Zginanie proste belek

Zadanie 2. Zginanie proste belek.
Dla belki zginanej obciążonej jak na Rys.1 wyznaczyć:
1. Wykres momentów zginających M(x) oraz sił poprzecznych Q(x).
2. Położenie osi obojętnej.
3. Wartość maksymalnego naprężenia normalnego σx .
4. Wartość maksymalnego naprężenia stycznego τxz .
5. Wartości naprężeń głównych σ1 , σ2 i ich kierunki główne w oznaczonym punkcie K
belki przekroju poprzecznego α – α .
1.0
C
6.0
20 KN/m
B
A
1.0 m
6.0
12.0KNm
10 KN
1.0 m
2.0 2.0
cm
Rys1.
1. Wykres momentów zginających M(x) oraz sił poprzecznych Q(x) – Rys2.
MA = 8.0KN
20 KN/m
HA = 0.0KN
12.0KNm
10 KN
1.0 m
+10.0
-8.0
Mmax = +12.0KNm
-30.0
-10.0
M(x)
[KNm]
Q(x)
[KN]
VA = 30.0KN
0.0
+12.0
+2.5
1.0 m
M
Qmax = -30.0KN
Q
0.5 m
= +12.0KNm
= -10.0KN
Rys.2
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
1/6
2. Wyznaczenie położenia osi obojętnej.
Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju i jest prostopadła do płaszczyzny obciążenia
- wymiary przekroju podane są w centymetrach Rys3.
Środek ciężkości przekroju wyznaczamy z zależności:
zs =
Sy
A
gdzie:
Sy - moment statyczny przekroju poprzecznego belki
względem przyjętej osi y.
A – pole powierzchni przekroju poprzecznego belki.
Sy = 2*2*6*(-3) + 2*6*(-9) + 2*(3*6/2)*(-8) = −324cm2
A = 3*2*6 + 2*(3*6/2) = 54cm2
zs =
− 324
= −6cm
54
Rys.3
3. Wyznaczenie wartości maksymalnego naprężenia normalnego σx .
Największe naprężenie normalne rozciągające i ściskające (Rys.4) co do bezwzględnej wartości
występują
odpowiednio
w
dolnych
i
górnych
skrajnych
włóknach
belki
i wynoszą:
σ max =
M max z max
J ys
(1)
Maksymalny moment zginający wynosi M max =12KNm (patrz Rys.2)
Wykres σx [MPa]
Obliczenia na podstawie wzoru (1)
Włókna górne belki są ściskane:
σg =
+ 12 * (−6.0 *10 −2 )
540 *10 −8
= −133.33 *103
KN
m2
Włókna dolne belki są rozciągane:
σd =
+ 12 * 6.0 *10 −2
540 *10 − 8
= +133.33 *103
KN
m2
Rys.4
Wykres naprężeń
normalnych
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
2/6
4. Wyznaczenie wartości maksymalnego naprężenia stycznego τxz .
Maksymalne naprężenie styczne τxz wyznaczamy ze wzoru (2):
τ xz =
Q max S ys
(2)
J ys b
gdzie:
Q max – maksymalna siła poprzeczna w belce zginanej.
S ys – moment statyczny względem osi obojętnej części przekroju poprzecznego zawartej między
poziomem punktu, dla którego obliczamy naprężenia, a włóknami dolnymi lub górnymi
przekroju.
J ys – główny centralny moment bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi ys.
b – szerokość przekroju poprzecznego belki w poziomie punktu dla którego obliczamy naprężenia.
Maksymalna siła poprzeczna wynosi Q max = −30 KN (patrz Rys.2)
Obliczenia na podstawie wzoru (2)
wykres τxz [MPa]
S y s = 2 * 2 * 6 * 3 = 72cm 3
lub
S y s = 2 * 6 * (−3) + 2 *
3* 6
* (−2) = 72cm 3
2
-10.0
 2 * 63

