Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

Anna Kowalczyk
Marcin Lipiec
VI LO im. Jana Kochanowskiego w Radomiu
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie
Jeżeli matematyka
jest królową nauk,
to królową matematyki
jest teoria liczb.
/C. F. Gauss/
Praca wykonana pod kierunkiem:
prof. K. Dyrdy
mgr P. Murawskiego
Radom, 1999
Rozdział 1
Ciąg Fibonacciego.
Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg (Fn) określony następująco:
F1=F2=1 ,
Fn+2=Fn+1+Fn dla n=1,2,3............
Jest to najstarsza znana ludzkości rekurencja (z ok. 1202 roku).
Policzmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:
F1=F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8
Wzór ogólny ciągu określa się wzorem:
n
F
n
=
1
5
n
1+ 5 − 1− 5 )
)
) (
2
2
((
Nosi on miano wzoru Bineta.
Dowód.
Rozważmy wielomian charakterystyczny rekurencji. Jest on postaci: f(x)=x2-x-1,
policzmy jego pierwiastki.
∆ = 5,
∆= 5
=
x
1
1+ 5
1− 5
, x2 =
, a zatem
2
2
n
1+ 5 + 1- 5
F =c(
) c(
)
2
2
n
1
2
n
, korzystając z faktu , że F1 = 1 oraz F2 = 1 otrzymujemy :
1+ 5
1− 5
1+
c1 ( 2 ) + c 2 ( 2 ) = 1 oraz c1 (
2
1− 5
) +c (
)
2
2
=
F
1 1+
=
((
5
n
2
2
= 1, po prostych przeksztalceniach otrzymujemy :
1
1
,c = −
, a zatem
5 2
5
c
1
5
n
1− 5
) −(
)
2
2
5
n
c.k.d
Przedstawimy teraz kilka ciekawych własności ciągu Fibonacciego.
Jeżeli n jest liczbą naturalną, to:
n
∑F = F
i =1
i
n +1
−1
Dowód.
Z definicji ciągu (Fn) otrzymujemy równości:
2
F =F +F
F =F +F
F =F +F
3
2
4
3
5
1
2
4
3
....................
....................
....................
F
n +1
=
F +F
n −1
n
Dodająo równosci stronami otrzymujemy :
n +1
∑F = F
i
i =3
n
+ 2∑ F i, czyli
1
F n+1 =
i =2
n
n
i =1
i =1
F 2 + ∑ F i , czyli F n+1 − 1 = ∑ F i c.k.d
Inną własnością jest fakt:
Dla dowolnego n będącego liczba naturalną zachodzi związek:
F n ⋅ F n+ 2 − F n +1 = (−1)
2
n +1
Dowód:
Dla n = 1 mamy F1 ⋅ F3 − F2 = 1 ⋅ 2 −1 = 1 = (−1)
2
1+1
2
Zakladamy , że dla pewnego k ∈ N zachodzi :
F ⋅F
K +1
− FK +1 = (-1)
2
K+2
K
Wtedy , mamy :
F ⋅ F − F = F (F + F ) − F = F + F
= F + F (F − F ) = F − F ⋅ F = − (−1)
2
K +1
K +3
K+2
K +1
2
K +1
K+2
2
2
K+2
K +1
K +1
2
K +1
K+2
K +1
K+2
K +1
K +1
K+2
K
⋅ FK + 2 − FK + 2 =
2
= (−1)
K+2
,
zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla kazdej liczby naturalnej n.
ckd
Oto kilka innych własności ciągu ,których dowodów nie będziemy przytaczali
(opierają się one na rozumowaniu indukcyjnym przedstawionym powyżej.)
1) F 2 N =
N
F
2) ∑ F I =
2
I =1
2
− F N −1
2
N +1
F ⋅F
N
N
3)∑ F 2 I =
I =1
F
2 N +1
N +1
−1
Pokażemy teraz zastosowanie ciągu Fibonacciego do rozwiązywania problemów z
elementarnej teorii liczb.
Zadanie 1.
Udowodnij ,że istnieje nieskończenie wiele par (m, n) liczb naturalnych takich ,że
n dzieli liczbę m2+1,zaś m dzieli liczbę n2-1
3
Dowód: Udowodniliśmy wcześniej, że
F n ⋅ F n+2 =
F n+1 + (−1)
2
n +1
Niech n = 2k + 1 i k ∈ N, wówczas
F 2k +1 ⋅ F 2k +3 =
F 2k +2 + (−1)
2
2k +2
=
F
2
2k +2
+1
Niech n = 2k + 2 i k ∈ N, wówczas
F
F
2k +2
2k + 2
⋅ F 2k +4 =
2
F
2
2 k +3
dzieli F2k +3 - 1
+ (−1)
2 k +3
=
F
2
2 k +3
− 1, a zatem
oraz F2k + 3 dzieli F2k + 2 + 1
2
Zatem wystarczy ,że m i n będą odpowiednio 2k+2 i 2k+3 wyrazami ciągu
Fibonacciego.
c.k.d.
