SYSTEMY DYSKRETNE LTI
Transkrypt
SYSTEMY DYSKRETNE LTI
CPS 1 2006/2007 SYSTEMY DYSKRETNE LTI Odpowiedź impulsowa Odpowiedź impulsowa h[n] systemu jest to sygnał na wyjściu systemu, gdy na jego wejściu wymuszono w chwili n=0 impuls jednostkowy δ [ n ] . U U δ[n] h[n] System dyskretny Odpowiedź impulsowa h[n] jest kompletną charakterystyką sytemu LTI, pozwalającą określić odpowiedź systemu na dowolne inne wymuszenie. Iloczyn sygnału x[n] oraz impulsu δ [ n ] możemy zapisać jako: x [ n ] ⋅ δ [ n ] = x [ 0] ⋅ δ [ n ] Ogólnie zależność ta dla impulsu przesuniętego w czasie jest następująca: x [ n] ⋅ δ [ n − k ] = x [ k ] ⋅ δ [ n − k ] gdzie n reprezentuje indeks czasu, x[n] opisuje sygnał. Można zauważyć, że mnożenie sygnału i impulsu przesuniętego daje w wyniku impuls przesunięty o polu równym wartości funkcji w miejscu przesunięcia impulsu. Ta właściwość pozwala zapisać wymuszenie x[n] jako: x [ n ] = … + x [ −2] ⋅ δ [ n + 2] + x [ −1] ⋅ δ [ n + 1] + x [ 0] ⋅ δ [ n ] + x [1] ⋅ δ [ n − 1] + x [ 2] ⋅ δ [ n − 2] + … CPS 2 2006/2007 lub w skróconej formie : x [ n] = ∞ ∑ x[k ] ⋅ δ [n − k ] k =−∞ Wykorzystując liniowość i stacjonarność systemu odpowiedź wynosi: U U y [ n] = ∞ ∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ] k =−∞ Tzn. jeżeli wymuszeniem systemu LTI x[n] jest superpozycja „ważonych” impulsów przesuniętych w czasie to jego odpowiedzią będzie superpozycja identycznie „ważonych” odpowiedzi h[n] impulsowych identycznie przesuniętych w czasie. Operację pozwalającą wyznaczyć odpowiedź systemu na dowolne wymuszenie nazywa się splotem i oznacza gwiazdką * jak w wyrażeniu: U U y [ n] = x [ n] ∗ h [ n] = ∞ ∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ] k =−∞ Przykład: U Odpowiedź impulsowa systemu LTI wynosi: ⎧1, n = ±1 ⎪ h [ n ] = ⎨2, n = 0 ⎪ 0, inne ⎩ h[n] 2 -1 n 0 1 2 3 4 5 CPS 3 Należy wyznaczyć odpowiedź systemu na wymuszenie: ⎧ 2, n = 0 ⎪ 3, n = 1 ⎪ x [ n] = ⎨ ⎪−2, n = 2 ⎪⎩ 0, inne Rozwiązanie: U Wymuszenie wynosi: x [ n ] = 2 ⋅ δ [ n ] + 3 ⋅ δ [ n − 1] − 2 ⋅ δ [ n − 2] Odpowiedź będzie superpozycją odpowiedzi impulsowych: y [ n ] = 2 ⋅ h [ n ] + 3 ⋅ h [ n − 1] − 2 ⋅ h [ n − 2] Ponieważ odpowiedź impulsowa wynosi: h [ n ] = δ [ n + 1] + 2 ⋅ δ [ n ] + δ [ n − 1] Zatem odpowiedź systemu y [ n ] = 2 ⋅ (δ [ n + 1] + 2 ⋅ δ [ n ] + δ [ n − 1]) +3 ⋅ (δ [ n ] + 2 ⋅ δ [ n − 1] + δ [ n − 2]) −2 ⋅ (δ [ n − 1] + 2 ⋅ δ [ n − 2] + δ [ n − 3]) y [ n ] = 2δ [ n + 1] + 4δ [ n ] + 2δ [ n − 1] +3δ [ n ] + 6δ [ n − 1] + 3δ [ n − 2] −2δ [ n − 1] − 4δ [ n − 2] − 2δ [ n − 3] Stąd ostatecznie odpowiedź wynosi: y [ n ] = 2δ [ n + 1] + 7δ [ n ] + 6δ [ n − 1] − δ [ n − 2] − 2δ [ n − 3] Matlab (splot dwóch sygnałów) h=[1 2 1]; x=[2 3 –2]; y=conv(h,x)) 2006/2007 CPS 4 2006/2007 Rozwiązanie graficznie: x[n] v0[n] 2 -1 0 6 4 2 n 1 2 3 4 5 -1 0 1 -4 v1[n] n 1 2 3 4 5 -1 0 v2[n] 3 0 -2 5 2 3 4 5 -4 2 1 -1 4 n 1 -4 x[n] 3 6 4 2 3 0 2 -4 x[n] -1 n 6 4 2 n 1 2 3 4 5 -1 0 n 1 2 3 4 5 -4 y[n] 6 x[n] 2 -1 0 -2 4 2 n 1 2 3 4 5 -1 0 1 -4 n 2 3 4 5 CPS 5 2006/2007 Własności splotu: Przemienność U x [ n] ∗ h [ n] = h [ n] ∗ x [ n] Łączność U ( x [ n ] ∗ h [ n ]) ∗ h [ n ] = x [ n ] ∗ ( h [ n ] ∗ h [ n ]) 1 2 1 2 Rozdzielność U x [ n ] ∗ {h1 [ n ] + h2 [ n ]} = x [ n ] ∗ h1 [ n ] + x [ n ] ∗ h2 [ n ] Korzystając z przemienności splotu można odpowiedź systemu obliczać jako: y [ n] = ∞ ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ] k =−∞ Odpowiedź jednostkowa. Odpowiedź jednostkowa systemu dyskretnego, jest do odpowiedź k[n] na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego 1[n], może być wyznaczona ze splotu: k [ n ] = h [ n ] ∗ 1[ n ] = ∞ ∑ k =−∞ h [ k ] ⋅1[ n − k ] = n ∑ h[k ] k =−∞ Zależność między odpowiedzią impulsową i jednostkową: h [ n ] = k [ n ] − k [ n − 1] Własności systemu dyskretnego LTI: Pamięć systemów U W systemach bez pamięci odpowiedź systemu y[n] zależy tylko od teraźniejszych wartości wymuszenia x[n]. Ponieważ w systemach LTI zależność między odpowiedzią i wymuszeniem opisuje równanie: y [ n] = ∞ ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ] k =−∞ CPS 6 2006/2007 zatem musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej: h [ k ] = 0 dla k ≠ 0 Przyczynowość systemów: U Odpowiedź układu przyczynowego zależy tylko od przeszłych i teraźniejszych wartości sygnału wejściowego. Przeszłe i teraźniejsze wartości wymuszenia x [ n ] , x [ n − 1] , x [ n − 2] , ... są związane z indeksem k ≥ 0 splotu y [ n] = ∞ ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ] k =−∞ natomiast przyszłe wartości wymuszenia są związane z k < 0 . Zatem dla systemów przyczynowych musi być spełniony warunek dla odpowiedzi impulsowej: h [ k ] = 0 dla k < 0 Wtedy splot na następującą postać: ∞ y [ n ] = ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ] k =0 lub alternatywnie y [ n ] = n ∑ x [ k ] ⋅h [ n − k ] k =−∞ Stabilność systemów: U Układ jest stabilny (w sensie BIBO), jeżeli przy ograniczonym sygnale wejściowym sygnał wyjściowy jest także ograniczony: x [ n] ≤ M x < ∞ ⇒ y [ n] ≤ M y < ∞ Możemy wyznaczyć warunki jakie musi spełniać odpowiedź impulsowa, aby gwarantowała stabilność systemu. y [ n] = h [ n] ∗ x [ n] y [ n] = ∞ ∑ h [ k ] ⋅x [ n − k ] k =−∞ CPS 7 Ponieważ a + b ≤ a + b y [ n] ≤ 2006/2007 ∞ ∑ h[k ] x[n − k ] k =−∞ oraz a ⋅ b = a ⋅ b y [ n] ≤ ∞ ∑ h[k ] x[n − k ] k =−∞ Jeżeli wymuszenie jest ograniczone x [ n ] ≤ M x < ∞, oraz x [ n − k ] ≤ M x < ∞ to odpowiedź ∞ y [ n] ≤ M x ∑ h [ k ] k =−∞ Zatem aby odpowiedź była ograniczona musi być spełniony warunek ograniczonej absolutnej sumy odpowiedzi impulsowej: ∞ ∑ h[k ] < ∞ k =−∞ Równania różnicowe x[n] y[n] System dyskretny Rolę równań różniczkowych opisujących systemy analogowe w systemach dyskretnych pełnią równania różnicowe. CPS 8 2006/2007 Zależności między wymuszeniem x[n] i odpowiedzią y[n] w systemach liniowychstacjonarnych (LTI) opisują równania różnicowe ogólnie N-tego rzędu, liniowe w postaci: U U N M k =0 l =0 ∑ ak y ⎡⎣n − k ⎤⎦ = ∑ bl x ⎡⎣n − l ⎤⎦ gdzie współczynniki ak ,bl są rzeczywiste i stałe, a N określający rząd równania, jest największym opóźnieniem odpowiedzi y[n]. Równania, różnicowe można rozwiązywać metodą klasyczną wykorzystując analogie do metod rozwiązujących równania różniczkowe. Przykład: U Należy obliczyć odpowiedź dwóch różnych systemów (dyskretnego i ciągłego) metodą klasyczną przy zadanych równaniach opisujących systemy, warunkach początkowych, i wymuszeniach (analogie w metodzie klasycznej). System dyskretny System ciągły Równanie różnicowe: Równanie różniczkowe y [ n + 1] + α ⋅ y [ n ] = 1 + β − n , y [0 ] = γ Rozwiązanie w postaci 2 składowych: y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ] Składowa swobodna spełnia równanie jednorodne: ys [ n + 1] + α ⋅ ys [ n ] = 0 Równanie charakterystyczne: s +α = 0 y ( t ) + α ⋅ y ( t ) = 1 + e β t , y (0 ) = γ y ( t ) = yw ( t ) + ys ( t ) d dt ys ( t ) + α ⋅ y s ( t ) = 0 s +α = 0 Pierwiastek równania charakterystycznego s = −α Składowa swobodna ys [ n ] = A1 ( −α ) d dt n s = −α ys ( t ) = A1e −α t CPS 9 2006/2007 Składowa wymuszona: yw [ n + 1] + α ⋅ yw [ n ] = 1 + β − n d dt yw ( t ) + α ⋅ y w ( t ) = 1 + e β t jest w postaci (charakter wymuszenia): yw [ n ] = A + B ⋅ β − n A + B ⋅ β −( n+1) + α ( A + B ⋅ β − n ) = 1 + β − n yw ( t ) = A + B ⋅ e β t d dt ( A + Beβ ) + α ⋅ ( A + Beβ ) = 1 + eβ 1 ⎞ −n −n ⎟⋅ β = 1+ β β⎠ ⎝ 1 A= 1+α yw [ n ] = t α A + B (α + β ) e β t = 1 + e β t ⎛ A (1 + α ) + B ⎜α + B= t A= β αβ + 1 B= 1 β + ⋅ β −n 1 + α αβ + 1 yw ( t ) = 1 α 1 α 1 α+β + 1 ⋅ eβ t α+β Stała całkowania z warunków początkowych: ys [0 ] = A1 = y [0 ] − yw [0 ] A1 = γ − ys ( 0 ) = A1 = y ( 0 ) − yw ( 0 ) 1 β − 1 + α αβ + 1 A1 = γ − 1 α Zatem odpowiedź systemu: y [ n] = ⎛ 1 β 1 β ⎞ n + ⋅ β −n + ⎜ γ − − ⎟ ( −α ) 1 + α αβ + 1 1 + α αβ + 1 ⎠ ⎝ odp .wymuszona y (t ) = odp .swobodna 1 α + 1 1 ⋅ e β t + ⎛⎜ γ − ⎞⎟ e −α t α+β α⎠ ⎝ odp .wymuszona Przykład: Obliczanie odpowiedzi jednostkowej systemu U System dyskretny opisany jest równaniem różnicowym y [ n + 1] − 0.9 y [ n ] = x [ n ] należy obliczyć przebieg wyjściowy y[n], jeżeli x [ n ] = 1[ n ] i y [ 0] = 1 odp .swobodna t CPS 10 2006/2007 I. Rozwiązanie przez bezpośrednie podstawienie: U Dla kolejnych wartości n: y [1] = 1 + 0.9 y [ 2] = 1 + (1 + 0.9 ) ⋅ 0.9 = 1 + 0.9. + 0.92 y [3] = 1 + (1 + 0.9 + 0.92 ) ⋅ 0.9 = 1 + 0.9 + 0.9 2 + 0.93 Stąd ogólnie: y [ k ] = 1 + 0.9 + 0.92 + 0.93 + + 0.9k Korzystając z zależności na sumę cząstkową ciągu geometrycznego: 1 − 0.9k +1 = 10 (1 − 0.9k +1 ) , k = 0,1, 2,... y [k ] = 1 − 0.9 MATLAB clear; % % obliczane rekurencyjnie y0=1; y=y0; for k=1:20 y=1+0.9*y; yy(k)=y; end yw=[y0 yy]; figure(1); stem(yw); % % wykorzystanie rozwiązania i=0:20; yu=10*(1-0.9.^(i+1)) figure(2); stem(yu) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 CPS 11 2006/2007 II. Rozwiązanie metodą klasyczną: U y [ n + 1] − 0.9 y [ n ] = 1, y [ 0] = 1 Spodziewane rozwiązanie jest sumą składowych – wymuszonej i swobodnej y [ n ] = y s [ n ] + yw [ n ] Składowa swobodna jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego: ys [ n + 1] − 0.9 ys [ n ] = 0 Równanie charakterystyczne: s − 0.9 = 0 Pierwiastek równania charakterystycznego wynosi s0 = 0.9 Składowa swobodna ma zatem postać szeregu wykładniczego: ys [ n ] = A1 ⋅ 0.9n Składowa wymuszona ma charakter wymuszenia (funkcja stała) i jest szczególnym rozwiązaniem równania niejednorodnego yw [ n ] = A (const ) Wartość A obliczymy z równania różnicowego poprzez porównanie współczynników z lewej i prawej strony dla składowej wymuszonej: yw [ n + 1] − 0.9 yw [ n ] = 1 A − 0.9 A = 1 A = 10 yw [ n ] = 10 CPS 12 2006/2007 Stałą A1 obliczamy z warunków początkowych, dla n=0 y [ n ] = y w [ n ] + ys [ n ] y [ 0 ] = yw [ 0 ] + ys [ 0 ] 1 = 10 + A1 ⋅ 0.90 A1 = −9 Rozwiązanie końcowe: y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ] = 10 + ( −9 ) ⋅ 0.9n = 10 (1 − 0.9 ⋅ 0.9n ) y [ n ] = 10 (1 − 0.9n+1 ) , n = 0,1, 2,... Schematy blokowe Systemy LTI można przedstawić w postaci schematu blokowego, który jest graficznym zapisem równania różnicowego. Mnożenie skalarne U x[n] y[n]=cx[n] Dodawanie U x[n] + y[n]=x[n]+w[n] w[n] Przesuwanie w czasie U x[n] z-1 y[n]=x[n-1] CPS 13 2006/2007 Połączenie równoległe: U h1[n] + y[n] x[n] + x[n] y[n] h1[n]+ h2[n] h2[n] x [ n ] ∗ h1 [ n ] + x [ n ] ∗ h2 [ n ] = x [ n ] ∗ ( h1 [ n ] + h2 [ n ]) Połączenie kaskadowe: U x[n] h1[n] h2[n] y[n] x[n] h1[n]* h2[n] { x [ n] ∗ h [ n]} ∗ h [ n] = x [ n] ∗ {h [ n] ∗ h [ n]} 1 2 1 2 Przykład: U Wyznacz odpowiedź