•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Transkrypt

First Prev Next Last Go
Back Full Screen Close Quit
O ukªadach równa«
i nierówno±ci wielomianowych
Stanisªaw Spodzieja
Wydziaª Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu ódzkiego
W¦gierska Górka 2010
Streszczenie
Celem wykªadu jest przedstawienie znaczenia metody Sturma w geometrii zbiorów semialgebraicznych. Dokªadniej, zajmiemy si¦ nast¦puj¡cymi
zagadnieniami:
1. Twierdzenie Sturma.
2. Zbiory semialgebraiczne.
3. Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga.
4. Lemat R. Thoma.
5. Rozkªad cylindryczny zbioru semialgebraicznego.
Rozwi¡zywanie równa« algebraicznych interesowaªo matematyków od
czasów staro»ytnych. Narzucaªy je problemy geometryczne wynikaj¡ce
z zagadnie« praktycznych. Prawdopodobnie ju» staro»ytni Babilo«czycy
umieli rozwi¡zywa¢ równania kwadratowe (poªowa XX w. przed Chrystusem). Wobec braku algorytmu rozwi¡zywania równa« wy»szych stopni,
wielu matematyków rozwa»aªo problem:
istnienia i ilo±ci rozwi¡za« rzeczywistych równa« wielomianowych
np.: Kartezjusz (1596-1650), Rolle (1652-1719), Lagrange (1736-1813),
Fourier (1768-1830), Cauchy (1789-1857), Sturm (1803-1855), Hermite
(1822-1901), Kronecker (1823-1891).
Rozwi¡zywanie równa« algebraicznych interesowaªo matematyków od
czasów staro»ytnych. Narzucaªy je problemy geometryczne wynikaj¡ce
z zagadnie« praktycznych. Prawdopodobnie ju» staro»ytni Babilo«czycy
umieli rozwi¡zywa¢ równania kwadratowe (poªowa XX w. przed Chrystusem). Wobec braku algorytmu rozwi¡zywania równa« wy»szych stopni,
wielu matematyków rozwa»aªo problem:
istnienia i ilo±ci rozwi¡za« rzeczywistych równa« wielomianowych
np.: Kartezjusz (1596-1650), Rolle (1652-1719), Lagrange (1736-1813),
Fourier (1768-1830), Cauchy (1789-1857), Sturm (1803-1855), Hermite
(1822-1901), Kronecker (1823-1891).
Pierwsze peªne rozwi¡zanie tego problemu (cho¢ niezbyt przydatne w
praktyce) podaª Cauchy (1814, 1815, 1820). Prosty algorytm obliczania
ilo±ci zer wielomianu podaª Sturm (1829, 1835). Celem tego punktu jest
przedstawienie tego algorytmu.
Zacznijmy od denicji:
Denicja. Mówimy, »e ci¡g
i-tym miejscu, gdy istnieje l
pi
1
pl <
0
(p0 , : : : , pm )
i takie, »e
oraz pj
=
0
2
m+1
R
dla i ¬ j
zmienia znak na
¬l
1.
pi
1
pl <
0
2
(p0 , : : : , pm )
i takie, »e
oraz pj
=
0
m+1
R
dla i ¬ j
Niech t oznacza jedn¡ zmienn¡.
Denicja. Ci¡giem Sturma wielomianów P
nazywamy ci¡g P , : : : , Pm
0
(E)
Pi
gdzie Pm
1
= P i Fi
6=
, Pm +
0
Pi + 1 ,
1
=
0
2
R[
deg
0,
P1
2
zmienia znak na
¬l
R[
1.
6
t], gdzie P1 = 0,
t] okre±lony algorytmem Euklidesa:
Pi + 1 <
deg
oraz F , : : : , Fm
1
Pi
2
R[
dla i = 1, : : : , m,
t].
pi
1
pl <
i takie, »e
oraz pj
0
2
(p0 , : : : , pm )
=
0
m+1
R
dla i ¬ j
Niech t oznacza jedn¡ zmienn¡.
