zastosowanie funkcji radialnych w analizie statycznej belki

zastosowanie funkcji radialnych w analizie statycznej belki

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X
ZASTOSOWANIE FUNKCJI RADIALNYCH
W ANALIZIE STATYCZNEJ BELKI
Leszek Majkut1a
1
a
AGH Akademia Górniczo – Hutnicza, Katedra Mechaniki i Wibroakustyki
[email protected]
Streszczenie
W pracy opisano bezsiatkową metodę kolokacyjną Kansy i jej zastosowanie w analizie statycznej belki. W analizie zastosowano funkcję wielokwadratową, opisano metodę doboru wartości parametru kształtu oraz podano
współczynniki korygujące wyniki analizy w przypadku wymuszenia punktowego. Wszystkie wyniki porównano
z wynikami analitycznymi z zastosowaniem siedmiu różnych błędów względnych pozwalających ocenić jakość
aproksymacji.
Słowa kluczowe: metody bezsiatkowe, linia ugięcia, aproksymacja
STATIC ANALYSIS OF THE BEAM LIKE STRUCTURES
WITH RADIAL BASED FUNCTION
Summary
The work concerns the static analysis of the Bernoulli-Euler beam with the Radial Based Functions. The Kansa
collocation method was used for determination deflection, slope, bending moment and shear force of the beam. All
results were compared with analytical ones. All results indicate that using of multiquadric (MQ) RBF provide
a results with very high accuracy in comparison to analytical results in static analysis of beam-like structural
components.
Keywords: meshfree methods, beam deflection, approximation
1.
WSTĘP
Modelowanie matematyczne układów mechanicznych
prowadzi zazwyczaj do układu równań różniczkowych
zwyczajnych lub cząstkowych, który łącznie z warunkami brzegowymi stanowi problem początkowo-brzegowy.
Tradycyjne metody numeryczne rozwiązania takiego
problemu wymagają podziału na elementy: całego analizowanego obszaru, w metodach takich jak metoda różnic
skończonych (MRS), metoda elementów skończonych
(MES) czy metoda objętości skończonych (MOS), lub
jedynie brzegu obszaru w metodach takich jak metoda
elementów brzegowych (MEB). Olbrzymi nakład pracy
włożony w rozwój MES uczynił z niej najbardziej popularną, a nawet podstawową, metodę przybliżonego
rozwiązania problemów początkowo-brzegowych.
Największy problem z zastosowaniem metod wymagających siatki elementów to definicja właśnie siatki.
Generacja modelu składającego się z kilku czy kilkunastu
tysięcy elementów o różnych kształtach, wielkościach
i orientacji nie jest łatwa i jest czasochłonna. Ze względu
na obniżające się koszty obliczeń komputerowych generacja siatki staje się głównym składnikiem kosztów
analizy numerycznej układów mechanicznych.
Metody przybliżonego rozwiązania problemu początkowo-brzegowego niewymagające siatki elementów to
tzw. metody bezsiatkowe. Metody te podzielić można na
dwa typy: metody obszarowe, m.in. bezelementowa
metoda Galerkina [1], metoda interpolacji punktowej
[12], metoda funkcji Rvacheva [13] i metody brzegowe,
do których należą m.in. metoda węzłów brzegowych [8],
metoda parametrycznych układów równań całkowych
(PURC) [16]. W obu typach metod punkty kolokacyjne
umieszczone są w całym analizowanym obszarze lub
jedynie na jego brzegu. Większość wymienionych metod
jest bezsiatkowa jedynie w sensie interpolacji rozwiązania, niezbędne są natomiast „komórki” wykorzystywane
134
Leszek Majkut
do całkowania słabego sformułowania wariacyjnego
problemu.
Innym podejściem poszukiwania przybliżonego rozwiązania problemu początkowo-brzegowego jest metoda
Kansy [6], bazująca na sformułowaniu silnym i radialnych funkcjach bazowych (RFB). Metoda ta nie wymaga
zastosowania jakichkolwiek elementów czy komórek,
dlatego też zwana jest metodą „prawdziwie” bezsiatkową.
