streszczenie rozprawy doktorsk-48

INSTYTUT BADAŃ SYSTEMOWYCH
POLSKIEJ AKADEMII NAUK
Karta Kendalla
jako nieparametryczne narz˛edzie
do wykrywania zależności
pomi˛edzy kolejnymi pomiarami procesów
Streszczenie rozprawy doktorskiej
Anna Olwert
Promotor: prof. dr hab. inż. Olgierd Hryniewicz
Warszawa, 29 maja 2012
1 Wprowadzenie
W obecnej dobie dobrze wiadomo, że żadne przedsi˛ebiorstwo, czy to produkcyjne, czy usługowe, nie utrzyma si˛e na rynku bez wdrożenia do swej codziennej i stałej praktyki dbałości
o jakość, najlepiej przez wprowadzenie gruntownie przemyślanego i właściwie dopasowanego
do swoich potrzeb systemu zarzadzania
˛
jakościa.˛ Ta wynikajaca
˛ z presji rynku konieczność
wprowadzania systemów zapewniania jakości zwróciła uwag˛e praktyków zarzadzania
˛
na znane
od ponad osiemdzi˛esieciu lat narz˛edzie statystycznego sterowania jakościa,˛ jakim jest zaproponowana przez Waltera Shewharta karta kontrolna.
Wprowadzenie przez Shewharta karty kontrolnej jako narz˛edzia służacego
˛
do wykrywania
sygnałów rozregulowania procesu produkcji lub procesu świadczenia usług jest uznawane za
poczatek
˛ nowoczesnego zarzadzania
˛
jakościa.˛ Po raz pierwszy karta kontrolna została zastosowana w 1924 roku przez swego twórc˛e w koncernie Western Electric w Chicago. Tam też
Shewhart opracował algorytm sterowania jakościa.˛ W 1931 roku opublikował swoje monumentalne dzieło o znamiennym tytule Economic Control of Quality of Manufactured Product.
Oczywiście na popraw˛e procesu wytwarzania wyrobu należy spojrzeć szerzej niż przez pryzmat niezastapionych
˛
kart kontrolnych. Działaniami projakościowymi powinny być obj˛ete nie
tylko procesy produkcyjne realizowane w danym przedsi˛ebiorstwie, ale też wszystkie aspekty
działania tego przedsi˛ebiorstwa. Shewhart ograniczył si˛e do tego, co dziś nazywamy statystycznym sterowaniem procesem (w skrócie SPC, od angielskiego terminu statistical process control). Natomiast jego wybitny uczeń William Edwards Deming rozszerzył program sterowania
jakościa˛ do dziedziny zarzadzania
˛
jakościa.˛ Od tamtego czasu opublikowano wiele prac dotyczacych
˛
zarzadzania
˛
jakościa,˛ w tym jako jedne z pierwszych, dwa fundamentalne dzieła Total
Quality Control A. V. Feigenbauma oraz Quality Control Handbook J. M. Jurana. W rezultacie
SPC stało si˛e jednym z filarów właściwego zorganizowania procesu produkcji.
Rysunek 1: Karta kontrolna Shewharta pojedynczych pomiarów dla badanego parametru w procesie chemicznym. Źródło danych: (Montgomery i Mastrangelo, 1991)
1
Rysunek 1 przedstawia przykład karty kontrolnej Shewharta. Karta została skonstruowana
na podstawie odczytywanych co kilka minut pomiarów pewnego parametru w procesie chemicznym (Montgomery i Mastrangelo, 1991). Widocznych jest na niej wiele pomiarów poza
tzw. granicami kontrolnymi UCL i LCL. Pojawienie si˛e wyniku poza granicami kontrolnymi
karty generuje sygnał alarmowy świadczacy
˛ o prawdopodobnym rozregulowaniu si˛e procesu na
skutek wystapienia
˛
przyczyny specjalnej. W takim przypadku, warto zweryfikować, czy proces
faktycznie uległ rozregulowaniu i w razie potrzeby przystapić
˛ do podj˛ecia działań majacych
˛
na
celu usuni˛ecie przyczyny rozregulowania.
Idea stosowania kart jest prosta i intuicyjnie przekonywujaca,
˛ stad
˛ ich popularność nie
powinna dziwić. Nie zawsze jednak monitorowanie procesu przy użyciu tradycyjnych kart
kontrolnych prowadzi do właściwych wniosków. Konstruujac
˛ klasyczne karty kontrolne, zakłada si˛e mi˛edzy innymi, iż kolejne obserwacje procesu sa˛ niezależne. W praktyce niezależność
ta może jednak nie być zachowana. Dzieje si˛e tak na przykład wtedy, gdy do próbki pobieramy kolejno wyprodukowane elementy lub gdy odczytujemy pomiary procesu w zbyt krótkich
odst˛epach czasu. Zaburzenie założenia o niezależności jest charakterystyczne szczególnie dla
procesów chemicznych i różnych ciagłych
˛
procesów produkcyjnych (Wetherill, 1977), (Montgomery i Mastrangelo, 1991), (Wardell, Moskowitz, Plante, 1994), (Alwan, 1995). Z takim
przypadkiem mamy również do czynienia w przykładzie prezentowanym na rysunku 1, gdzie
kolejne obserwacje procesu chemicznego sa˛ ze soba˛ silnie skorelowane (współczynnik korelacji
mi˛edzy sasiednimi
˛
obserwacjami wynosi 0,86). Alwan (1989) przeanalizował 235 zbiorów rzeczywistych danych wykorzystanych w różnych opublikowanych przykładach prezentujacych
˛
działanie standardowych narz˛edzi SPC. Okazało si˛e, że w około 85% przypadków zastosowano
niewłaściwie wyznaczone linie kontrolne. W prawie połowie tych przypadków przyczyna˛ był
brak zwrócenia uwagi na wyst˛epujace
˛ mi˛edzy danymi zależności.