Denicja. Ci¡giem Sturma wielomianów P
nazywamy ci¡g P , : : : , Pm
0
(E)
Pi
gdzie Pm
1
= P i Fi
6=
, Pm +
0
Denicja. Niech
Pi + 1 ,
1
=
0
2
2
R[
deg
0,
P1
2
zmienia znak na
¬l
R[
1.
6
t], gdzie P1 = 0,
t] okre±lony algorytmem Euklidesa:
Pi + 1 <
deg
oraz F , : : : , Fm
1
Pi
2
R[
dla i = 1, : : : , m,
t].
P
R[t] b¦dzie wielomianem dodatniego stopnia. Niech P0, : : : , Pm b¦dzie ci¡giem Sturma wielomianów P i P 0
(tzn. P0 = P , P1 = P 0). Dla ka»dego a R oznaczamy:
2
vP (a) = ilo±¢ miejsc zmian znaku ci¡gu P0 (a), : : : , Pm (a).
2
Twierdzenie 1. (Sturm). Niech
P
R[t] b¦dzie wielomianem dodatniego stopnia i niech a, b R, a < b oraz P (a) = 0, P (b) = 0.
Wówczas wielomian P w przedziale (a, b) ma dokªadnie vP (a) vP (b)
2
6
6
zer (bez uwzgl¦dniania ich krotno±ci).
2
Twierdzenie 1. (Sturm). Niech
P
R[t] b¦dzie wielomianem dodatniego stopnia i niech a, b R, a < b oraz P (a) = 0, P (b) = 0.
Wówczas wielomian P w przedziale (a, b) ma dokªadnie vP (a) vP (b)
2
6
6
zer (bez uwzgl¦dniania ich krotno±ci).
Twierdzenie to jest dobrze znane, jego dowód mo»na znale¹¢ na przykªad
w ksi¡»ce:
A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyzszej, PWN, Warszawa
1956.
Wynik Sturma zyskaª ogromne uznanie w±ród matematyków, co oddaje
opinia Hermite:
"Twierdzenie Sturma zrobiªo wielk¡ furor¦ staj¡c si¦ natychmiast klasycznym i na zawsze znalazªo miejsce w nauce. Jego dowód, w którym
u»ywane s¡ tylko najbardziej elementarne metody, jest rzadkim przykªadem prostoty i elegancji"
(http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Sturm.html).
Twierdzenie Sturma zilustrujemy przykªadem.
Przykªad 1. Niech P
mianów P i P 0 jest
P0 = t3
Dla a =
3
0
t + 1,
= t3
3
P1 = 3t2
wi¦c vP (0)
1
P2 = 2t
3,
1,
P3 =
9
4.
ci¡g warto±ci powy»szych wielomianów ma posta¢
(1,
Dla a =
t + 1. Wówczas ci¡giem Sturma wielo-
=
2
3,
1, 9
4),
.
ci¡g warto±ci powy»szych wielomianów ma posta¢
(
wi¦c vP (1)
=
1, 0, 1, 9
4),
.
1
W konsekwencji, vP (0) vP (1) = 1. Zatem twierdzenie 1 daje, »e
wielomian P ma w przedziale (0, 1) dokªadnie jedno zero.
Niech P
2
R[
t] b¦dzie wielomianami dodatniego stopnia.
Denicja. Przez
lc(
P ) oznaczamy wspóªczynnik wielomianu P przy
najwy»szej pot¦dze t.
Niech P
2
R[
Denicja. Przez
lc(
Denicja. Dla ci¡gu Sturma P
jemy:
0,
: : : , Pm wielomianów P i P 0 , przyjmu-
1) = ilo±¢ miejsc zmian znaku ci¡gu
vP (+1) = ilo±¢ miejsc zmian znaku ci¡gu
vP (
lc(
P0 ( t)), : : : ,
lc(
P0 ) , : : : ,
lc(
lc(
Pm ( t)),
Pm ) .