W ciągu ostatnich 20 lat kolokacyjna metoda Kansy
znalazła zastosowanie do rozwiązania wielu różnych
problemów mechaniki, m. in. analizy dwu- i trójfazowych
modeli tkanki [4], symulacji prądów i pływów wód
płytkich [5], problemów wymiany ciepła [15], analizy
równań Naviera-Stokesa [2], analizy pola elektromagnetycznego [11], problemów związanych z optymalizacją
[9] i wielu innych.
Sukces metod związanych z zastosowaniem RFB wiąże się z ich podstawową własnością polegającą na transformacji problemów wielowymiarowych do problemów
jednowymiarowych. W niniejszej pracy zastosowano
kolokacyjną metodę Kansy wraz z wielokwadratową
(ang. multiquadric) radialną funkcją bazową do analizy
statycznej belki. W celu wykazania poprawności i dokładności proponowanej metody obliczeń wszystkie
wyniki analizy przybliżonej porównano z wynikami
uzyskanymi metodą analityczną.
Przy stosowaniu funkcji wielokwadratowej bardzo
istotne jest wyznaczenie tzw. parametru kształtu, od
którego zależy kształt funkcji bazowej. W pracy zaproponowano metodę wyboru „optymalnego” parametru
kształtu, która związana jest z analizą aproksymacyjną
funkcji wymuszenia.
Problem ugięcia belki był już przedmiotem analizy
np. [10], natomiast według wiedzy autora niniejsza praca
jest jedyną, w której analizowane jest wymuszenie siłą
skupioną.
Funkcja radialna to każda funkcja jednej zmiennej
postaci:
(
gdzie:
x−xj
)
Tab. 1. Bazowe funkcje radialne o zwartym nośniku
wymiar przestrzeni definicja funkcji
φ(r) = (1 − r )+
punktami x (współrzędna niezależna funkcji radialnej
(1)) i xj. Punkt xj jest nazywany jest centrum funkcji
radialnej (1). Zmieniając położenia centrów, otrzymuje
się rodzinę funkcji, która tworzy bazę stosowaną do
interpolacji lub aproksymacji dowolnej funkcji.
Każdą z funkcji bazowych postaci (1) zaliczyć można
do jednej z dwóch kategorii: funkcje o zwartym nośniku,
tj. funkcje, które są różne od zera jedynie w sferze
(
)
φ(r) = (1 − r )+5 8r 2 + 5r +1
φ(r) = (1 − r )
2
+
φ(r) = (1 − r )+ (4r +1)
4
d = 2,3
(
)
φ(r) = (1 − r )+6 35r 2 +18r + 3
gdzie:
(1 − r )n , dla r ∈ 0,1
φ(r) = (1 − r )+n = 
0,
dla r > 1
W tabeli 2 zawarto przykłady funkcji o nośniku nieograniczonym.
Tab. 2.
Bazowe funkcje radialne o nośniku nieograniczonym
definicja funkcji
nazwa funkcji
φ (r ) = r
liniowa
φ (r ) = r 3
sześcienna
φ (r) = r 2 + c 2
wielokwadratowa
φ(r) = r 2 lnr
cienkiej płyty
φ (r) =
1
2
r +c
2
− cr 2
wielokwadratowa
wrotna
od-
Gaussa
Ze względu na dużą popularność w zastosowaniach
oraz dobre własności aproksymujące w pracy zastosowano funkcję wielokwadratową, która w przypadku 1D ma
postać:
φ j (r ) =
(1)
jest Euklidesową odległością pomiędzy
φ(r) = (1 − r )+3 (3r + 1)
d=1
φ (r) = e
2. RADIALNE FUNKCJE
BAZOWE
φ j (r ) = φ x − x j
o promieniu r (najczęściej r = 1) lub funkcje o nośniku
nieograniczonym (r → ∞).
Najczęściej stosowanymi funkcjami z pierwszej kategorii są, zamieszczone w tabeli 1, funkcje Wendlanda
[14].