systemu dyskretnego na wymuszenie: x [ n ] = 2 ⋅ δ [ n ] − δ [ n − 1] h1[n] + + h3[n] + x[n] h2[n] h4[n] - y[n] y[n] CPS 14 jeżeli odpowiedzi impulsowe poszczególnych systemów wynoszą: h1 [ n ] = 1[ n ] h2 [ n ] = 1[ n + 2] − 1[ n ] h3 [ n ] = δ [ n − 2] h4 [ n ] = a n ⋅ 1[ n ] Rozwiązanie: U h [ n ] = ( h1 [ n ] + h2 [ n ]) ∗ h3 [ n ] − h4 [ n ] h12 [ n ] = 1[ n ] + 1[ n + 2] − 1[ n ] = 1[ n + 2] h123 [ n ] = 1[ n + 2] ∗ δ [ n − 2] = 1[ n ] Odpowiedź impulsowa całego systemu wynosi: h [ n ] = (1 − a n ) ⋅ 1[ n ] Odpowiedź na zadane wymuszenie: y [ n] = x [ n] ∗ h [ n] y [ n ] = ( 2 ⋅ δ [ n ] − δ [ n − 1]) ∗ h [ n ] y [ n ] = 2 ⋅ h [ n ] − h [ n − 1] y [ n ] = 2 ⋅ (1 − a n ) ⋅ 1[ n ] − (1 − a n −1 ) ⋅ 1[ n − 1] 2006/2007 CPS 15 2006/2007 Przykład: U Wyznaczyć odpowiedź układu (dla zerowych warunków początkowych) -6 x[n] y[n+2] y[n] y[n+1] Z-1 + 5 na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego. Rozwiązanie: U Równanie różnicowe ze schematu blokowego: y [ n + 2] = x [ n ] − 6 y [ n ] + 5 y [ n + 1] lub y [ n + 2] − 5 y [ n + 1] + 6 y [ n ] = x [ n ] Wstawiając do równania wymuszenie: y [ n + 2] − 5 y [ n + 1] + 6 y [ n ] = 1 Metoda klasyczna: U Zakładamy rozwiązanie z postaci 2 składowych: y [ n ] = yw [ n ] + ys [ n ] Dla składowej swobodnej: ys [ n + 2] − 5 ys [ n + 1] + 6 ys [ n ] = 0 Z-1 CPS 16 Równanie charakterystyczne s 2 − 5s + 6 = 0 Pierwiastki równania charakterystycznego: s1 = 2, s2 = 3 Składowa swobodna będzie miała postać: ys [ n ] = A1 2n + A2 3n *) Składowa wymuszona ma charakter wymuszenia: yw [ n ] = A yw [ n + 2] − 5 yw [ n + 1] + 6 yw [ n ] = 1 A − 5A + 6A = 1 A − 5A + 6A = 1 yw [ n ] = A = 1 2 Stałe A 1 i A 2 oblicza się z warunków początkowych dla n=0 i n=1: B B B B y [ n ] = y w [ n ] + ys [ n ] y [ 0 ] = yw [ 0 ] + ys [ 0 ] y [1] = yw [1] + ys [1] 1 + A1 ⋅ 20 + A2 ⋅ 30 2 1 0 = + A1 ⋅ 21 + A2 ⋅ 31 2 0= Stąd stałe: A1 = −1 A2 = 1 2 2006/2007 CPS 17 2006/2007 Ostatecznie odpowiedź systemu wynosi: 1 2 1 −2n + 3n 2 skl .wymuszona skl . swobodna y ⎡⎣ n ⎤⎦ = Schemat blokowy układu 2 rzędu U Schemat przedstawia typowy dyskretny system LTI opisany równaniem różnicowym 2 rzędu: x[n] b0 + w[n] y[n] + z-1 x[n-1] z-1 b1 + + -a1 y[n-1] z-1 z-1 b2 x[n-2] -a2 y[n-2] Sygnał wejściowy jest dwa razy przesunięty w czasie, na wyjściach bloków opóźniających otrzymuje się sygnały x[n-1] i x[n-2]. Sygnały te są skalowane oraz sumowane w wyniku czego otrzymuje się sygnał: w[ n ] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2] Następnie możemy napisać dla sygnału wyjściowego y[n] w zależności od w[n]: y [ n ] = w[ n ] − a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2] Stąd: y [ n ] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2] − a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2] y [ n ] + a1 y [ n − 1] + a2 y [ n − 2] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2] lub 2 2 k =0 l =0 ∑ ak y [ n − k ] = ∑ bl x [ n − l ] CPS 18 2006/2007 Alternatywny schemat blokowy dla układu 2 rzędu U x[n] b0 + + f[n] y[n] z-1 -a1 f[n-1] + b1 + z-1 -a2 b2 f[n-2] Przykład: U System opisany równaniem należy przedstawić w postaci schematu blokowego: y [ n ] + 12 y [ n − 1] − 13 y [ n − 3] = x [ n ] + 2 x [ n − 2] Rozwiązanie x[n] + y[n] + z-1 z-1 + z-1 -1/2 z-1 2 z-1 1/3 CPS 19 2006/2007 Równania stanu Opis systemu w przestrzeni stanu polega na utworzeniu układu równań różnicowych pierwszego rzędu opisujących przebiegi zmiennych stanu systemu oraz zależności odpowiedzi systemu od zmiennych stanu i wymuszenia. Równania te przedstawia się w formie macierzowej. U U Na schemacie blokowym sygnały f[n-1], f[n-2], które znajdują się na wyjściach bloków opóźniających oznaczymy odpowiednio q 1 [n] oraz q 2 [n]. Wielkości te nazywa się zmiennymi stanu . x[n] y[n] + + B B B B U U z-1 + -a1 b1 q1[n] + z-1 -a2 b2 q2[n] Wartości zmiennych stanu zgodnie ze schematem blokowym wynoszą: q1 [ n + 1] = −a1q1 [ n ] − a2 q2 [ n ] + x [ n ] q2 [ n + 1] = q1 [ n ] Ze schematu możemy także wyznaczyć zależność odpowiedzi od wymuszenia i zmiennych stanu: y [ n ] = x [ n ] − a1q1 [ n ] − a2 q2 [ n ] + b1q1 [ n ] + b2 q2 [ n ] W formie macierzowej powyższe równania: ⎡ q1 [ n + 1] ⎤ ⎡ −a1 ⎢ ⎥=⎢ q n + 1 [ ] ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 − a2 ⎤ ⎡ q1 [ n ] ⎤ ⎡1 ⎤ x [ n] ⎢ ⎥+ 0 ⎥⎦ ⎣ q2 [ n ]⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎡ q [ n] ⎤ y [ n ] = [b1 − a1 b2 − a2 ] ⎢ 1 ⎥ + [1] x [ n ] ⎣ q2 [ n ]⎦ CPS 20 2006/2007 Definiując wektor stanu jako : ⎡ q [ n] ⎤ Q [ n] = ⎢ 1 ⎥ ⎣ q2 [ n ]⎦ Równania stanu zapiszemy: Q [ n + 1] = AQ [ n ] + bx [ n ] y [ n ] = cQ [ n ] + Dx [ n ] gdzie: ⎡ −a A=⎢ 1 ⎣ 1 − a2 ⎤ ⎡1 ⎤ , b = ⎢0⎥ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ c = [b1 − a1 b2 − a2 ] , D = [1] Opis systemu w przestrzeni stanu wykorzystuje się często w obliczeniach numerycznych. Przykład: U System opisany jest równaniem różnicowym. Wyznacz macierze stanu tego systemu: y [ n ] + 12 y [ n − 1] − 13 y [ n − 2] = x [ n ] + 2 x [ n − 2] Rozwiązanie U Postać ogólna równania różnicowego: y [ n ] + a1 y [ n − 1] − a2 y [ n − 2] = b0 x [ n ] + b1 x [ n − 1] + b2 x [ n − 2] zatem: ⎡ − 12 A=⎢ ⎣1 c = [ − 12 ⎤ ⎡1 ⎤ , b = ⎢0⎥ 0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ 1 3 2 13 ] , D = [1]