Niech P
2
R[
Denicja. Przez
lc(
Denicja. Dla ci¡gu Sturma P
jemy:
0,
: : : , Pm wielomianów P i P 0 , przyjmu-
vP (+1) = ilo±¢ miejsc zmian znaku ci¡gu
vP (
lc(
P0 ( t)), : : : ,
lc(
P0 ) , : : : ,
lc(
lc(
Pm ( t)),
Pm ) .
Z twierdzenia 1 Sturma dostajemy wzór na ilo±¢ rzeczywistych zer wielomianu:
Wniosek 1. Wielomian P ma w R dokªadnie vP (
1)
vP (+
1) zer.
Przykªad 2. Obliczmy ilo±¢ zer wielomianu P
1. Ci¡giem Sturma wielomianów P i P 0 jest
P0 = t3
3
t + 1,
P1 = 3t2
t + 1 z przykªadu
= t3
3
P2 = 2t
3,
P3 =
1,
9
4,
wi¦c
lc(
P0 ( t)) =
lc(
P0 ) =
1,
1,
lc(
P1 ( t)) =
lc(
P1 ) =
1)
=
lc(
lc(
3,
St¡d, vP ( 1) = 3, vP (+1)
stych zer wielomianu P wynosi
vP (
3,
0
vP (+
P2 ( t)) =
P2 ) =
lc(
2,
2,
lc(
P3 ) =
P3 ( t)) =
9
9
4,
4.
i wobec wniosku 1, ilo±¢ rzeczywi-
1) =
3
0
=
3.
Niech P , Q 2 R[t] b¦d¡ wielomianami dodatnich stopni.
Denicja. Dla ci¡gu Sturma P , : : : , Pm wielomianów P i P 0 Q, przyjmujemy:
0
vP Q (+1) = ilo±¢ miejsc zmian znaku ci¡gu
vP ,Q (
lc(
P0 ( t)), : : : ,
,
lc(
P0 ) , : : : ,
lc(
lc(
Pm ( t)),
Pm ) .
0
vP ,Q (
lc(
P0 ( t)), : : : ,
,
lc(
P0 ) , : : : ,
lc(
lc(
Pm ( t)),
Pm ) .
Podobnie jak twierdzenia 1 dowodzimy:
Twierdzenie 2. Ilo±¢ zer
2
wielomianu P takich, »e Q(c) > 0
minus ilo±¢ zer c 2 R wielomianu P takich, »e Q(c) < 0, wynosi
vP Q ( 1) vP Q (+1).
,
c
R
,
0
vP ,Q (
lc(
P0 ( t)), : : : ,
,
lc(
P0 ) , : : : ,
lc(
lc(
Pm ( t)),
Pm ) .
Podobnie jak twierdzenia 1 dowodzimy:
Twierdzenie 2. Ilo±¢ zer
2
wielomianu P takich, »e Q(c) > 0
minus ilo±¢ zer c 2 R wielomianu P takich, »e Q(c) < 0, wynosi
vP Q ( 1) vP Q (+1).
,
c
R
,
Stosuj¡c twierdzenie 2 ªatwo dowodzimy:
Wniosek 2. Niech
P , Q1 , : : : , Qk
datnich stopni. Wówczas ilo±¢ zer
Q (c) > 0, : : : , Qk (c) > 0, wynosi
k X
2
c 2
t] b¦d¡ wielomianami doR wielomianu P takich, »e
R[
1
(1
gdzie Q
= Q1 1
2
)
1)
2f1,2gk [vP ,Q (
Qkk dla = (
1,
:::,
1)]
k ), i 2 f
g.
vP ,Q (+
,
1, 2
Denicja. Zbiór
n
nazywamy semialgebraicznym, gdy jest on
sum¡ sko«czonej ilo±ci zbiorów postaci:
f 2
gdzie k 2 , k
X
n
V = R
Z
0
R
P ( ) =
0,
Q1 ( ) >
, oraz P , Q : : : , Qk
1
2
0,
R[
: : : , Qk ( ) >
g
0
,
x1 , : : : , xn ] .