(x − x j )2 + c 2
(2)
Jak wspomniano wcześniej, kształt funkcji (2) zależy
od parametru kształtu c. Wraz ze wzrostem jego wartości funkcja (2) staje się coraz bardziej płaska, przez to
mało wrażliwa na zmiany odległości pomiędzy punktem
x i centrum funkcji radialnej xj. Problem doboru wartości
parametru c jest jak dotąd nierozwiązany.
135
ZASTOSOWANIE FUNKCJI RADIALNYCH W ANALIZIE STATYCZNEJ BELKI
3. METODA KOLOKACYJNA
KANSY
Analizowany problem początkowo brzegowy opisany
jest równaniem postaci:
Lu = f (x ), x ∈ Ω
(3)
tnącej belki opisanej modelem Bernoullego-Eulera. Ze
względu na to, że celem pracy jest wykazanie poprawności i dokładności metody bezsiatkowej, wszystkie opisane
powyżej wielkości zostały wyznaczone w 200 punktach
belki metodą przybliżoną i metodą analityczną.
Linia ugięcia w(x) belki opisana jest równaniem:
EI
d 4 w( x)
dx 4
wraz z warunkami brzegowymi postaci:
Bu = g ( x ), x ∈ Γ
(4)
gdzie: L jest liniowym operatorem różniczkowym, B jest
operatorem opisującym warunki brzegowe, Ω to analizowany obszar, Γ to brzeg tego obszaru.
Idea metody Kansy polega na aproksymacji rozwiązania problemu początkowo-brzegowego (3) i (4) za
pomocą sumy szeregu rodziny funkcji radialnych tj.:
N
uˆ =
∑α
j
φ j (r )
= f 0 ( x)
(9)
gdzie: EI to sztywność na zginanie, f0(x) to obciążenie
zewnętrzne na jednostkę długości belki
Funkcja w(x) z równania (9) musi dodatkowo spełniać warunki brzegowe. W pracy analizowano typowe
warunki brzegowe belki, tj. utwierdzenie (w = 0
i w' = 0), swobodne podparcie (w = 0 i w'' = 0) i wolny
koniec (w'' = 0 i w''' = 0).
4.1 ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE
(5)
j=1
Współczynniki αj wyznacza się w procedurze kolokacji. W tym celu należy wybrać zbiór No punktów {x1, x2,
…, xNo} należących do obszaru Ω, w których żąda się, by
przybliżone rozwiązanie (5) spełniało równanie (3):
N
Luˆ = f ( x i ) ⇔
∑α
j
L φ j (ri ) = f ( x i )
Funkcje linii ugięcia, stycznej, momentu gnącego
i siły poprzecznej są opisane przez:
(
w( x) = 1 / EI f 4 ( x ) + C1 x 3 / 6 + C 2 x 2 / 2 + C3 x + C 4
(
w' ( x) = 1 / EI f 3 ( x) + C1 x 2 / 2 + C 2 x + C3
EI w' ' ( x ) = f 2 ( x) + C1 x + C 2
(6)
- linia ugięcia
- styczna
- moment gnący
EI w' ' ' ( x) = f1 ( x) + C1
j=1
)
)
- siła tnąca
l
Podobnie należy wybrać zbiór Nb punktów {xNo+1,
xNo+2, …, xNo+Nb} na brzegu Γ analizowanego obszaru.
W tych punktach muszą zostać spełnione równania
warunków brzegowych (4):
N
∑α
j
B φ j (ri ) = g ( x i )
Równania (6) i (7) stanowią liniowy układ równań,
który zapisać można w postaci macierzowej:
(8)
Aα = f
Z układu (8) wyznaczyć można poszukiwane współczynniki αj. W przypadku, gdy suma liczb wybranych
punktów obszaru Ω tj. No i liczby punktów brzegowych
Nb jest równa liczbie punktów centralnych N (No+
Nb=N) układ (8) rozwiązać można, stosując eliminację
Gaussa, w przypadku gdy No+ Nb > N układ (8) jest
układem nadokreślonym i należy poszukiwać rozwiązania
metodą najmniejszych kwadratów, np. stosując rozkład
SVD.
