Zagadnienia egzaminacyjne: semestr 1
Transkrypt
Zagadnienia egzaminacyjne: semestr 1
Zagadnienia egzaminacyjne Inż.M. i B.: semestr I Egzamin pisemny składa się z 3. zadań (12 pkt) i 4. pytań (12 pkt). Pytania będą wybrane z poniższych haseł, ale dopuszczalne są pewne zmiany sformułowań. Ocena pozytywna od 12 pkt, w tym co najmniej 4 pkt z teorii. Terminy: Inżynieria biomedyczna: 3.02 godz. 9.45, CW7 Inżynieria materiałowa: 3.02 godz. 8, CW7 Poprawka: 17.02 godz. 9.45, CW7 Na egzamin proszę przynieść własny papier. 1. Wyjaśnij pojęcia: zdanie, funkcja zdaniowa, tautologia. 2. Czy jest tautologią ....(np. p ∨ (p ⇒ q) ⇒ q) ? 3. Wyjaśnij pojęcia: warunek konieczny, dostateczny. 4. Prawa de Morgana, prawo transpozycji. 5. Wytłumaczyć terminy: relacja, relacja zwrotna, symetryczna, antysymetryczna, przechodnia, spójna. Przykłady. 6. Relacja równoważności i klasa równoważności. Przykład. 7. Określenie ciągu monotonicznego i ciągu ograniczonego. 8. Definicja granicy ciągu. 9. Twierdzenia o granicach. 10. Liczba e jako granica ciągów. 11. Definicja funkcji różnowartościowej. Przykład. 12. Funkcja odwrotna - definicja, wykres, przykład. 13. Definicje i wykresy funkcji y = arcsin x, y = arccos x. 14. Definicja i wykresy funkcji y = sinh x i y = cosh x. Wzór jedynkowy dla funkcji hiperbolicznych. 15. Definicja funkcji parzystej i nieparzystej, przykłady. 16. Definicja granicy funkcji. 17. Definicja pochodnej funkcji. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego i pochodnej. 18. Równanie stycznej do krzywej. Kąt między krzywymi. 19. Twierdzenie o pochodnej iloczynu i ilorazu. 20. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. 21. Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej. 22. Pochodna logarytmiczna i jej zastosowanie. 23. Różniczka funkcji i jej geometryczna interpretacja. Porównanie z przyrostem funkcji. 24. Zastosowanie różniczki do szacowania błędów. 25. Twierdzenie Rolle’a i jego geometryczna interpretacja. 26. Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej i jego geometryczna interpretacja. 27. Twierdzenie i wzór Taylora. 28. Wzór Maclaurina dla funkcji ex , sin x, cos x 29. Twierdzenie de l’Hospitala. 30. Określenie maksimum i minimum funkcji. 31. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. Czy funkcja może mieć ekstremum tylko w punkcie x0 takim, że f 0 (x0 ) = 0? Podać przykład. 32. Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji. 33. Wartość największa i najmniejsza funkcji na przedziale domkniętym. 34. Funkcja wklęsła i funkcja wypukła, punkt przegięcia. 35. Warunek konieczny i dostateczny istnienia punktu przegięcia. 36. Co to jest asymptota ukośna i jak się ją znajduje? 37. Zmienności zależne i różniczkowanie funkcji uwikłanej. 38. Definicje: ciała liczbowego i ciała. 39. Działania modulo p. Tabelki dodawania i mnożenia dla Zp . 40. Określenie liczb zespolonych (konstrukcja Hamiltona). 41. Co to jest moduł, argument i postać trygonometryczna liczby zespolonej? 42. Działania na liczbach w postaci trygonometrycznej i wzór de Moivre’a. 43. Symbol eiφ — definicja i własności. 44. Definicja pierwiastka. Wzory na pierwiastki stopnia n. Interpretacja na płaszczyźnie Gaussa. 45. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezout. 46. Zasadnicze twierdzenie algebry. Rozkład wielomianu na czynniki: a) w zbiorze R; b) w zbiorze C. 47. Wyjaśnij pojęcia: macierz, macierz dolnotrójkątna, diagonalna, symetryczna, transponowana. 48. Definicja iloczynu macierzy i jego własności. 49. Co to jest minor, a co dopełnienie algebraiczne? 50. Co nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika? 51. Własności wyznacznika. 52. Twierdzenie Cramera. 53. Macierz odwrotna — definicja, sposoby obliczania. 54. Układ równań w postaci macierzowej. 55. Metoda eliminacji Gaussa (opis algorytmu). 56. Wektory i wartości własne macierzy. 57. Kiedy dwie macierze są podobne? Jakie wspólne własności mają? 58. Co to jest diagonalizacja macierzy? Jakie ma znaczenie i czy zawsze jest możliwa? 59. Współrzędne biegunowe i ich związek z prostokątnymi. 60. Definicja, równanie i wykres elipsy. 61. Definicja, równanie, wykres i asymptoty hiperboli. 62. Definicja, równanie i wykres paraboli. 63. Definicja i sposób obliczania iloczynu skalarnego. 64. Definicja i sposób obliczania iloczynu wektorowego. 65. Definicja i sposób obliczania iloczynu mieszanego. 66. Dwie możliwości zastosowania iloczynu wektorowego. 67. Równanie ogólne płaszczyzny. Interpretacja współczynników. 68. Prosta w przestrzeni — różne równania. 69. Jak znaleźć punkt przebicia płaszczyzny prostą? 70. Co to jest funkcja pierwotna? Podaj podstawowe twierdzenie o funkcjach pierwotnych. 71. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. 72. Twierdzenie o całkowaniu przez części. 73. Co to są wzory rekurencyjne? Podaj 3 przykłady całek, które obliczamy przy pomocy takich wzorów. 74. Co to są ułamki proste? Jaką funkcję rozkładamy na ułamki proste? Pytania: 5, 6, 65 nie obowiązują. Zadania: 1. Zastosowanie pochodnych (zadanie z treścią) 2. Algebra (układy równań i macierze) lub geometria (wektory, płaszczyzna, prosta). 3. Całki nieoznaczone.