Do końca lat osiemdziesiatych
˛
w prawie wszystkich pracach dotyczacych
˛
narz˛edzi SPC
przyjmowano założenie o niezależności obserwacji procesu. W niewielu rozpatrywano przypadek wyst˛epowania zależności. Goldsmith i Whitfield (1961) badali wpływ korelacji na zachowanie si˛e karty CUSUM, używajac
˛ symulacji Monte Carlo. W tym samym roku Page (1961)
napisał: „The effects of correlated observations have been examined in one case by Goldsmith
and Whitfield; wider study is desirable”. Od tamtego czasu min˛eło około dziesi˛eciu lat zanim zacz˛eły pojawiać si˛e publikacje traktujace
˛ o SPC w przypadku skorelowanych obserwacji procesów. Zacz˛eto badać wpływ korelacji wśród danych na własności karty Shewharta dla
średniej oraz kart CUSUM i EWMA. Ciekawe wyniki i spostrzeżenia można znaleźć m.in.
w pracach Johnsona i Bagshawa (1974), Bagshawa i Johnsona (1975), Vasilopoulosa i Stamboulisa (1978), Alwana (1992), Maragaha i Woodalla (1992), Yashchina (1993), Schmida (1994)
oraz Reynoldsa, Arnolda, Baika (1996). Podstawowy wniosek zawarty w tych publikacjach jest
nast˛epujacy:
˛ wyst˛epowanie korelacji wśród obserwacji procesu zmienia w zasadniczy sposób
własności kart kontrolnych konstruowanych przy założeniu niezależności.
2
Cel rozprawy
Niezwykle popularne karty kontrolne Shewharta konstruowane sa˛ przy założeniu, że obserwacje procesu sa˛ niezależne. Jak wspomniano we wprowadzeniu, w praktyce założenie to nie
zawsze jest spełnione, a stosowanie kart kontrolnych w przypadku zaburzonego konstrukcyjnego założenia o niezależności prowadzi zwykle do niepożadanych
˛
skutków. Typowym efektem stosowania kart w obecności korelacji pomi˛edzy kolejnymi pomiarami procesu jest wysoki
wzrost lub spadek (w zależności od rodzaju zależności) oczekiwanej długości serii pomi˛edzy
kolejnymi fałszywymi sygnałami alarmowymi (w przypadku procesu w stanie statystycznego
2
uregulowania), czyli tzw. ARL (ang. Average Run Length). To z kolei prowadzi, odpowiednio,
do istotnie wi˛ekszego lub mniejszego prawdopodobieństwa wystapienia
˛
fałszywego alarmu niż
w przypadku procesów nieskorelowanych. W praktyce taki stan rzeczy przekłada si˛e na fałszywe przekonanie, że proces jest w stanie uregulowanym badź
˛ fałszywe przyj˛ecie, że proces
uległ rozregulowaniu.
W celu wyeliminowania niepożadanych
˛
skutków działania kart Shewharta w przypadku wyst˛epowania zależności wśród obserwacji procesu opracowano wiele różnych podejść SPC dla
skorelowanych procesów. Najstarsze z nich to karty kontrolne z odpowiednio zmodyfikowanymi granicami (Lu, Reynolds, 1999a, 1999b, 2001), (Schmid, 1995, 1997), (VanBrackle III,
Reynolds, 1997), (Vasilopoulos, Stamboulis, 1978), (Zhang, 1998). Drugie podejście dotyczy
kart kontrolnych dla residuów (Alwan i Roberts, 1988), (Lu, Reynolds, 1999a, 1999b, 2001),
(Montgomery, Mastrangelo, 1991), (Schmid, 1997). Inne, trzecie podejście, opiera si˛e na monitorowaniu procesu na podstawie współczynnika autokorelacji, odzwierciedlajac
˛ struktur˛e zależności w monitorowanym procesie (Yourstone i Montgomery, 1989, 1991). Z kolei jeszcze
inne, oryginalne, jedne z głównych podejść do rozważanego problemu to tzw. karta kontrolna
ARMA (Jiang, Tsui, Woodall, 2001). W wi˛ekszości przypadków zaproponowane podejścia sa˛
oparte o złożone procedury statystyczne trudne w zastosowaniu dla przeci˛etnego praktyka i wymagajace
˛ zidentyfikowania modelu zależności opisujacego
˛
kontrolowany proces. Wobec tego
naturalna˛ potrzeba˛ zdaje si˛e być umiej˛etność oceny, czy rozpatrywany proces jest faktycznie
skorelowany czy nie. Umiej˛etność ta, po pierwsze pozwoliłaby zwrócić uwag˛e na to, że ocena
stanu procesu na podstawie karty Shewharta może w danym przypadku prowadzić do bł˛ednych
wniosków. Po drugie, umożliwiłaby wykluczenie sytuacji, w których stosowanie zaawansownych metod SPC skonstruowanych dla procesów skorelowanych nie jest konieczne. Pożadane
˛
jest zatem stworzenie metody statystycznej - możliwie najprostszej w swej konstrukcji i interpretacji, która mogłaby służyć jako narz˛edzie do wykrywania zależności wyst˛epujacych
˛
wśród
obserwacji procesu.
Głównym celem rozprawy doktorskiej było zaprojektowanie karty kontrolnej jako
prostego i uniwersalnego narz˛edzia statystycznego do wykrywania zależności pomi˛edzy
kolejnymi pomiarami procesu.
Wybór metody karty kontrolnej jako narz˛edzia statystycznego wydaje si˛e w tym przypadku
uzasadniony z uwagi na charakterystyczna˛ dla kart prostot˛e stosowania i kompatybilność nowej
metody z popularnymi kartami Shewharta.
Postawiony powyżej główny cel rozprawy doktorskiej osiagni˛
˛ eto, proponujac
˛ w rozprawie
nowa˛ kart˛e kontrolna,˛ nazwana˛ karta˛ kontrolna˛ Kendalla.
Nazwa nowej karty wynika ze sposobu jej konstrukcji. Mianowicie, do budowy tej karty wykorzystano znany współczynnik Kendalla zdefiniowany dla seryjnie skorelowanych danych. Własności tak określonego współczynnika zostały stosunkowo niedawno zbadane przez Fergusona,
Genesta i Hallina (2000).
Ponadto, w rozprawie uogólniono badania własności współczynnika Kendalla dla skorelowanych danych do przypadku, gdy dane te nie sa˛ określone w precyzyjny sposób.
Drugim celem rozprawy doktorskiej było zbadanie własności współczynnika Kendalla
w przypadku, gdy obserwacje w próbkach sa˛ skorelowane i nie sa˛ określone w sposób
3
precyzyjny.