ANALIZA STATYCZNA BELKI
W pracy przez analizę statyczną rozumiane jest wyznaczenie linii ugięcia, kątów obrotu przekrojów (stycznej do linii ugięcia), przebiegu momentu gnącego i siły
∫ f ( x) , i = 1,2,3,4. Stałe C -C
1
i
4
0
zależą od warunków brzegowych.
4.2 ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE
(7)
j=1
4.
w równaniach f i −1 ( x ) =
Zgodnie z metodą Kansy równanie linii ugięcia belki
(9) może być zapisane w postaci:
N
EI
∑
j=1
αj
d4
dx
4
(x − x j )2 + c 2
x = xi
= f 0 ( x i ) (10)
gdzie: xi to współrzędne punktów kolokacyjnych
i = 1,2,..., No, xj to współrzędne centrów wielkokwadratowych funkcji radialnych xj = 1,2,...N.
We wszystkich analizowanych w pracy przypadkach
przyjęto jedną wartość parametru kształtu dla wszystkich funkcji bazowych, tj. cj = c. Punkty kolokacyjne
{xi}, w każdym z analizowanych przypadków były
równomiernie rozłożone wzdłuż długości belki.
Dla każdego i równanie (10) opisuje i-ty wiersz macierzy A z równania (8), 4 ostatnie wiersze tej macierzy
zależą od równań opisujących warunki brzegowe.
Po wyznaczeniu współczynników αj, możliwe jest wyznaczenie linii ugięcia, stycznej, momentu gnącego i siły
poprzecznej, które opisane są odpowiednio funkcjami:
136
Leszek Majkut
∑α (x − x )
N
2
j
j
+ c2
- linia ugięcia
j =1
(x − x j )
N
∑
d
w' ( x) =
αj
dx
j =1
2
∑α
d
2
j
dx 2
∑α
d3
j =1
N
EI w' ' ' ( x) =
j =1
17
+c
14
2
x 10
- styczna
12
N
EI w' ' ( x) =
uwarunkowania macierzy aproksymacyjnej w funkcji
parametru kształtu pokazano na rys. 2
j
dx 3
(x − x j )2 + c 2
(x − x j )
2
+c
- moment gnący
2
- siła tnąca
wskaźnik uwarunkowania
w( x ) =
10
8
6
4
W przypadku wymuszenia punktowego każda z powyższych funkcji musi zostać pomnożona przez współczynnik korekcyjny, równy 1/d, gdzie d jest średnią
odległością pomiędzy punktami kolokacyjnymi.
Dobór „optymalnej” wartości parametru kształtu
jest, jak dotąd, nierozwiązanym problemem. Szczegółowy
przegląd różnych strategii pozwalających na wyznaczenie
tego parametru znaleźć można w pracy [3].
W niniejszej pracy autor proponuje inną metodę
opartą na wyznaczeniu aproksymacji funkcji wymuszenia
f0(x) z równania (10), wraz z uwzględnieniem warunków
brzegowych, dla różnych c. Za wartość „optymalną”,
w proponowanej metodzie przyjmuje się tę wartość
parametru c, dla której błąd zdefiniowany równaniem
(11) osiąga minimum.


RMS =

x =0 
l
N
∫ ∑α
j =1
(x − x j )
d4
j
2
dx 4
2

+ c − f ( x i ) / EI  dx (11)


2
2
0
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
parametr kształtu
Rys. 2. Zmiana wartości wskaźnika uwarunkowania
w funkcji parametru kształtu c wyznaczone dla belki swobodnie podpartej z obciążeniem opisanym funkcją liniową
4.3 PORÓWNANIE WYNIKÓW
ANALIZY
W celu oceny „jakości” wyników aproksymacji autor
zdefiniował następujące błędy względne (subskrypt
a oznacza wyniki analizy analitycznej, subskrypt p –
analizy przybliżonej, każdą z funkcji wyznaczono
w = 200 punktów):
(11)
E1 =
Na rys. 1 pokazano przykład zmian błędu (11)
w funkcji parametru kształtu
max wa − max w p
max wa
E2 =
⋅100% ,
max w′a′ − max w′p′
max wa′′
5
⋅100% ,
Błędy E1 i E2 związane są z maksymalnymi wartościami odpowiednio strzałki ugięcia i maksymalnego
momentu gnącego.
