Oddzialywanie magnetyczne

Oddziaływanie magnetyczne jako efekt relatywistyczny
materiały do wykładu Podstawy fizyki – semestr II
Niech w układzie odniesienia O (laboratoryjnym) znajduje się nieruchomy przewodnik, w
którym płynie prąd o natężeniu I. Natężenie I może przy tym oznaczać, że w pewnym przedziale
czasu t przez pewien przekrój tego przewodnika przepływa w określonym kierunku ładunek
dodatni q taki, że I=q/t. Może jednak równie dobrze oznaczać przepływ ujemnego ładunku –q w
kierunku przeciwnym, lub np. ładunków (1/2)q oraz (-1/2)q w przeciwnych kierunkach.
Przyjmijmy ten ostatni wariant jako najbardziej odpowiedni do dalszych rozważań. Opisaną
sytuację przedstawia poniższy rysunek. Oba układy ładunków mają tę samą długość, we
własnych układach odniesienia równą l0 oraz gęstość liniową równą η0. Ponieważ względem
układu O poruszają się z jednakowymi co do wartości prędkościami (v+ = v- = v0), więc ich
gęstości liniowe w układzie O są jednakowe i przewodnik jest elektrycznie obojętny.
+ + + + + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − − − − −
v−
r
Q
O’
v+
v+ = v- = v0
v
O
Prostoliniowy przewodnik, w którym płynie prąd elektryczny, i poruszający się równolegle do niego
ładunek elektryczny Q, którego własnym układem odniesienia jest O’. Wszystkie prędkości są podane
względem laboratoryjnego układu odniesienia O.
Niech w pewnej odległości r od tego przewodnika znajduje się ładunek Q. Jeżeli w układzie
odniesienia O ładunek Q spoczywa, wypadkowa siła jego oddziaływania z ładunkami
płynącymi w przewodniku jest zerowa z powodu równoważenia się sił przyciągania i
odpychania jakimi działają na Q ładunki dodatnie i ujemne rozłożone z jednakową gęstością
liniową wzdłuż przewodnika. Jest tak, mimo iż oba układy ładunków – dodatnich q+ oraz
ujemnych q- – ulegają relatywistycznemu skróceniu wynikającemu z ich ruchu z prędkością v0
względem układu O. Oba układy ładunków ulegają skróceniu w jednakowym stopniu, o czynnik
γ0 =
1
v 
1−  0 
 c 
2
(1)
wskutek czego liniowe gęstości obu układów ładunków w układzie odniesienia O wynoszą
η+ = η − =
1
2
l0
q
γ0
= γ 0 ⋅ η0
(2)
i są jednakowe.
Sytuacja ta ulega zmianie, gdy ładunek Q porusza się względem przewodnika, a to dlatego, że
ładunki q’+ i q’- mają teraz różne prędkości względem Q i wskutek tego w układzie
odniesienia ładunku Q (tj. w układzie O’) przestrzenne rozkłady ładunków q’+ i q’- ulegają
relatywistycznemu skróceniu w różnym stopniu. Ładunek q’+ poruszający się zgodnie z Q ma
względem Q mniejszą prędkość, zaś ładunek q’- poruszający się przeciwnie do Q ma względem
Q prędkość większą. W rezultacie ładunki q’+ i q’- są rozłożone z różną gęstością liniową η’+
i η’- . Zatem w układzie odniesienia O’ przewodnik okazuje się naelektryzowany z przewagą
ładunku ujemnego, który jest mocniej „ściśnięty” przez relatywistyczne skrócenie długości. Na
tej podstawie można przewidywać, że dodatni ładunek Q będzie przyciągany przez ładunki na
przewodniku, a siła przyciągania będzie prostopadła do wektora prędkości ładunku Q. Obliczmy
wartość tej siły najpierw w układzie odniesienia O’ związanym z ładunkiem Q. Do obliczenia
tej siły należy znać natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez elektrycznie naładowany
liniowy przewodnik oraz ładunek Q. Zacznijmy od wyznaczenia liniowych gęstości ładunków
η+ i η- w układzie odniesienia O’. W układzie O’ prędkość ładunku q+ wynosi:
v− v +
vv
1 − 2+
c
oraz czynnik γ określający skrócenie relatywistyczne:
1
γ +, =
2
 v ,+ 
1 −  
 c 
v ,+ =
(3)
(4)
Ponieważ długość układu ładunków q+ ulega skróceniu γ+’ razy, to gęstość liniowa ładunku
wzrasta tyleż samo razy i w układzie O’ wynosi:
η +, = η 0 ⋅ γ +,
(5)
Analogicznie, chociaż nie identycznie, można wyrazić prędkość i gęstość liniową ładunków
ujemnych q- w układzie O’:
v ,− =
v+ v −
vv
1 + 2−
c
1
γ −, =
v
1 − 
 c
,
−



2
η −, = η 0 ⋅ γ −,
(6)
Należy teraz obliczyć gęstości liniowe relatywistycznie skróconych układów ładunków η’+ oraz
η’- podstawiając v’+ z wzoru (3) do γ’+ we wzorze (4), a następnie γ’+ do wyrażenia (5), oraz
postępując analogicznie z wielkościami odnoszącymi się do ładunków ujemnych (6). Przed
wykonaniem tych rachunków warto przyjąć oznaczenia:
β0 =
v0
c
Otrzymamy wtedy:
β=
v
c
γ=
1
v
1−  
c
2
=
1
1− β 2
(7)
η0
η +, =
 β − β0 