Denicja. Zbiór
n
nazywamy semialgebraicznym, gdy jest on
sum¡ sko«czonej ilo±ci zbiorów postaci:
f 2
gdzie k 2 , k
X
n
V = R
Z
0
R
P ( ) =
0,
Q1 ( ) >
, oraz P , Q : : : , Qk
1
2
0,
R[
: : : , Qk ( ) >
g
0
,
x1 , : : : , xn ] .
Uwaga 1. Rodzina zbiorów semialgebraicznych przestrzeni Rn jest za-
mkni¦ta ze wzgl¦du na dopeªnienie oraz sumy i iloczyny sko«czonej ilo±ci
zbiorów.
Metoda Sturma zaowocowaªa w pracach Tarskiego (1948, 1951) dotycz¡cych opuszczania kwantykatorów w formuªach i dalej w pracy Seidenberga (1954) o istnieniu rozwi¡za« ukªadu nierówno±ci wielomianowych.
Obecnie twierdzenia Tarskiego i Seidenberga formuªuje si¦ nast¦puj¡co:
Twierdzenie 3. (Tarski-Seidenberg). Niech n
m
!
n
b¦dzie rzutowaniem postaci ( , ) = . Je±li X Rn Rm jest zbiorem
semialgebraicznym, to (X ) Rn jest zbiorem semialgebraicznym.
R
R
R
Metoda Sturma zaowocowaªa w pracach Tarskiego (1948, 1951) dotycz¡cych opuszczania kwantykatorów w formuªach i dalej w pracy Seidenberga (1954) o istnieniu rozwi¡za« ukªadu nierówno±ci wielomianowych.
Obecnie twierdzenia Tarskiego i Seidenberga formuªuje si¦ nast¦puj¡co:
Twierdzenie 3. (Tarski-Seidenberg). Niech n
m
!
n
b¦dzie rzutowaniem postaci ( , ) = . Je±li X Rn Rm jest zbiorem
semialgebraicznym, to (X ) Rn jest zbiorem semialgebraicznym.
R
R
R
Dowód powy»szego twierdzenia mo»na sprowadzi¢ do przypadku, gdy
f
X = ( , )
2Y
R
P ( , ) =
0,
Q1 ( , ) >
0,
: : : , Qk ( , ) >
g
0
,
gdzie P , Q , : : : , Qk 2 R[x , : : : , xn, t] i Y Rn jest zbiorem semialgebraicznym takim, »e wielomiany P ( , t), Q ( , t), : : : , Qk ( , t) 2 R[t]
dla 2 Y maj¡ ustalone dodatnie stopnie.
1
1
1
Warunek 2 (X ) oznacza, »e istnieje zero c 2 R wielomianu P ( , t)
takie, »e Q ( , t) > 0, : : : , Qk ( , t) > 0. Wobec wniosku 2, warunek ten
mo»na zapisa¢ jako alternatyw¦ sko«czonej ilo±ci sko«czonych ukªadów
równa« i nierówno±ci wielomianowych od .
1
Uwaga 2. Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga mówi o tym, »e mo»na
opuszcza¢ kwantykator szczegóªowy w formuªach dotycz¡cych równa«
i nierówno±ci wielomianowych (rzeczywistych) poª¡czonych spójnikami
, _, ^. Poniewa» dopeªnienie zbioru semialgebraicznego równie» jest
zbiorem semialgebraicznym, to równie» w takich formuªach mo»na opuszcza¢ kwantykator ogólny.
Uwaga 2. Twierdzenie Tarskiego-Seidenberga mówi o tym, »e mo»na
opuszcza¢ kwantykator szczegóªowy w formuªach dotycz¡cych równa«
i nierówno±ci wielomianowych (rzeczywistych) poª¡czonych spójnikami
, _, ^. Poniewa» dopeªnienie zbioru semialgebraicznego równie» jest
zbiorem semialgebraicznym, to równie» w takich formuªach mo»na opuszcza¢ kwantykator ogólny.
