden
z nich na drugim (w układzie 2f-2f)
Dodawanie sygnałów optycznych
• Przeźrocze wejściowe zawiera sygnały g i f,
które są rozdzielone przestrzennie
• W przestrzeni fourierowskiej (ognisku
soczewki) wstawiamy siatkę dyfrakcyjną
przesuwającą obrazy (widma) o 
• Po odtworzeniu obrazy g i f nakładają się na
siebie w zależności od  w fazie albo w
przeciwfazie tworząc f+g lub f-g
Różniczkowanie
nm


d
n m n m
1
f ( x, y )   2i  f x f y  f ( x, y)
n
m
dx dx
• W płaszczyźnie wejściowym sygnał f(x,y) w
przestrzeni fourierowskiej (ognisku soczewki)
nm n m


u
(
x
,
y
)


2

i
fx f y
filtr
uzyskujemy w płaszczyźnie wyjściowej sygnał
zróżniczkowany
Całkowanie
• Jeśli pole o transmitancji f(x,y) umieścimy w
przedmiotowym ognisku soczewki w ognisku
obrazowym uzyskamy całkę oznaczoną (w
granicach określonych aperturą soczewki)
funkcji f(x,y)
• W układzie procesora 4f używając filtra o
transmitancji ~1/fxfy w płaszczyźnie
wyjściowej otrzymamy całkę nieoznaczoną
sygnału wejściowego
Inne operacje realizowalne
optycznie
•
•
•
•
•
•
Splot
Korelacja
Mnożenie macierzy
Rozpoznawanie obrazów
Równania różniczkowe i całkowe
Operacje nieliniowe
– Przetwarzanie logarytmiczne
– Potęgowanie optyczne
– Selekcja zakresów intensywności
Wizualizacja przedmiotów
fazowych
• Interferencyjna
• Oparta na filtracji przestrzennej
– Rozkład natężenia światła w obrazie jest
proporcjonalny do funkcji opisującej zmiany fazy w
przedmiocie
– Zasada polega na przesunięciu w przestrzeni
widmowej obrazów wyższych rzędów (zależnych
od fazy) w ten sposób aby interferowały one
destruktywnie z obrazem podstawowym
– Powszechnie używana w mikroskopii
Wizualizacja przedmiotów
fazowych
Zwielokrotnianie obrazów
• Filtr próbkujący widmo przedmiotu
• Hologram wielu źródeł światła
• Hologram przedmiotu przy użyciu wielu
wiązek odniesienia
Magazynowanie danych
• Płyta CD, DVD, Blu-ray (δx = λ/NA)
Płyty kompaktowe
Przykładowe
pytania na egzaminie
1.
Co to jest promieniowanie elektromagnetyczne? Co to jest promieniowanie
optyczne? Co to jest światło?
2. Opisz znaczenie pojęć: rozpraszanie, absorpcja, dyspersja, interferencja,
dyfrakcja, refrakcja, polaryzacja
3. Opisz zasadę tworzenia obrazów przez soczewkę, co to jest obraz pozorny i
rzeczywisty?
4. Opisz działanie interferometru Michelsona, jakie są warunki powstania prążków
interferencyjnych?
5. Opisz właściwości światła laserowego, co to są mody?
6. Na czym polega opis fotometryczny światła?
7. W jaki sposób można optycznie mierzyć duże i małe odległości? Opisz zasady
działania proponowanych urządzeń.
8. Na czym polega działanie płytek falowych, jak wpływają one na polaryzację
światła?
9. Co to jest generacja drugiej harmonicznej? W jakich warunkach można
doprowadzić do tego zjawiska?
10. Co to jest odpowiedź impulsowa i w jaki sposób można ja wykorzystać w
optycznym przetwarzaniu sygnałów?