 3 * 63 3 * 6 2 
+ 2 * 6 * 32  + 2 * 
+
J ys = 3 * 
*2  =
 12

 36

2




2 * 63
3 * 63
= 3*
+ 2*
= 540cm 4
3
12
Rys.5 Wykres
naprężeń stycznych
b = 2 + 2 = 4cm
τ xz =
Q max S ys
J ys b
=
− 30 * 72 * 10 −6
540 * 10
−8
* 4 * 10
−2
= −10 * 10 3
KN
m2
= 10MPa
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
3/6
5. Wyznaczenie wartości naprężeń głównych σ1, σ2 i ich kierunków głównych
w oznaczonym punkcie K belki przekroju poprzecznego α – α.
Moment zginający i siła poprzeczna w przekroju poprzecznym belki α – α wynoszą odpowiednio:
M α-α = +12 KNm , Q α-α = −10 KN (patrz Rys.2).
5.1. Naprężenie normalne rozciągające w punkcie K wyznaczamy ze wzoru (3):
σk =
M α −α z k
J ys
(3)
gdzie:
M α-α – moment zginający w przekroju poprzecznym belki α – α
zk
– odległość punktu K od osi obojętnej
J ys
– główny centralny moment bezwładności przekroju poprzecznego belki
względem osi y s.
σk =
12 * 4 * 10 −2
540 * 10
−8
= 88.889 * 10 3
KN
m2
= 88.889MPa
5.2. Naprężenie styczne τk w punkcie K wyznaczamy ze wzoru (4):
τk =
Q α − α S ys
(4)
J ys b
gdzie:
Q α-α – siła poprzeczna w belce zginanej w przekroju poprzecznym belki α – α.
S ys – moment statyczny względem osi obojętnej części przekroju poprzecznego zawartej
między poziomem punktu K, dla którego obliczamy naprężenia, a włóknami dolnymi.
Na poniższym rysunku (Rys.6) część przekroju zakreskowana jest na kolor czerwony.
J ys – główny centralny moment bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi y s
b
– szerokość przekroju poprzecznego belki w poziomie punktu K dla którego obliczamy
naprężenia.
S y s = 2 * 2 * 2 * 5 = 40cm 3
τk =
− 10 * 40 * 10 −6
540 * 10 − 8 * 4 * 10 − 2
= −1.852 * 10 3
KN
m2
= −1.852MPa
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
4/6
5.3. Wykresy naprężeń normalnych i stycznych w przekroju poprzecznym α – α.
wykres σ α-α
wykres τ α-α
K
Rys. 6 Wykresy naprężeń normalnych i stycznych
w przekroju α-α belki.
a). Obliczenie naprężeń głównych σ1, σ2 w oznaczonym punkcie K belki
przekroju poprzecznego α – α.
Naprężenia główne w punkcie K belki zginanej obliczamy ze wzoru (5)
2
σ
σ 
σ max,min = k ±  k  + τ 2k
2
 2 
(5)
Do wzoru (5) wstawiamy wartości obliczone na stronie 4
2
σ max =
88.889
 88.889 
2
+ 
 + (− 1.852) = +88.928MPa
2
 2 
σ min =
88.889
 88.889 
2
− 
 + (− 1.852) = −0.039MPa
2
 2 
2
σ max = σ1 = +88.928MPa
σ min = σ 2 = −0.039MPa
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
5/6
b). Obliczenie kierunków naprężeń głównych σ1, σ2 w oznaczonym punkcie K belki przekroju
poprzecznego α – α.
2
Położenie kierunków naprężeń głównych σ1, σ2
i odpowiadających im płaszczyzn głównych przechodzących
przez dany punkt K wyznaczamy ze wzoru (6)
τ
tgϕ n = k
n = 1,2
(6)
σn
Np. dla n = 1, ϕ1 jest to kąt zawarty miedzy kierunkiem osi x,
a kierunkiem naprężenia głównego σ1.
Dodatni kąt odmierzamy w pierwszej ćwiartce układu osi
współrzędnych xz jak na rysunku poglądowym obok – Rys7
-
2
X
1
2
+
Z
Rys.7
i tak w naszym zadaniu wyznaczamy na podstawie wzoru (6)
- kierunek naprężenia głównego σ1 :
τ
− 1.852
= −0.0208
tg ϕ1 = k =
σ1 88.928
ϕ1 = −1o12'
- kierunek naprężenia głównego σ2 :
τ
− 1.852
= +47.487
tgϕ 2 = k =
σ 2 − 0.039
ϕ 2 = 88o 48'
Na rysunku (Rys.8a) przedstawiony jest płaski stan naprężenia w punkcie K belki przekroju
poprzecznego α – α. Wartości σx = σk oraz τxz = τk obliczone są na stronie 4
– odpowiednio wzór (3), (4).
Na rysunku (Rys.8b) przedstawione są kierunki naprężeń głównych i odpowiadające im
płaszczyzny główne w punkcie K belki przekroju poprzecznego α – α.
2
xz
x
X
xz
Z
1
x
1
X
1
2
2
Z
Rys.8a
Rys.8b
_____________________________________________________________________________________
http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/
6/6