AS/ Estymacja widma na podstawie Transformaty Fouriera

AS/ Estymacja widma na podstawie
Transformaty Fouriera
Dyskretna Transformata Fouriera (DFT)
W praktycznych zastosowaniach mamy do czynienia z sygnałami próbkowanymi o skończonej
długości. Transformata Fouriera działąjąca na takich sygnałach nazywana jest Dyskretną
Transformatą Fouriera, a algorytm najczęściej wykorzystywany do jej obliczania to szybka
trasnsformata Fouriera (fast Fourier transform FFT). Formułę na współczynniki FFT można
otrzymać z szeregu Fouriera. Załóżmy, że sygnał który chcemy przetransformować składa się z
próbek.
i próbki pobierane były co
sekund. Zakładamy, że analizowany sygnał to jeden okres
nieskończonego sygnału o okresie
. Wprowadźmy oznaczenie:
.
Przepiszmy wzór na współczynniki szeregu Fouriera
Ponieważ sygnał jest teraz dyskretny, całka zamieni się na sumę pól prostokątów o bokach równych
wartości funkcji podcałkowej w zadanych punktach
:
i odległości między punktami
Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów
Dla sygnałów dyskretnych obliczamy Dyskretną Transformatę Fouriera (omawianą też szerzej na
ćwiczeniach). Kwadrat jej modułu to inaczej periodogram, czyli estymata gęstości widmowej mocy
dla sygnałów dyskretnych.
Sygnały z którymi mamy do czynienia w praktyce są nie tylko dyskretne, ale też skończone.
Obliczanie transformaty Fouriera dla skończonego odcinka niesie ze sobą dodatkowe komplikacje.
Znamy wartości sygnału
prostokątnym
:
dla
. Odpowiada to iloczynowi sygnału
z oknem
W efekcie (patrz twierdzenie o splocie) otrzymujemy splot transformaty Fouriera sygnału
(nieskończonego) z transformatą Fouriera okna
. Na przykład dla okna prostokątnego będzie to
funkcja postaci
, która może wprowadzić w widmie sztuczne oscylacje, które mylnie
możemy zidentyfikować z pikami widma. Dlatego w praktyce stosujemy okna o łagodniejszym
przebiegu transformaty Fouriera. Czyli:
1. Obliczamy iloczyn sygnału
z wybranym oknem
, dopasowanym do jego rozmiaru
2. Obliczamy periodogram sygnału
W ogólnym rzypadku, biorąc pod uwagę normalizację okna
dostajemy widmo mocy sygnału okienkowanego:
Przy założeniu stacjonarności sygnału możemy obliczyć widmo testowaną na ćwiczeniach metodą
Welcha, według której dzielimy sygnał na zachodzące na siebie odcinki, każdy odcinek mnożymy
przez okno
po czy otrzymane widma uśredniamy. W ten sposób dla każdej częstości mamy po
kilka estymat mocy widmowej, wyliczonych z kolejnych odcinków, co pozwala na oszacowanie błędu
estymaty.