Matematyka finansowa -zestaw 4 - teoria Renty

Matematyka finansowa -zestaw 4 - teoria
Renty - teoria
Jak napisałem na poprzedniej kartce, rentą często nazywa się dowolny strumień płatności.
Jednakże ja będę nazywać rentą strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych
sum z wcześniej uzbieranych środków. W związku z tym większość wzorów jest dokładnie
taka sama jak w poprzednim rozdziale (co najwyżej zmienia się kierunek przypływu
pieniądza).
Jedyna różnica jest następująca: o ile wpłacać pieniądze na jakieś konto czy do funduszu
można potencjalnie w nieskończoność, to rentę wypłacać można tylko tak długo, jak
długo istnieje jakiś kapitał, z którego można czerpać. Dlatego w tym rozdziale skupimy
się na zadaniach związanych z czasem wypłacania renty, tj. obliczaniem, kiedy renta się
zakończy. Najważniejszym równaniem do zapamiętania z tego rozdziału jest równanie
końca renty czasowej.
Rentą czasową nazywamy rentę o skończonej liczbie rat. Rentą wieczystą - rentę o
nieskończonej liczbie rat. Oczywiście rozróżniamy renty płatne z góry i z dołu (jak przy
wkładach oszczędnościowych). Nadal zakładamy model kapitalizacji złożonej.
Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólności, zakładamy, że mamy zawsze do czynienia z
tzw. rentą pewną - czyli wypłacaną niezależnie od tego, czy odbiorca żyje.
Renta geometryczna to renta, której kolejne raty tworzą ciąg geometryczny. Najczęstszym
przykładem jest renta uwzględniająca przypuszczalną inflację. Oczywiście analogicznie
można rozważać rentę arytmentyczną, ale ponieważ nie spotkałem się z jej praktycznym
zastosowaniem, nie znajdzie się ona w materiale kursu.
Kilka wzorów i oznaczeń do zapamiętania
𝑆𝑛 - dotychczasowa wartość renty (czyli wszystkich rat wypłaconych do momentu 𝑛)
zaktualizowana na moment 𝑛. 𝐾 - kapitał rentowy początkowy. 𝐾𝑛 - stan kapitału
rentowego (czyli kapitału, z którego wypłacana jest renta) po 𝑛 okresach bazowych
(wypłat). 𝑁 - moment, w którym kończy się wypłata renty czasowej. Oczywiście 𝐾 = 𝑆𝑞𝑁𝑁
i 𝐾𝑛 = 𝐾0 𝑞 𝑛 − 𝑆 𝑛 .
Renta stała. 𝑊 - 𝑛wysokość pojedynczej wypłaty. Jak w wypadku
wpłat: renta wypłacana
𝑛 −1
−1
z dołu 𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞𝑞−1
. Renta wypłacana z góry: 𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞 𝑞𝑞−1
. Warunek wieczystości
renty: 𝑊 ≤ 𝐾0 𝑟. Zatem maksymalna renta wieczysta jest określona wzorem: 𝑊𝑤 = 𝐾𝑟
w przypadku rent z dołu i 𝑊𝑤 = 𝐾𝑟
, w przypadku rent z góry (bo wszystkie odsetki
𝑞
trzeba zdyskontować na początek odpowiedniego okresu bazowego).
Równanie końca renty czasowej: 𝐾𝑁 = 𝐾𝑞 𝑁 −𝑆𝑁 = 0. Uwaga - mimo podobieństwa
symboli równanie to jest inne niż to, z którego wyliczamy 𝑆𝑁 w modelu wpłat. W
szczególności, w zadaniach, w których najpierw zbieramy kapitał, a potem z niego pobieramy rentę, w części pierwszej wyliczamy 𝐾 = 𝑆𝑁 (gdzie 𝑆𝑛 oznacza wartość WPŁACONEGO kapitału w momencie 𝑛, a 𝑁 jest liczbą wpłat), a następnie koniec renty
wyliczamy z równania 𝐾𝑞 𝑁 = 𝑆𝑁 (gdzie 𝑁 jest liczbą wypłat, a 𝑆𝑛 jest wartością
WYPŁACONEJ renty w momencie 𝑛). Oczywiście w konkretnym zadaniu staramy się
tak ustawić oznaczenia, by nie mieć ich kolizji (indeksy są pomocne).
Renta geometryczna.
𝑊 -wysokość pierwszej wpłaty, 𝑎 - iloraz ciągu.
Renta z dołu:
𝑞 𝑛 −𝑎𝑛
𝑞 𝑛 −𝑎𝑛
𝑛−1
𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞−𝑎 . Jeśli 𝑞 = 𝑎, to 𝑆𝑛 = 𝑛𝑊 𝑞
Renta z góry: 𝑆𝑛 = 𝑊 𝑞 𝑞−𝑎 , a jeśli 𝑞 = 𝑎,
𝑛
to 𝑆𝑛 = 𝑛𝑊 𝑞 .
Dobrej zabawy!
Grzesiek Kosiorowski
1