Ciąg Fibonacciego ma również zastosowanie w geometrii, poniżej przedstawiono
pokrycie płaszczyzny kwadratami o boku będącym
Fibonacciego.
4
n-tym wyrazem ciągu
Rozdział 2
Ciąg Fibonacciego w przyrodzie.
Królestwo roślin i świat matematyki są na ogół postrzegane jako nie mające ze sobą
nic wspólnego. Doskonałość rozwoju roślin, ich nieskończona wielorakość form i
różnorodność wzorów nie wydają się poddawać matematycznym równaniom. A jednak
za tym pozornym zamętem stale ukryta jest matematyka, pisał Roger V.Jean .
Pod koniec XVIII wieku Charles Bonnet zainteresował się szczególną symetrią w
układzie liści zwaną filotaksją.
Badając rozkład liści na gałązkach łatwo można zauważyć, że wszystkie liście leżą
jeden na drugim, lecz przeciwnie: liście sąsiednie najczęściej wysuwają się z linii
prostej okrążając gałązkę. Jeśli od jednej podstawy liścia do drugiej, trzeciej itd.
Przeciągniemy kolejno wzdłuż gałązki nitkę, to otrzymamy dość prawidłową linię
śrubową, zwaną helisą. Jeśli na przykład, aby dojść od jednego liścia do drugiego,
leżącego ściśle nad nim, wykonać trzeba dwa obroty gałązki i na tej przestrzeni
spotyka się pięć odstępów, to układ liści scharakteryzowany jest ułamkiem
taki wyraża także kąt rozchodzenia się dwóch liści sąsiednich, np.
Wynika stąd, że ułamki
2
5
i
3
5
2
5
2
.
5
Ułamek
obrotu = 144°.
wyrażają ten sam układ liści, ponieważ
2
5
*360°=144° i
360°-144°=216°= 53 *360°. Różne liczby wynikają z faktu, że linię śrubową
przeprowadzamy raz z jednej, a raz z drugiej strony. Jest to widoczne na poniższym
zdjęciu przedstawiającym pęd śliwy oraz na jego schemacie.
5
Liczne badania nad rozkładem liści poszczególnych roślin wykazały, że najczęściej
występujące układy to:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
, , , , , , , , , ,...,
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
czyli ułamki, których liczniki tworzą ciąg Fibonacciego, mianowniki ciąg
Fibonacciego począwszy od drugiego wyrazu. Jeśli układ liści jest scharakteryzowany
przez ułamek
1
2
, to mówimy o
lipie amerykańskiej, morwie,
o
3
5
-filotaksji.
2
3
1
2
-filotaksja występuje m.in. ma wiązie,
-filotaksja na buku, leszczynie, brzozie, juce,
-filotaksji mówimy w przypadku dębu, moreli, wiśni, śliwy, jabłoni. Na topoli,
gruszy, platanie spotykamy
8
13
1
2
5
8
-filotaksję, a na wierzbie migdałowcu i białej sośnie -
filotaksję.
Konieczna jest w tym miejscu uwaga, że liczby powyższe charakteryzujące pewien
gatunek nie odnoszą się do każdego egzemplarza danego gatunku, lecz do
przeważającej liczby ich egzemplarzy. Na przykład w jodle balsamicznej
3
5
-filotaksja
stanowi ponad 90% wszystkich przypadków. Także w jednym egzemplarzu może
wystąpić przejście jednego ułamka do innego. Jest to spowodowane np. przez
specyficzne cechy wzrostu różnych części danej rośliny.
Później zauważono, że zjawisko filotaksji występuje także w rozmieszczeniu ziaren na
tarczy słonecznika, łusek na szyszce świerkowej lub na owocu ananasa w postaci
spiralnych lub śrubowych zwojów.
Przyjrzyjmy się bliżej temu zjawisku na przykładzie ananasa. Ziarenka ananasa
przypominające sześciokątne klatki są rozmieszczone w rzędach o różnych
kierunkach:
5 równoległych rzędów podnoszących się łagodnie w prawo,
8 osiem rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo w lewo,
13 rzędów podnoszących się bardziej stromo w prawo.
6
Załóżmy, że powierzchnia ananasa ma postać walca i ziarenka ananasa są
jednakowymi sześciokątami klatki. Gdy rozetniemy go wzdłuż tworzącej i
rozpostrzemy na płaszczyźnie, otrzymamy pas pomiędzy dwiema prostymi
równoległymi jak na rysunku.