Problemy statystycznego sterowania procesami przedstawiane sa˛ we wszystkich publikacjach ksia˛żkowych poświ˛econych sterowaniu i zarzadzaniu
˛
jakościa.˛ W polskiej literaturze specjalistycznej podstawowe informacje na ten temat można znaleźć np. w poświ˛econych praktycznym problemom zarzadzania
˛
jakościa˛ ksia˛żkach Hamrola i Mantury (1998) oraz Iwasiewicza
(1999). Z kolei w ksia˛żkach Hryniewicza (1996) oraz Thompsona, Koronackiego i Nieckuły
(2005) można znaleźć wi˛ecej informacji na temat matematycznych aspektów statystycznego
sterowania procesami. Nie istnieje jednak publikacja w j˛ezyku polskim, w której przedstawiono
by problematyk˛e statystycznego sterowania procesami dla danych zależnych. Co wi˛ecej, publikacja podsumowujaca
˛ wyniki badań w tym zakresie, zgodnie z nasza˛ najlepsza˛ wiedza,˛ nie
istnieje także w literaturze światowej. W zwiazku
˛
z tym, sformułowany został poboczny cel
rozprawy, a mianowicie:
przeprowadzenie krytycznej analizy aktualnego stanu wiedzy dotyczacej
˛ projektowania
systemów SPC w przypadku wyst˛epowania zależności w obserwowanych w procesach danych statystycznych.
3
Treść rozprawy
Rozprawa doktorska składa si˛e z 7 rozdziałów.
Rozdział 1 ma charakter wprowadzenia. Przedstawiono w nim statystyczne i intuicyjne podstawy SPC, w szczególności odwołujac
˛ si˛e do poj˛ecia karty kontrolnej Shewharta. Zwrócono
uwag˛e na brak odporności karty kontrolnej Shewharta wobec naruszonego konstrukcyjnego założenia o niezależności kolejnych obserwacji procesu. Na podstawie przegladu
˛ literatury odniesiono si˛e do sposobów, w jaki starano si˛e do tej pory ów problem rozwiazać.
˛
Z przedstawionej
w rozdziale pierwszym analizy wynika cel rozprawy doktorskiej.
W rozdziale 2 omówiono ogólne zasady statystycznego sterowania procesami ze szczególnym uwzgl˛ednieniem kart kontrolnych. Przedstawiono sposób konstrukcji i zasad˛e działania
kart kontrolnych. Opisano najcz˛eściej stosowane karty do kontroli wartości średniej (podrozdziały 2.1 - 2.6), a mianowicie:
A1. karty kontrolne X̄–R,
A2. karty kontrolne X̄–S,
A3. kart˛e kontrolna˛ pojedynczych pomiarów,
A4. kart˛e kontrolna˛ MA,
A5. kart˛e kontrolna˛ EWMA,
A6. kart˛e kontrolna˛ CUSUM.
W podrozdziale 2.7 przedstawiono ide˛e uwzgl˛edniania tzw. sygnałów sekwencyjnych, czyli
metod˛e Western Electric, której wykorzystanie może zwi˛ekszać efektywność działania niektórych kart kontrolnych.
4
Rozdział 3 poświ˛econy jest problemowi badania zależności wśród obserwacji procesu.
W podrozdziale 3.1 przedstawiono znana˛ nieparametryczna˛ miar˛e zależności, jaka˛ jest współczynnik Kendalla. Podano jednak również postać tej miary dla seryjnie skorelowanych danych
zaproponowana˛ przez Fergusona, Genesta i Hallina w 2000 roku. To właśnie na jej podstawie
skonstruowano kart˛e kontrolna˛ Kendalla. Współczynnik Kendalla dla seryjnie skorelowanych
danych można zapisać w nast˛epujacy
˛ sposób.
Niech Z1 , Z2 , . . . , Zn b˛edzie próbka˛ losowa˛ złożona˛ z n kolejnych obserwacji kontrolowanego procesu oraz (Xi , Yi ), gdzie Xi = Zi , Yi = Zi+1 dla i = 1, . . . , n − 1 b˛edzie dwuwymiarowym wektorem losowym z rozkładu pary ciagłych
˛
zmiennych losowych (X, Y ). Statystyka
Kendalla dla próbki (Z1 , Z2), (Z2 , Z3 ), . . . , (Zn−1, Zn ) ma postać
n−1
4 X
τ̃n =
Vi − 1,
n − 1 i=1
(3.1)
gdzie
card{(Zj , Zj+1) : Zj < Zi , Zj+1 < Zi+1 }
, i = 1, . . . , n − 1.
n−2
Z kolei równoważna jej postać oparta na liczbie par niezgodnych
Vi =
M=
n−1 X
n−1
X
I(Zi < Zj , Zi+1 > Zj+1 )
(3.2)
(3.3)
i=1 j=1
jest nast˛epujaca
˛
τ̃n = 1 −
4M
.
(n − 1)(n − 2)
(3.4)
W przypadku wzajemnie niezależnych par obserwacji (Zi , Zi+1), i = 1, 2, . . . , n − 1 rozkład
prawdopodobieństwa statystyki (3.4) jest znany. Jednakże w rozpatrywanym w rozprawie przypadku, założenie to nie jest spełnione, nawet wtedy, gdy oryginalne obserwacje Z1 , Z2 , . . . , Zn
sa˛ wzajemnie niezależne. Dla takiego przypadku Ferguson, Genest i Hallin (2000) wyznaczyli
wartości prawdopodobieństwa P (M ≤ m). Dla małych próbek, tj. o liczności n = 3, . . . , 10
obliczyli dokładne wartości tego prawdopodobieństwa, zaś dla wi˛ekszych próbek (n > 10)
podali jego przybliżone wartości. Prawdziwe sa˛ bowiem nast˛epujace
˛ twierdzenia (Ferguson,
Genest i Hallin, 2000).
Twierdzenie 3.1. Przy założeniu niezależności obserwacji w n-elementowej próbce (n ≥ 3),
wartość oczekiwana oraz wariancja statystyki Kendalla τ̃n (3.1) wynosza,
˛ odpowiednio,
2
= O(1/n)
3(n − 1)

 8/9,
= Var(τ̃n ) =
20n3 − 74n2 + 54n + 148 = 4 + o(1/n),

9n
45(n − 1)2 (n − 2)2
µτ̃n = E(τ̃n ) = −
στ̃2n
(3.5)
dla n = 3
dla n ≥ 4
(3.6)
Twierdzenie
3.2. Przy założeniu, że obserwacje z n-elementowej próbki sa˛ niezależne, staty√
styka nτ̃n ma rozkład asymptotycznie normalny o wartości oczekiwanej 0 i wariancji 4/9.
Autorzy powyższych twierdzeń pokazali, że bardzo dobre rezulaty aproksymacji statystyki τ̃n
(3.1) rozkładem normalnym osiaga
˛ si˛e już dla liczności próbki n > 10. Powyższe informacje
o rozkładzie statystyki τ̃n (3.1) posłużyły do budowy karty kontrolnej Kendalla.