4.5
4
3.5
RMS
3
∑ (w
n
2.5
i −1
E3 =
2
a ( xi ) − w p ( xi )
l
∫ (w
1
0.5
0
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
E4 =
0.5
,
n
1.5
a
)
− w p 2 dx
⋅100% ,
0
l
∫ (w
parametr kształtu
Rys. 1. Zmiana wartości błędu aproksymacji (11) w funkcji parametru kształtu c wyznaczone dla belki swobodnie
podpartej z obciążeniem opisanym funkcją liniową
)2
a
)
2
dx
0
l
Górnym ograniczeniem wartości c jest wartość
wskaźnika uwarunkowania macierzy aproksymacji.
Standardowe biblioteki algebry liniowej prowadzą do
niestabilności rozwiązania, gdy wskaźnik uwarunkowania
osiąga wartość rzędu 1017 [3]. Zmiany wartości wskaźnika
137
∫ (w
E5 =
a
− wp
)2 + (wa′ − w′p )2 dx
0
∫(
l
w a2
0
+ wa′ 2
)dx
⋅100% ,
ZASTOSOWANIE FUNKCJI RADIALNYCH W ANALIZIE STATYCZNEJ BELKI
ugięcie
styczna
0.05
0
0
-0.02
-0.05
-0.04
-0.1
-0.06
l
∫ L dx
1
E6 =
0
∫ (w
)
l
+ wa′ 2 + w′a′ 2 dx
-0.15
0
(
2
a
⋅ 100% ,
L1 = wa − w p
) + (w′a − w′p ) + (w′a′ − w′p′ )
2
2
0
0.5
1
x[m]
1.5
2
-0.08
0
0.5
1
x[m]
1.5
2
1.5
2
2
moment gnący
siła poprzeczna
50
150
0
100
-50
50
-100
0
l
∫L
E7 =
2
dx
0
∫ (w
)
l
2
a
⋅ 100%
+ w′a2 + wa′′ 2 + wa′′′ 2 dx
-150
0
0.5
1
x[m]
1.5
2
-50
0
0.5
1
x[m]
0
Rys. 3. Przykładowe wyniki analizy statycznej belki wspornikowej, linią ciągłą oznaczono wyniki analizy przybliżonej, x –
analiza analityczna
gdzie:
(
L2 = wa − w p
)2 + (w′a − w′p )2 + (wa′′ − w′p′ )2 + (wa′′′ − w′p′′ )2
Błędy E3-E7 pozwalają na określenie jakości aproksymacji w porównaniu do wyników analizy analitycznej.
Analizy błędów przeprowadzono dla belki o czterech
różnych warunkach brzegowych:
• swobodnie podparta - swobodnie podparta (s-s),
• utwierdzona - swobodnie podparta (u-s),
• utwierdzona – wolny koniec (u-w),
• utwierdzona – utwierdzona (u-u)
i dla sześciu różnych wymuszeń:
• stałe f 01 = q ,
•
liniowe f 02 = (q2 − q1 ) / l ⋅ x + q1 ,
•
sinusoidalne f 03 = e ⋅ sin (πx / l ) ,
•
paraboliczne
•
pierwiastkowe f 05 = d x + q ,
•
skupione f 06 = Pδ ( x, l / 2) .
Dodatkowo, w celu oceny jakości aproksymacji wyznaczono współczynniki korelacji Pearsona oddzielnie dla
funkcji ugięcia (K1), stycznej (K2), momentu gnącego
(K3) i siły poprzecznej (K4). We wszystkich przypadkach
warunków brzegowych i obciążeń ciągłych, wszystkie
(każdy z 80) współczynniki korelacji są równe 1.0.