1 − 
 1 − ββ 0 
2
=
η 0 (1 − ββ 0 )
(1 − β )(1 − β )
2
2
0
= η 0 (1 − ββ 0 )γγ 0
(8)
= η 0 (1 + ββ 0 )γγ 0
(9)
oraz po analogicznych rachunkach:
η0
η −, =
 β + β0 

1 − 
 1 + ββ 0 
2
=
η 0 (1 + ββ 0 )
(1 − β )(1 − β )
2
2
0
Sumaryczna gęstość liniowa ładunków w przewodniku wyznaczona w układzie odniesienia O’
wynosi więc:
η , = η +, − η −, = −2η 0 ββ 0γγ 0
Wynik ten jest zgodny z jakościowo przewidzianym efektem pojawiania się wypadkowego
ładunku elektrycznego na przewodniku w układzie odniesienia O’ (patrz: tekst pomiędzy
wzorami 2 i 3 powyżej). Na ładunek Q będzie więc w układzie odniesienia O’ działać siła
elektrostatyczna F’ wywierana przez pole elektryczne przewodnika naładowanego z gęstością
liniową η’. Jak wiadomo z elektrostatyki, natężenie tego pola wynosi
E' =
2η ββ γγ
η,
= 0 0 0
2πε 0 r
2πε 0 r
(10)
a zatem siła ma wartość
F ' = Q⋅ E' = Q
2η L ββ 0γ
2πε 0 r
(11)
Wartość siły F’ wyznaczonej tu w układzie odniesienia O’ należy jeszcze przetransformować do
laboratoryjnego układu odniesienia O w następujący sposób:
F=
F'
γ
=Q
2η L ββ 0
2πε 0 r
(12)
W powyższym wzorze występują wielkości, które można powiązać z natężeniem prądu w
przewodniku, które w układzie laboratoryjnym wynosi:
η + l+
η −l−
= η L v + + η L v − = η L cβ 0 + η L cβ 0 = 2η L cβ 0
(13)
t
t
Wyrażenie (12), przedstawiające siłę oddziaływania ładunku Q z ładunkami przenoszacymi prąd
w przewodniku, po przekształceniu:
I = I+ + I− =
F =Q
+
2η L cβ 0 β
Iβ
Iβc
Iβv
=Q
=Q
=Q
2
2πε 0 rc
2πε 0 rc
2πε 0 rc
2πε 0 c 2
można ostatecznie zapisać w postaci:
(14)
F = Q ⋅ v⋅
(
I
)
2π ε 0c 2 r
(15)
Wzór (15) przedstawia zatem siłę elektrycznego przyciągania ładunku Q przez przewodnik.
Otrzymaliśmy ten wzór posługując się teorią względności i nie używając w ogóle pojęcia pola
magnetycznego!
Wzór ten ma jednak postać analogiczną do wzoru przedstawiającego siłę Lorentza, którą można
obliczyć zupełnie inaczej – rozpatrując pole magnetyczne wytwarzane przez prostoliniowy
przewodnik. Indukcja magnetyczna wytwarzana w odległości r od tego przewodnika ma
wartość:
µ ⋅I
B= 0
2π r
i w układzie laboratoryjnym działa na poruszający się ładunek Q siłą:
F = Q⋅v⋅B = Q⋅v⋅
µ0 I
2π r
(16)
Z wzorów (15) i (16) powinna wynikać oczywiście ta sama wartość liczbowa siły F.
I
Porównując wyrażenia (15) i (16) musimy uznać, że czynnik
we wzorze (15)
2π (ε 0 c 2 )r
przedstawia to, co nazywamy indukcją B pola magnetycznego prostoliniowego przewodnika we
wzorze (16). Musimy przy tym uznać, że spełniona jest równość:
1
= µ0
ε 0c 2
(17)
w której µ0 stanowi tzw. przenikalność magnetyczną próżni - wielkość występującą w opisie
wszelkich oddziaływań magnetycznych.
Wzór (15) jest więc całkowicie zgodny z wyrażeniem przedstawiającym siłę Lorentza,
formułowanym przy użyciu pojęcia pola magnetycznego. Jednak w przedstawionych powyżej
rachunkach, które doprowadziły do wzoru (15), wcale nie posługiwaliśmy się pojęciem pola
magnetycznego, a wynik (15) otrzymaliśmy posługując się wyłącznie opisem oddziaływań
elektrycznych, uwzględniającym dodatkowo efekty relatywistyczne. Milcząco traktowaliśmy
przy tym ładunki elektryczne jako jednakowe w różnych układach odniesienia (czy zauważyłeś
to, Czytelniku?), ale to akurat pozostaje w zgodzie z teorią względności.
Powyższe wnioski oznaczają, że pole magnetyczne jest
relatywistyczną poprawką do pola elektrycznego
wytwarzanego przez poruszające się ładunki elektryczne
Odzwierciedleniem tych relacji między teoriami oddziaływań elektrycznych i magnetycznych
oraz teorią względności jest również fakt (patrz: wzór 17), iż wartość µ0 nie jest odrębną,
fundamentalną stałą przyrody jak np. prędkość światła, ale można ją obliczyć z teorii zjawisk
elektrycznych (skąd pochodzi ε0) uzupełnionej teorią względności (skąd pochodzi c2).