5
W podrozdziale 3.2 - na potrzeb˛e prezentowanych w rozprawie metod SPC dla skorelowanych danych - podano krótka˛ charakterystyk˛e podstawowych modeli z klasy ARMA i ARIMA
stosowanych do opisu stochastycznych procesów stacjonarnych i niestacjonarnych. W podrozdziale 3.3 przedstawiono podstawowe poj˛ecia dotyczace
˛ teorii kopuł, ze szczególnym uwzgl˛ednienim kopuły gaussowskiej, FGM, Placketta oraz kopuł archimedesowskich (Nelsen, 2006).
Kopuły stosowano jako alternatywne narz˛edzie do modelowania zależności pomi˛edzy pomiarami procesu, co stanowi swego rodzaju innowacj˛e w uj˛eciu poruszanego problemu.
Rozdział 4 w całej swej rozciagłości
˛
dotyczy problemu statystycznego sterowania procesem, o którym nie zakłada si˛e, że jego kolejne obserwacje sa˛ niezależne. W pierwszej cz˛eści
rozdziału (podrozdział 4.1) zilustrowano na kilku przykładach jakie moga˛ być skutki stosowania kart kontrolnych Shewharta wobec zaburzonego założenia konstrukcyjnego kart o niezależności obserwacji procesu. Dokładniej, przedstawiono jak drastycznie zmieniaja˛ si˛e własności
statystyczne narz˛edzi, takich jak:
• karty pojedynczych pomiarów w przypadkach, gdy kontrolowany proces opisywany jest
modelem autoregresji rz˛edu pierwszego AR(1) badź
˛ modelem średniej ruchomej MA(1)
(Margrah i Woodall, 1992),
• karty EWMA w przypadku zaburzenia niezależności opisywanego kopuła˛ FGM (opracowanie własne),
• karty CUSUM w przypadku zaburzenia niezależności opisywanego modelem AR(1)
z bł˛edem losowym (Lu i Reynolds, 2001).
W powyższych i wielu innych przypadkach - zgodnie z literatura˛ przedmiotu (Alwan, 1992),
(Alwan i Roberts, 1995) dochodzi si˛e do wniosku, że stosowanie klasycznych kart kontrolnych
dla średniej przy naruszeniu założenia o niezależności obserwacji procesu najcz˛eściej skutkuje:
• fałszywym przekonaniem, że proces jest w stanie uregulowanym,
• nieuzasadnionym poszukiwaniem przyczyn specjalnych rzekomo rozregulowanego procesu (kiedy właściwie interpretowane dane nie sugeruja˛ istnienia przyczyn specjalnych),
• zaniedbaniem poszukiwania przyczyn specjalnych, kiedy właściwie interpretowane dane
sugeruja˛ istnienie przyczyn specjalnych,
• niedostrzeganiem systematycznej zmienności procesu, takiej jak np. trend, czy okresowa
zmienność.
Należy ponadto podkreślić, iż obecność nawet słabej zależności wśród obserwacji procesu,
(która˛ trudno zauważyć bez zaawansowanych metod statystycznych) istotnie osłabia zdolność
klasycznych kart kontrolnych do rozróżniania przyczyn specjalnych i losowych (wniosek na
podstawie badań własnych zachowania si˛e klasycznych kart wobec słabych zależności wśród
obserwacji procesu opisywanych kopuła˛ FGM).
W drugiej cz˛eści rozdziału 4 (podrozdziały 4.2 - 4.6) przedstawiono różne zaawansowane
metody SPC, jakie na przestrzeni kilkudziesi˛eciu lat zaproponowano do statystycznego sterowania procesami, których kolejne obserwacje sa˛ skorelowane. Mianowicie omówiono: metod˛e
modyfikacji klasycznych kart kontrolnych, ide˛e kart kontrolnych dla residuów oraz inne oryginalne pomysły takie jak karty EWMAST i ARMA oraz kart˛e współczynnika autokorelacji.
Podano sposób konstrukcji kart kontrolnych dla skorelowanych danych zgodny z przedstawionymi podejściami, w szczególności takich kart, jak:
6
B1. zmodyfikowana karta pojedynczych pomiarów,
B2. zmodyfikowana karta EWMA,
B3. zmodyfikowana karta CUSUM,
B4. karta pojedynczych pomiarów dla residuów,
B5. karta EWMA dla residuów,
B6. karta CUSUM dla residuów,
B7. karta EWMAST,
B8. karta ARMA,
B9. karta dla współczynnika korelacji.
W zakończeniu rozdziału 4 (podrozdział 4.7) przedstawiono porównanie efektywności klasycznych kart kontrolnych (A1 - A6) oraz kart kontrolnych dla skorelowanych danych (B1 - B9) na
podstawie wyników badań prezentowanych w kilkunastu pracach zaczerpni˛etych z bibliografii
rozprawy doktorskiej.
W rozdziale 5 wprowadzono oryginalne narz˛edzie do wykrywania zależności pomi˛edzy
obserwacjami procesu - kart˛e kontrolna˛ Kendalla. W podrozdziale 5.1 przedstawiono sposób
konstrukcji zaproponowanej karty. Ostatecznie, do kontroli współczynnika Kendalla τ̃n danego
wzorem (3.1), mierzacego
˛
stopień zależności kolejnych obserwacji procesu zaproponowano
nast˛epujac
˛ a˛ kart˛e kontrolna:
˛
s
!
20n3 − 74n2 + 54n + 148
2
UCL = min −
+k
,1
3(n − 1)
45(n − 1)2 (n − 2)2
CL = −
2
3(n − 1)
2
−k
LCL = max −
3(n − 1)
s
!
20n3 − 74n2 + 54n + 148
, −1 ,
45(n − 1)2 (n − 2)2
(3.7)
gdzie UCL, CL i LCL sa,˛ odpowiednio, górna,˛ środkowa˛ i dolna˛ granica˛ kontrolna˛ karty, zaś
k jest pewna˛ stała.˛ W praktyce najcz˛eściej przyjmuje si˛e k = 3, co odpowiada prawdopodobieństwu fałszywego alarmu równemu 0,0027. W rozprawie rozważano różne wartości stałej k.
Właśnie t˛e kart˛e (3.7) nazwano w rozprawie karta˛ kontrolna˛ Kendalla.