W przypadkach obciążenia punktowego współczynniki
K1, K2 i K3 są równe 1.0. Współczynniki K4 (pomiędzy
funkcjami opisującymi funkcje siły poprzecznej) mają
wartości 0.997-0.999. Przyczyną tego nie jest błąd
w aproksymacji, a efekt Gibbsa – siła tnąca opisana jest
funkcją nieciągłą.
f 04 = a( x − l / 2) 2 + bx + q ,
W obliczeniach przyjęto dane: EI = 1000 N/m2,
l = 2.0 m, q = q1 = -100 N/m, e = -100 N/m, a = -50
N/m3, b = 25 N/m2, d = -75 N/m3/2, P = -100 N.
Na rys.3 pokazano przykładowe wyniki analizy statycznej belki u-w obciążonej funkcją f 03 . Linią ciągłą
oznaczono wyniki analizy przybliżonej znakami x –
wyniki analizy analitycznej.
Wyniki analizy – wartości błędów E1 - E7, wyznaczone dla wszystkich przypadków warunków brzegowych
i funkcji opisujących obciążenie zamieszczono w tab. 3.
138
Leszek Majkut
Tab. 3. Błędy analizy przybliżonej belki
warunki
brzegowe
p-p
u-p
u-w
u-u
wymuszenie
E1 [%]
E2 [%]
E3
E4 [%]
E5 [%]
E6 [%]
E7 [ %]
f01
0.0012
0.0049
0.0004
0.0031
0.0026
0.0024
0.0037
f02
0.0031
0.0016
0.0018
0.0061
0.0045
0.0035
0.0041
f03
0.0018
0.0005
0.0004
0.0032
0.0022
0.0019
0.0044
f04
0.0016
0.0025
0.0005
0.0040
0.0033
0.0030
0.0040
f05
0.0014
0.0025
0.0008
0.0034
0.0027
0.0026
0.0050
f06
0.1141
0.7707
0.0139
0.1194
0.1210
0.1840
1.8502
f01
0.0030
0.0042
0.0006
0.0109
0.0089
0.0064
0.0148
f02
0.0008
0.0041
0.0008
0.0079
0.0077
0.0057
0.0160
f03
0.0023
0.0045
0.0003
0.0066
0.0058
0.0048
0.0135
f04
0.0133
0.0065
0.0011
0.0247
0.0155
0.0103
0.0156
f05
0.0078
0.0051
0.0006
0.0143
0.0092
0.0065
0.0100
f06
0.0416
0.1904
0.0022
0.0456
0.0539
0.2358
0.3733
f01
0.0160
0.0001
0.0007
0.0251
0.0131
0.0049
0.0138
f02
0.0176
0.0039
0.0016
0.0303
0.0172
0.0081
0.0143
f03
0.0118
0.0005
0.0004
0.0167
0.0093
0.0040
0.0121
f04
0.0223
0.0025
0.0008
0.0391
0.0215
0.0089
0.0148
f05
0.0206
0.0014
0.0015
0.0334
0.0171
0.0066
0.0130
f06
0.4688
0.3631
0.1943
0.4286
0.4627
0.4559
1.9055
f01
0.0757
0.0571
0.0730
0.0729
0.0750
0.0748
0.0680
f02
0.0780
0.0624
0.1852
0.0752
0.0774
0.0772
0.0720
f03
0.0649
0.0454
0.0369
0.0615
0.0640
0.0634
0.0554
f04
0.0769
0.0571
0.0607
0.0738
0.0762
0.0760
0.0680
f05
0.0761
0.0590
0.0392
0.0734
0.0754
0.0751
0.0691
f06
0.0015
0.2061
0.0061
0.0031
0.0071
0.2524
0.9122
5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI
W pracy opisano metodę kolokacyjną Kansy oraz jej
zastosowanie do analizy statycznej belki. W celu oceny
poprawności i dokładności tej metody analizy porównano
przebiegi ugięcia, pochodnej, momentu gnącego i siły
tnącej z przebiegami wyznaczonymi metodą analityczną.