W ±wietle powy»szej uwagi, z twierdzenia Tarskiego-Seidenberga dostajemy natychmiast:
Wniosek 3. Je±li
n jest zbiorem semialgebraicznym, to jego
X
R
domkni¦cie X , brzeg @X i wn¦trze Int X równie» s¡ zbiorami semialge-
braicznymi.
Równie eleganckim w swej prostocie jak twierdzenie Sturma jest lemat
Thoma sformuªowany przez ojasiewicza (1965). Ma on ogromne konsekwencje w badaniach zbiorów semialgebraicznych.
Twierdzenie 4. (Lemat Thoma). Niech P
2
t] b¦dzie wielomianem stopnia d oraz P (j ) b¦dzie j -t¡ pochodn¡ wielomianu P . Wówczas
dla ka»dego ci¡gu . = (.0, : : : , .d ), .i
=, <, > , zbiór
2f
f 2
A. = R
P ( 0 ) ( ) .0 0 , : : :
R[
g
,
g
P ( d ) ( ) .d 0
,
albo jest pusty albo jednoelementowy albo przedziaªem otwartym.
Równie eleganckim w swej prostocie jak twierdzenie Sturma jest lemat
Thoma sformuªowany przez ojasiewicza (1965). Ma on ogromne konsekwencje w badaniach zbiorów semialgebraicznych.
Twierdzenie 4. (Lemat Thoma). Niech P
2
t] b¦dzie wielomianem stopnia d oraz P (j ) b¦dzie j -t¡ pochodn¡ wielomianu P . Wówczas
dla ka»dego ci¡gu . = (.0, : : : , .d ), .i
=, <, > , zbiór
R[
2f
f 2
A. = R
g
P ( 0 ) ( ) .0 0 , : : :
,
g
P ( d ) ( ) .d 0
,
Szkic dowodu. Indukcja wzgl¦dem d. Dla d
teza jest oczywista.
Zaªó»my, »e teza zachodzi dla wielomianów stopnia d 1 i niech P b¦dzie wielomianem stopnia d. Wówczas deg P ( ) = d 1, wi¦c z zaªo»enia
indukcyjnego wielomian P jest funkcj¡ monotoniczn¡ w zbiorze
=
0
1
f 2
A0. = R
P ( 1 ) ( ) .1 0 , : : :
,
P ( d ) ( ) .d 0
g
St¡d dostajemy tez¦ dla wielomianu P .
Denicja. Dla .i 2 f=, <, >g, przyjmujemy
8
>
>
=
>
>
<
.i = ¬
>
>
>
:
dla
.i równego =
dla
.i równego <
dla
.i równego >
.
8
>
>
=
>
>
<
.i = ¬
>
>
>
:
dla
.i równego =
dla
.i równego <
dla
.i równego >
.
Analogicznie jak twierdzenia 4 dowodzimy
Twierdzenie 5. (Lemat Thoma). Niech Q
1,
: : : , Qm
2
R[
t] b¦dzie
ci¡giem wielomianów zamkni¦tym ze wzgl¦du na ró»niczkowanie, tzn.
dla ka»dego Qi istnieje j , »e Qj = Q0i. Wówczas dla ka»dego ci¡gu
. = (. , : : : , .m ), .i 2 f=, <, >g, zbiór
1
f 2
A. = t
R
Q1 (t) .1 0 , : : :
,
g
Qm (t) .m 0
,
8
>
>
=
>
>
<
.i = ¬
>
>
>
:
dla
.i równego =
dla
.i równego <
dla
.i równego >
.