W podrozdziale 5.2 opisano eksperyment symulacyjny przeprowadzony celem zbadania
własności statystycznych zaproponowanej karty do wykrywania zależności mi˛edzy kolejnymi
obserwacjami procesu. Interesujace
˛ przy tym było zbadanie efektywności tej karty w sytuacjach, w których z uwagi na założenia konstrukcyjne nie powinna być stosowana znana (projektowna też w tym celu) karta autokorelacji. Eksperyment symulacyjny zaprojektowano w taki
sposób, by możliwe było zbadanie zachowania karty Kendalla wobec różnego rodzaju zależności wyst˛epujacej
˛ wśród obserwacji monitorowanego procesu. W szczególności, projektujac
˛ go,
uwzgl˛edniono:
• różny sposób generowania liczb losowych odpowiadajacych
˛
kolejnym obserwacjom procesu,
7
• różny rodzaj i stopień zależności mi˛edzy kolejnymi obserwacjami procesu,
• różne postaci rozkładów brzegowych par kolejnych obserwacji procesu,
• różne liczności próbek.
Efektywność karty Kendalla zbadano na podstawie jej ważnej charakterystyki, jaka˛ jest ARL.
Równolegle przeprowadzono badania karty autokorelacji. W rozprawie wyniki badań przedstawiono w postaci wykresów i tablic. W niniejszym autoreferacie podano jedynie przykładowe
z nich. W tablicach 1–4 przedstawiono wyniki dla próbek 10 i 50-elementowych w przypadku,
gdy zależność pomi˛edzy kolejnymi obserwacjami procesu opisywana jest kopuła˛ FGM, przy
czym postać rozkładów brzegowych może być znana lub nie. Dodatkowo, w przypadku wykładniczego rozkładu brzegowego wyniki te zostały przedstawione na rysunku 2. Porównujac
˛
wartości ARL dla kart Kendalla i autokorelacji przy ustalonym stopniu zależności α uzyskano
nast˛epujace
˛ wnioski:
1. W przypadku próbek o liczności n = 10 (tablice 1–2) trudno jest jednoznacznie stwierdzić, która z badanych kart jest efektywniejsza. Dla brzegowych rozkładów normalnych
karta Kendalla szybciej wykrywa wyst˛epowanie ujemnych zależności (α < 0), z kolei
karta autokorelacji wykazuje lepsze osiagi w wykrywaniu dodatnich zależności (α > 0).
Podobna˛ sytuacj˛e zaobserwowano dla rozkładów brzegowych różnych od normalnego,
przy czym różnice w efektywności działania kart sa˛ tu korzystniejsze na rzecz karty Kendalla. Mianowicie, karta Kendalla zdecydowanie szybciej wykrywa ujemne zależności, co
jest wyraźnie widoczne w przypadku rozkładów niesymetrycznych (Exp(0, 1), W (1, 12 )),
natomiast nie zachowuje si˛e znacznie gorzej od karty autokorelacji w przypadku dodatnich zależności.
2. Dla próbek o rozmiarze n = 50 (tablice 3–4) zaobserwowano taka˛ sama˛ efektywność
obu kart w przypadku brzegowych rozkładów normalnych, a także w przypadkach pozostałych rozpatrywanych rozkładów brzegowych, o ile tylko postać tych rozkładów była
znana. Jeśli prawdziwe postaci rozkładów brzegowych nie sa˛ znane, tj. w domyśle bł˛ednie
przyjmuje si˛e, że sa˛ one normalne, wówczas karta Kendalla wykazuje nieco lepsza˛ efektywność w wykrywaniu zależności pomi˛edzy obserwacjami procesu. Dla próbek o licznościach wi˛ekszych niż 50 zaobserwowano podobne rezultaty.
3. Przewaga karty Kendalla nad znana˛ karta˛ autokorelacji uwydatnia si˛e w przypadku niesymetrycznych rozkładów brzegowych niezależnie od rozmiaru próbki.
Ogólnie rzecz biorac,
˛ w wielu rozpatrywanych przypadkach wyraźnie widoczna jest przewaga karty Kendalla. Jedynie dla małych prób i przy założeniu, że rozkłady brzegowe sa˛ znane,
a karta autokorelacji właściwie skalibrowana zaobserwowano wieksza˛ efektywność karty autokorelacji. Trzeba jednak dodać, że prawidłowa kalibracja tej karty możliwa jest wyłacznie
˛
wtedy, gdy znana jest nie tylko postać rozkładów brzegowych, ale i rodzaj kopuły. Stad
˛ też,
wykorzystanie tak zmodyfikowanej karty autokorelacji jest w praktyce mało prawdopodobne.
W pozostałych przypadkach, tj. dla próbek o liczności co najmniej równej 50, niezależnie od
charakteru rozkładów brzegowych oraz kopuły karta Kendalla jest zdecydowanie lepszym rozwiazaniem.
˛
Szczególna˛ jej przewag˛e zaobserwowano dla modeli z niesymetrycznymi rozkładami brzegowymi. Podsumowujac,
˛ kart˛e autokorelacji należy stosować z ostrożnościa,˛ jeśli
brak jest pewności co do normalności rozkładu brzegowego. Z kolei nawet w sytuacji, gdy
możliwe jest odpowiednie skalibrowanie karty autokorelacji, efektywność karty Kendalla jest
co najmniej porównywalna z efektywnościa˛ zmodyfikowanej karty autokorelacji.