Załóżmy, że proste te mają równania x=0 i x=1. Okazało się, że sześciokątne klatki
ponumerowane kolejno w miarę wzrastania ich odległości od osi X są tzw. obszarami
Dirichleta pewnej sieci. Punkt sieci oznaczony liczbą 0 znajduje się na początku
układu i w punkcie (1,0). Ciekawą własnością jest to, że odcięta punktu sieci
oznaczonego liczbą 1 dzieli odcinek 00 w stosunku złotym, czyli punkt 1 ma
współrzędne
1 1 
 ,

 α 150 
, gdzie
1
150
jest wartością obliczoną [2]. n-ty punkt sieci ma
1
współrzędne (nα-[nα],n• 150
). Rzędy, które widać na owocu ananasa, w modelu są
również widoczne. Punkty sieci im odpowiadające tworzą ciągi arytmetyczne. Są one
wyznaczone przez liczby 5,8,13, które są numerami klatek sąsiadujących z klatką 0.
Ponieważ stosunek
Fk +1
Fk
kolejnych liczb Fibonacciego jest zbieżny do liczby α, liczba
Fkα jest niemal liczbą całkowitą, co znaczy, że jej część ułamkowa jest mała. Zatem
7
punkty oznaczone liczbami Fibonacciego leżą coraz bliżej osi Y w miarę ich
wzrastania.
Na schemat ten możemy spojrzeć jako na rozmieszczenie liści na gałązce. Punkt
sieciowy oznaczony liczbą 13 leży blisko osi Y. Można więc założyć, że leży
dokładnie nad punktem 0. Otrzymaliśmy w ten sposób analogię do zjawiska filotaksji
występującego w układzie liści. Gdybyśmy bowiem rozmieszczenie ziarenek na
owocu ananasa potraktowali jako rozmieszczenie liści na gałązce, otrzymalibyśmy
8
13
- filotaksję. Założenie to jest zasadne: „Bonnet... widział w przypadku moreli
zupełnie wyraźnie, że kolejne cykle
2
5
nie nakładają się prostopadle”.
Kolejny wariant filotaksji widzimy na przykładzie szyszki świerkowej. Wyraźnie
widzimy, że układ łusek w szyszce tworzy
8
13
- filotaksję, co obrazuje rysunek.
Modelem matematycznym byłby stożek. W porównaniu z modelem ananasa byłoby to
zastąpienie ruchu śrubowego ruchem śrubowym złożonym z dylatacją
Perfekcyjnym przykładem filotaksji jest słonecznik. Ciekawą jego własnością jest
zależność rodzaju filotaksji od wielkości główki, co obrazuje tabelka.
8
Wielkość główki słonecznika
Rodzaj filotaksji
Bardzo mała
13
21
Mała
21
34
Normalna(14-15 cm średnicy)
34
55
Duża
55
89
89
144
Bardzo duża
144
233
Wielka (około 55 cm średnicy)
Rysunek słonecznika jest przykładem przejścia
13
21
21
34
-filotaksji na zewnątrz z
-filotaksję w środku tarczy.
Zainteresowanie zjawiskiem filotaksji od 1900 roku przezywa swój renesans. Od tego
czasu pojawia się wiele opracowań na temat nowych przykładów filotaksji. Oto
9
niektóre z nich:
Zawiązki w pączku sosny tworzą
5
8
-filotaksję, co widać na rysunku
U wielu roślin złożonych, np. u margaretki i rumianku, widoczne są spiralne
rozłożenia oddzielnych kwiatków w kwiatostanach. Tworzą one w pierwszym
przypadku
13
21
-filotaksję, a w drugim
21
34
-filotaksję[8].
Struktury przypominające filotaksję pojawiają się także wśród mikroorganizmów, np.
flagella Salmonelli reprezentuje wzór zbliżony do
2
5
-filotaksji. Jest to widoczne na
rysunku.
Trzeba w tym miejscu zaznaczyć, że oprócz
Fk
Fk +1
-filotaksji występują w przyrodzie
jeszcze inne. Są one wyznaczone przez ciągi, które podobnie jak ciąg Fibonacciego
spełniają warunek: uk+2=uk+1+uk, lecz mają inne warunki początkowe. Jednakże
filotaksję postaci
Fk
Fk +1
są w przyrodzie przeważającą tendencją.
Liczby Fibonacciego w przyrodzie występują nie tylko w postaci filotaksji. Dobrze
znana skorupa głowonoga łodzika Nautilus obrazuje nam z zadziwiającą perfekcją
spiralę logarytmiczną.
Ciąg Fibonacciego jest przykładem przedziwnego splatania się matematyki z przyrodą.
Przypomnijmy sobie bowiem, że sam pomysł ciągu Fibonacciego powstał dzięki
idealizacji zjawiska przyrodniczego (rozmnażanie królików), a następnie okazało się,
że tak wymyślone pojęcie powraca do przyrody w postaci filotaksji czy kształtu
skorupy ślimaka.
Literatura:
10
Gradient nr 1/1998 Fundacja Rozwoju Matematyki Polskiej, Warszawa.
Encyklopedia Powszechna PWN, PWN Warszawa 1997.
Sierpiński W. – Wstęp do teorii liczb, WSIP Warszawa 1987.
Weyl H. – Symetria, PWN Warszawa 1960
11