Analizę taką przeprowadzono dla belki o czterech
różnych warunkach brzegowych i przy sześciu różnych
wymuszeniach.
Wyniki analizy (wartości siedmiu różnych błędów
względnych) zamieszone w tab.3 wskazują jednoznacznie
na bardzo dużą dokładność analizy z zastosowaniem tej
metody bezsiatkowej. Wyniki analizy wskazują również
na poprawność zaproponowanej metody doboru parametru kształtu oraz współczynnika korygującego w przypadku wymuszenia punktowego.
Literatura
1.
2.
Belystcho T., Lu Y., Gu L.: Element free Galerkin methods. “International Journal for Numerical Methods in
Engineering” 1994, 37, p. 229-256.
Chinchapatnam, P.P., Djidjeli, K., Nair, P.B.: Radial basis function meshless method for the steady
incompressible Navier–Stokes equations. “International Journal for Numerical Methods in Engineering” 2007, 84,
p. 1509-1526.
139
ZASTOSOWANIE FUNKCJI RADIALNYCH W ANALIZIE STATYCZNEJ BELKI
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Fasshauer, G.E., Zhang, J.G.: On choosing ,,optimal'' shape parameter for RBF approximation. “Numerical
Algorithms” 2007, 45, p. 346-368.
Hon Y.C., Lu M.W., Xue W.M., Zhou X.:A new formulation and computation of the triphasic model for
mechano-electrochemical mixtures. “Computational Mechanics” 1999, 24, p. 155-165.
Hon Y.C., Cheung K.F., Mao X.Z., Kansa E.J.: Multiquadric solution for shallow water equations. “ASCE
Journal of Hydraulic Engineering” 1999, 125, p. 524-533.
Kansa E.J.: Multiquadric-a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid
dynamics. “Computers & Mathematics with Applications” 1990, 19, p. 147-161.
Mui-Duy N., Tanner R.I.: Computing non-Newtonian fluid flow with radial basis function networks.
“International Journal for Numerical Methods in Fluids” 2005, 48, p. 1309-1336.
Mukherjee Y.X., Mukherjee S.: The boundary node method for potential problems. “International Journal for
Numerical Methods in Engineering” 1997, 40, p. 797-815.
Pearson, J.W..: A radial basis function method for solving PDE-constrained optimization problems. “Numerical
Algorithms” December 2012 DOI 10.1007/s11075-012-9675-6 (Article not assigned to an issue - Online First).
Tiago C.M., Leitao V.M.A.: Application of radial basis functions to linear and nonlinear structural analysis
problems. “Computers and Mathematics with Applications” 2006, 51, p.1311-1334.
Vu, P., Fasshauer, G.E.: Application of two radial basis function-pseudospectral meshfree methods to threedimensional electromagnetic problems. “IET Science, Measurement & Technology” 2011, 5, p. 206-210.
Wang J.G., Liu G.R.: A point interpolation meshless method based on radial basis functions. Int. Journal for
Numerical Methods in Engineering 54, 2002, pp. 1623-1648
Wawrzynek A., Detka M., Cichoń, Cz.: Zastosowanie metody R-funkcji do wyznaczania współczynnika
przejmowania ciepła. „Modelowanie Inżynierskie” 2012, nr 43, s. 255-263.
Wendland, H.: Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal
degree. “Advances in Computational Mathematics” 1995, 4, p. 389-396.
Zerroukat M., Power H., Chen C.S.: A numerical method for heat transfer problem using collocation and radial
basis functions. “International Journal for Numerical Methods in Engineering” 1998, 42, p. 1263-1278
Zieniuk E., Sawicki D.: Metoda PURC w analizie nieustalonego pola temperatury w obszarach płaskich.
„Modelowanie Inżynierskie” 2012, nr 44, s. 285-292
140