8
Tablica 1: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM z nieznanymi
rozkładami brzegowymi, liczność próbki n = 10. Źródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla
Karta autokorelacji
k = 2,70
k = 2,531
α
dowolny rozkład
prawdopodobieństwa
N (0, 1)
Exp(0, 1)
W (1, 12 )
√ √
U (− 3, 3)
L(0, 1)
1
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
-0,50
-0,75
-1
178,57
236,22
301,35
349,70
350,66
302,73
234,58
173,31
126,64
92,48
129,03
184,33
263,10
349,79
391,20
345,44
255,72
176,05
107,57
147,07
206,57
293,86
409,61
522,70
555,75
479,05
356,38
198,41
261,94
354,08
490,06
689,84
966,98
1293,28
1530,77
1502,01
63,99
87,91
124,01
174,68
230,28
255,88
224,66
166,14
114,62
108,80
152,30
217,69
310,43
413,17
464,18
413,73
309,16
214,15
Tablica 2: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM ze znanymi
rozkładami brzegowymi, liczność próbki n = 10. Źródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla
k = 2,70
Karta autokorelacji
k = 2,531
k = 2,491
k = 2,341
α
dowolny rozkład
prawdopodobieństwa
N (0, 1)
Exp(0, 1)
W (1, 21 )
k = 2,639
√ √
U (− 3, 3)
1
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
-0,50
-0,75
-1
178,57
236,22
301,35
349,70
350,66
302,73
234,58
173,31
126,64
92,48
129,03
184,33
263,10
349,79
391,20
345,44
255,72
176,05
96,87
131,04
181,99
255,41
349,96
437,75
458,47
394,02
294,97
118,55
151,52
197,79
262,57
350,24
459,93
569,22
624,63
587,93
82,03
116,25
170,14
250,83
350,20
409,66
366,00
264,99
176,08
9
k = 2,493
97,75
135,30
190,94
268,23
350,32
387,22
343,13
257,86
180,44
L(0, 1)
Tablica 3: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM z nieznanymi
rozkładami brzegowymi, liczność próbki n = 50. Źródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla
Karta autokorelacji
k = 2,20
k = 2,15
α
dowolny rozkład
prawdopodobieństwa
N (0, 1)
Exp(0, 1)
W (1, 21 )
√ √
U (− 3, 3)
L(0, 1)
1
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
-0,50
-0,75
-1
64,87
87,63
138,91
248,46
352,46
249,64
139,05
86,99
64,00
64,72
88,17
140,52
249,57
352,79
255,06
143,06
88,94
64,58
81,80
113,01
174,07
292,85
445,38
395,88
228,06
130,92
85,42
148,81
196,43
271,75
396,24
604,99
921,43
1150,21
923,13
546,18
61,71
81,71
127,81
226,93
323,24
231,92
130,18
82,35
61,63
67,90
94,20
151,19
267,65
375,35
273,22
153,90
94,98
67,78
Tablica 4: Porównanie ARL dla kart Kendalla i autokorelacji dla kopuły FGM ze znanymi
rozkładami brzegowymi, liczność próbki n = 50. Źródło danych: opracowanie własne.
Karta Kendalla
Karta autokorelacji
k = 2,20
k = 2,15
k = 2,038
k = 1,783
α
dowolny rozkład
prawdopodobieństwa
N (0, 1)
Exp(0, 1)
1
0,75
0,50
0,25
0
-0,25
-0,50
-0,75
-1
64,87
87,63
138,91
248,46
352,46
249,64
139,05
86,99
64,00
64,72
88,17
140,52
249,57
352,79
255,06
143,06
88,94
64,58
76,71
103,06
153,79
246,99
352,29
308,14
186,68
113,45
77,60
10
k = 2,120
W (1, 12 )
k = 2,194
√ √
U (− 3, 3)
113,66
143,16
188,28
256,95
352,12
435,05
414,74
304,29
202,87
62,70
84,14
133,88
226,93
352,89
248,86
136,54
84,89
62,64
66,91
91,95
145,91
254,30
352,39
259,50
148,34
92,63
66,77
L(0, 1)
n=10
800
karta K
n=50
karta A
800
karta mA
400
ARL=350
karta mA
400
200
200
0
0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
ARL=350
−1.0
−0.5
α
karta K
0.0
0.5
1.0
α
n=100
800
n=200
karta A
800
karta mA
karta K
karta A
karta mA
600
400
ARL=350
ARL
600
ARL
karta A
600
ARL
ARL
600
karta K
400
200
200
0
0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
ARL=350
−1.0
α
−0.5
0.0
0.5
1.0
α
Rysunek 2: Porównanie ARL dla karty Kendalla, karty autokorelacji i zmodyfikowanej karty
autokorelacji dla kopuły FGM o brzegowych rozkładach wykładniczych Exp(1). Źródło danych: opracowanie własne.
11
W ostatnim podrozdziale rozdziału 5 zaprezentowano zastosowanie zaproponowanej karty
Kendalla na dwóch przykładach - dla danych rzeczywistych i symulowanych.
W rozdziale 6 zaproponowano rozszerzenie karty kontrolnej Kendalla do postaci rozmytej,
tak by możliwe było jej stosowanie również w przypadku nieprecyzyjnych danych. Do opisu
nieprecyzyjności danych wykorzystano teori˛e zbiorów rozmtych. Jej podstawowe poj˛ecia podano w podrozdziale 6.1. W podrozdziale 6.2 przedstawiono rozmyty odpowiednik statystyki
Kendalla dla seryjnie skorelowanych danych (3.1). Mianowicie, przyjmujac,
˛ że każda rozmyta
α
α
obserwacja Z̃i zdefiniowana jest przez α-ci˛ecie [Zi,L
, Zi,U
], 0 < α ≤ 1 oraz korzystajac
˛ z zasady rozszerzania, zdefiniowano α-ci˛ecia dla wielkości Vi (3.2) w nast˛epujacy
˛ sposób:
α
Vi,L
=
cardj6=i {(zj , zj+1 ) : zj < zi , zj+1 < zi+1 }
α ]
zi ∈[Zi,L ,Zi,U
n−2
(3.8)
cardj6=i {(zj , zj+1 ) : zj < zi , zj+1 < zi+1 }
zi ∈[Zi,L ,Zi,U ]
n−2
(3.9)
min
α
i=1,...,n
oraz
α
Vi,U
=
max
α
α
i=1,...,n
α
α
dla i = 1, . . . , n−1. Znajac
˛ z kolei α-ci˛ecia [Vi,L
, Vi,U
], 0 < α ≤ 1 dla każdego i = 1, . . . , n−1
bezpośrednio wyznaczono nast˛epujace
˛ α-ci˛ecia dla rozmytej statystyki τ Kendalla:
n−1
τLα
oraz
4 X α
V −1
=
n − 1 i=1 i,L
(3.10)
n−1
τUα =
4 X α
V − 1.
n − 1 i=1 i,U
(3.11)
Pomimo zwi˛ezłych postaci wzorów (3.10) i (3.11) wyznaczenie funkcji przynależności rozmytej statystyki τ Kendalla okazuje si˛e w ogólnym przypadku zadaniem trudnym i skomplikowanym obliczeniowo. W sytuacji gdy liczba obserwacji rozmytych w całym zbiorze jest
niewielka (n ≤ 20), można skorzystać z ogólnej metody obliczania dokładnej postaci funkcji przynależności zaproponowanej przez Héberta, Masson, Denœux (2003). Innym rozwiaza˛
niem jest zastosowanie algorytmów optymalizacji stochastycznej opartych na metodach Monte
Carlo (Denœux, Masson, Hébert, 2005). Niemniej, gdy liczba obserwacji rozmytych jest stosunkowo duża, tj. n ≥ 50 (a w przypadku stosowania karty kontrolnej Kendalla pożadane
˛
jest
by próbka była co najmniej tej wielkości), wymienione metody wyznaczenia funkcji przynależności rozmytej statystyki Kendalla wcale nie musza˛ być skuteczne. Istnieje zatem potrzeba
zaprojektowania efektywnego algorytmu obliczajacego
˛
τLα i τUα . W podrozdziale 6.3 przedstawiono różne podejścia do wyznaczenia α-ci˛ecia rozmytej statystyki Kendalla w przypadku dużej liczby rozmytych obserwacji w rozważanym zbiorze danych. W przypadku dużych próbek,
jakie rozważano, zadanie to nie jest łatwe. Do przedziałowego oszacowania rozmytej statystyki
Kendalla wykorzystano cztery zaproponowne algorytmy. W eksperymencie symulacyjnym porównano efektywność tych algorytmów. W podrozdziale 6.4 zaproponowano konstrukcj˛e rozmytej karty kontrolnej Kendalla. Ten problem stanowi jednak dopiero poczatek
˛ badań w tym
kierunku. Ważnym zagadnieniem jest tu analiza ARL dla rozmytej karty Kendalla, czyli weryfikacja w jaki sposób nieprecyzyjność danych wpływa na istotna˛ charakterystyk˛e kart kontrolnych jaka˛ jest ARL.