Analogicznie jak twierdzenia 4 dowodzimy
Twierdzenie 5. (Lemat Thoma). Niech Q
1,
2
: : : , Qm
R[
t] b¦dzie
ci¡giem wielomianów zamkni¦tym ze wzgl¦du na ró»niczkowanie, tzn.
dla ka»dego Qi istnieje j , »e Qj = Q0i. Wówczas dla ka»dego ci¡gu
. = (. , : : : , .m ), .i 2 f=, <, >g, zbiór
1
f 2
A. = t
R
Q1 (t) .1 0 , : : :
,
g
Qm (t) .m 0
,
albo jest pusty albo jednoelementowy albo przedziaªem otwartym. Za±
zbiór
f 2
A. = t
R
Q1 (t) .1 0 , : : :
,
g
Qm (t) .m 0
,
albo jest pusty albo jednoelementowy albo przedziaªem domkni¦tym ró»nym od punktu, którego wn¦trzem jest A..
Stosuj¡c lemat Thoma i twierdzenie Tarskiego-Seidenberga, dostajemy
nast¦puj¡cy rozkªad zbioru semialgebraicznego:
Twierdzenie 6. Niech
n, n >
, b¦dzie zbiorem semialgebraicznym. Wówczas istnieje rozkªad przestrzeni Rn
X
R
n
R
= A1
1
[ : : : [ Am
na spójne, parami rozª¡czne zbiory semialgebraiczne postaci
f
Ai = ( , )
lub
f
2 Bi Ai = ( , )
fi ( ) < < gi ( )
R
2 Bi n jest zbiorem
+1 lub fi gi Bi !
R
= fi ( )
g
g
,
semialgebraicznym, fi 1 lub
gi
,
R s¡ ci¡gªymi funkcjami o wykresach
semialgebraicznych i fi ( ) < gi ( ) dla 2 Bi,
przy czym X jest sum¡ pewnej podrodziny rodziny zbiorów A , : : : , Am.
gdzie Bi
R
1
1
Twierdzenie 6 stosowane indukcyjnie prowadzi do algebraicznego rozkªadu cylindrycznego.
Denicja. Algebraicznym rozkªadem cylindrycznym zbioru semialgebraicznego X nazywamy rozkªad zbioru X speªniaj¡cy tez¦ twierdzenia 6,
przy czym zbiory Bi s¡ jednoelementowe lub s¡ przedziaªami otwartymi,
gdy n 1 = 1 oraz (indukcyjnie) Bi s¡ analogicznej postaci jak Ai, gdy
n 1 > 1.
n 1 > 1.
W ±wietle twierdzenia 6, dowolny zbiór semialgebraiczny X Rn ma
rozkªad cylindryczny, a wi¦c
Wniosek 4. Ka»dy zbiór semialgebraiczny jest sum¡ sko«czonej
ilo±ci spójnych podrozmaito±ci przestrzeni
semialgebraicznymi.
n
R
b¦d¡cych zbiorami
n 1 > 1.
W ±wietle twierdzenia 6, dowolny zbiór semialgebraiczny X Rn ma
rozkªad cylindryczny, a wi¦c
Wniosek 4. Ka»dy zbiór semialgebraiczny jest sum¡ sko«czonej
ilo±ci spójnych podrozmaito±ci przestrzeni
semialgebraicznymi.
n
R
b¦d¡cych zbiorami
Umiej¦tno±¢ rozkªadania zbioru semialgebraicznego na cz¦±ci cylindryczne jest kluczowa w badaniach zbiorów semialgebraicznych. Prowadzi
na przykªad do triangulacji zbiorów semialgebraicznych. Podobne fakty zachodz¡ dla zbiorów semianalitycznych (ojasiewicz, 1964) i subanalitycznych (Hironaka, 1974).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Transkrypt

Podobne dokumenty

See PDF file

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo

Pakiet quantum-octave do symulacji obliczeń kwantowych

Quantum implementation of Parrondo`s paradox

X f - sigma web page

Instrukcja przeglądania e

Podręczniki. Nagrody uzyskane przez