12
4 Podsumowanie
Wyst˛epowanie zależności w danych statystycznych opisujacych
˛
procesy może w sposób istotny
zmienić własności stosowanych w praktyce procedur statystycznego sterowania procesami
(SPC). Z przedstawionej w rozprawie analizy bieżacego
˛
stanu wiedzy dotyczacej
˛ tego zagadnienia, której przeprowadzenie stanowiło poboczny cel rozprawy wynika, że uwzgl˛ednienie
takich zależności w sposób zdecydowany komplikuje procesy projektowania i wdrażania procedur SPC. Potrzebna jest wi˛ec prosta i uniwersalna procedura pozwalajaca
˛ praktykom wskazać, kiedy zachodzi konieczność stosowania specjalistycznych procedur SPC uwzgl˛edniajacych
˛
wyst˛epowanie zależności w danych. Opracowanie takiej procedury było podstawowym celem
rozprawy, który zrealizowano proponujac
˛ oryginalne zastosowanie nieparametrycznej procedury statystycznej - karty Kendalla - do wykrywania rozregulowań procesu ujawniajacych
˛
si˛e
w postaci zależności wyst˛epujacych
˛
pomi˛edzy kolejnymi jego obserwacjami. Wykonane dotychczas badania symulacyjne niosa˛ ciekawe i obiecujace
˛ wyniki.
Statystyczne własności nieparametrycznej karty Kendalla nie zależa˛ od postaci rozkładu
obserwowanych danych. Z tego powodu karta ta może być bezpiecznie stosowana podczas
wst˛epnych badań procesu, kiedy dost˛epne informacje nie pozwalaja˛ na dokładny opis procesu, a w zwiazku
˛
z tym na wybór odpowiednio efektywniejszego narz˛edzia SPC. Aspekt ten
pozostaje uzasadniony także w przypadku, gdy dane nie sa˛ określone precyzyjnie. Niestety,
w przypadku danych nieprecyzyjnych niezb˛edne obliczenia staja˛ si˛e znacznie bardziej zawiłe.
W rozprawie przedstawiono propozycj˛e, co stanowiło jej drugi cel badawczy, efektywnej metody obliczeniowej, pozwalajacej
˛ na skonstruowanie odpowiednika karty Kendalla dla danych
przedziałowych (rozmytych). Zaproponowany oryginalny algorytm do wyznaczania α-ci˛ecia
dla rozmytej statystyki Kendalla ma wystarczajaco
˛ prosta˛ postać, chociaż jego własności nie
można jeszcze uznać za w pełni zadowalajace.
˛ Dalsze badania dotyczace
˛ postaci algorytmu obliczajacego
˛
α-ci˛ecia dla rozmytej statystki τ Kendalla powinny prowadzić do zaproponowania
algorytmu znacznie bardziej efektywnego, wyznaczajacego
˛
w dokładniejszy sposób α-ci˛ecia.
Z kolei innym ciekawym i ważnym problemem jest analiza wartości ARL dla rozmytej karty
Kendalla, czyli sprawdzenie, w jaki sposób nieprecyzyjność danych wpływa na istotna˛ charakterystyk˛e kart kontrolnych, jaka˛ jest średnia liczba pomiarów do pojawienia si˛e pierwszego
sygnału alarmowego - ARL. Temat ten stanowi kierunek dalszych badań nad rozmyta˛ karta˛
Kendalla.
Literatura
[1] Alwan L.C., Roberts H.V. (1988), Time-series modeling for statistical process control,
Journal of Business & Economic Statistics 6, 87–95.
[2] Alwan, L. C. (1995), The problem of misplaced control limits. Journal of the Royal
Statistical Society Series C (Applied Statistics) 44, 269–278.
[3] Bagshaw M., Johnson R.A. (1975), The Effect of Serial Correlation on the Performance
of CUSUM Tests II, Technometrics 17, 73–80.
[4] Box G.E.P., Jenkins G.M., (1983), Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i sterowanie, PWN, Warszawa (wyd. oryg. 1976).
[5] Bubley R., Dyer M. (1999), Faster random generation of linear extensions, Discrete
Mathematics 201, 81–88.
[6] Denœux T., Masson M.H., Hébert P.A. (2005), Nonparametric rank-based statistics and
significance tests for fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems 153, 1-28.
[7] Dubois D., Prade H. (1983), Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory,
Information Sciences 30, 184–244.
13
[8] Ferguson T.S., Genest C., Hallin M. (2000), Kendall’s tau for Serial Dependence, The
Canadian Journal of Statistics 28, 587-604.
[9] Genest C., Quessy J.F., Rémillard B. (2002), Test of serial independence based on Kendall’s process, The Canadian Journal of Statistics 30, 1-21.
[10] Goldsmith, Whitfield (1961), Average run length in cumulative chart quality control
schemes, Technometrics 3, 11-20.
[11] Grzegorzewski P., Hryniewicz O. (2000), Soft methods in statistical quality control, Control and Cybernetics 29, 119–140.
[12] Grzegorzewski P. (2006), Wspomaganie decyzji w warunkach niepewności. Metody statystyczne dla nieprecyzyjnych danych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa.
[13] Hallin M., Mélard G. (1988), Rank-Based Tests for Randomness Against First-Order
Serial Dependence, Journal of the American Statistical Association 83, 1117-1128.
[14] Hamrol A., Mantura W. (1998), Zarzadzanie
˛
Jakościa˛ - Teoria i Praktyka, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa.
[15] Hébert, P.A., Masson M.H., Denœux T. (2003), Fuzzy rank correlation between fuzzy
numbers, Proc. of IFSA World Congress, Istanbul, Turkey, 224–227.
[16] Hryniewicz O. (1996), Nowoczesne metody statystycznego sterowania jakościa,
˛ Ominitech Press, Warszawa.
[17] Hryniewicz O. (2006), Possibilistic decisions and fuzzy statistical tests, Fuzzy Sets and
Systems 157, 2665–2673.
[18] Hryniewicz O. (2007), Looking for dependencies in short time series using imprecise
statistical data, w: Castillo O., Melin P., Ross O.M., Cruz R.S., Pedrycz W., Kacprzyk J.
(red.), Theoretical Advances and Applications of Fuzzy Logic and Soft Computing,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 201–208.
[19] Hryniewicz O., Szediw (Olwert) A. (2007), Nieparametryczne metody statystycznego
sterowania procesami (SPC), Studia i Materiały Polskiego Stowarzyszenia Zarzadzania
˛
Wiedza˛ 8, 63–72.
[20] Hryniewicz O., Szediw (Olwert) A. (2008a), Kendall Control Chart for Fuzzy Data, w:
Atanassov K., Chountas P., Kacprzyk J., Krawczak M., Melo-Pinto P., Szmidt E., Zadrozny S. (red.), Developments in Fuzzy Sets, Intuitionistic Fuzzy Sets, Generalized Nets
and Related Topics. Applications, EXIT, Warszawa.
[21] Hryniewicz O., Szediw (Olwert) A. (2008b), Fuzzy Kendall τ Statistic for Autocorrelated
Data, w: Dubois D., Lubiano M. A., Prade H., Gil M. A.,Grzegorzewski P., Hryniewicz
O. (red.), Soft Methods for Handling Variability and Imprecision, Advances in Soft Computing, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
[22] Hryniewicz O., Szediw (Olwert) A. (2010), Sequential Signals on a Control Chart Based on Nonparametric Statistical Tests, w: Lenz H.J., Wilrich P.Th., Schmid W. (red.),
Frontiers in Statistical Quality Control 9, Springer, Heidelberg, 99–117.
[23] Iwasiewicz A. (1999), Zarzadzanie
˛
Jakościa,
˛ Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.
[24] Jiang W., Tsui K.L., Woodall W.H., (2000), The New SPC Monitoring Method: The
ARMA Chart, Technomerics 42, 399–410.
[25] Johnson R.A., Bagshaw M., (1974), The Effect of Serial Correlation on the Peformance
of CUSUM Tests, Technomerics 16, 103–112.
[26] Johnson M. E. (1987), Multivariate Statistical Simulation Wiley, New York.
[27] Kendall, (1948), Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
[28] Knoth S., Schmid W. (2004), Control Charts for Time Series: A Review., In: Frontiers in
Statistical Quality Control VII, Lenz H.J. and Wilrich P.T. (red.), Springer, 210-236.
[29] Lu C.W., Reynolds Jr. M.R. (1999a), EWMA Control Charts for Monitoring the Mean of
Autocorrelated Processes, Journal of Quality Technology 31, 166–188.
14
[30] Lu C.W., Reynolds Jr. M.R. (1999b), Control Charts for Monitoring the Mean and Variance of Autocorrelated Processes, Journal of Quality Technology 31, 259–274.
[31] Lu C.W., Reynolds Jr. M.R. (2001), CUSUM Charts for Monitoring An Autocorrelated
Process, Journal of Quality Technology 33, 316–334.
[32] Maragah H.D., Woodall W.H. (1992), The Effect of Autocorrelation on the Retrospective
X-Chart, Journal of Statistical Computation and Simulation 40, 29–42.
[33] Montgomery D.C., Mastrangelo C.M. (1991), Some Statistical Process Control Methods
for Autocorrelated Data, Journal of Quality Technology 23, 179–193.
[34] Nelsen R.B. (2006), An Introduction to Copulas, 2nd ed. Springer, New York.
[35] Reynolds M.R., Arnold J.C., Baik J.W. (1996), Variable Sampling Interval X̄ Charts in
the Presence of Correlation, Journal of Quality Technology 28, 12–30.
[36] Schmid W. (1995), On the run length of a Shewhart control chart for correlated data,
Statistical Papers 36, 111–130.
[37] Schmid W. (1997a), On EWMA Charts for Time Series, w: Lenz H.J., Wilrich P.T. (red.),
Frontiers in Statistical Quality Control V, Physica Verlag, Heidelberg, 115-137.
[38] Shewhart W.A. (1931), Economic control of quality of manufactured product, D. Van
Nostrand Company, Inc.
[39] Shumway R.H., Stoffer D.S. (2006), Time Series Analysis and Its Applications, Springer.
[40] Stamboulis A.P. (1971), First Order Autoregressive Model Applied to Quality Control,
New York University memorandum.
[41] Thompson J. R., Koronacki J., Nieckuła J. (2005), TECHNIKI ZARZADZANIA
˛
JAKOŚCIA˛ od Shewharta do metody „Six Sigma”, Exit, Warszawa.
[42] VanBrackle III L.N., Reynolds Jr. M.R. (1997), EWMA and CUSUM Control Charts in
Presence of Correlations, Communications in Statistics – Simulation and Computation
26, 979–1008.
[43] Vasilopoulos A.V. (1974), Second Order Autoregrresive Model Applied to Quality Control, Ph.D. dissertation, New York University.
[44] Vasilopoulos A.V., Stamboulis A.P. (1978), Modification of Control Limits in the Presence of Correlation, Journal of Quality Technology 10, 20–30.
[45] Wardell D.G., Moskowitz H., Plante R.D. (1994), Run-Length Distributions of SpecialCause Control Charts for Correlated Processes, Technometrics 36, 3–17.
[46] Yourstone S.A., Montgomery D.C. (1989), A Time-Series Approach to Discrete RealTime Process Quality Control, Quality and Reliability Engineering International 5, 309–
317.
[47] Yourstone S.A., Montgomery D.C. (1991), Detection of Process Upsets – Sample Autocorrelation Control Chart and Group Autocorrelation Control Chart Applications, Quality and Reliability Engineering International 7, 133–140.
[48] Yashchin E. (1993), Performance of CUSUM Control Schemes for Serially Correlated
Observations, Technometrics 35, 37–52.
[49] Zadeh L.A. (1965), Fuzzy Sets, Information and Control 8, 338–353.
[50] Zhang N.F. (1998), Statistical Control Chart for Stationary Process Data, Technometrics
40, 24–38.
15