X f - sigma web page

Transkrypt

Aproksymacja odwzorowań na przedziały.
Rozważmy odwzorowanie f : [a, b] → [c, d].
Weźmy dwa zbiory kostkowe
X = [−2, 2] ⊂ R,
Y = [−2, 4] ⊂ R
I niech f : X → Y będzie zdefiniowane jako
f (x) = (x −
√
2)(x + 1)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Rys.1
Kostka elementarna - podstawowy obiekt w teorii homologii. Zatem,
X = [−2, −1] ∪ [−1, 0] ∪ [0, 1] ∪ [1, 2]
Chcąc odwzorować elementarne krawędzie w zbiory krawędzi zauważmy, że
f (−2) = 3.41421356..., f (−1) = 0, oraz f jest monotoniczna na przedziale
[−2, −1], zatem
f ([−2, −1]) ⊂ [0, 4] = [0, 1] ∪ [1, 2] ∪ [2, 3] ∪ [3, 4]
Odwzorowanie to można traktować jako takie, które krawędź [0, 1] odwzorowuje
w zbiór krawędzi {[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]} ale pojawia się problem dla
przedziału [0, 1] ponieważ funkcja f nie jest w tym przedziale monotoniczna.
Metoda dobrego oszacowania funkcji.
Twierdzenie 5.1 [Rozwinięcie Taylora] Niech g będzie funkcją n-krotnie
różniczkowalną. Wtedy
g(x) = g(a) +
n−1 (i)
X
g (a)
i=1
i!
i
Z
(x − a) +
a
x
(x − t)n−1 (n)
g (t)dt
(n − 1)!
Powyższe obliczenia zastosowaliśmy do wszystkich jednostkowych przedziałów
zbioru X. Wyniki przedstawia tabela:
Krawędzie X
[−2, −1]
[−1, 0]
[0, 1]
[1, 2]
Granice obrazu
Obraz krawędzi
−0.5 < f (x) < 3.5
{[−1, 0], [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]}
−1.92 < f (x) < 0.1
{[−2, −1], [−1, 0], [0, 1]}
−1.92 < f (x) < −0.83
{[−2, −1], [−1, 0]}
−1.33 < f (x) < 1.76 {[−2, −1], [−1, 0], [0, 1], [1, 2]}
Tabelę powyższą możemy uważać za definicję odwzorowania krawędzi w
zbiory krawędzi, np.:
[0, 1] 7→ {[−2, −1], [−1, 0]}
co można graficznie przedstawić w prostokącie
[0, 1] × [−2, 0] ⊂ [−2, 2] × [−2, 4] = X × Y
Robiąc to dla wszystkich krawędzi w dziedzinie otrzymujemy obszary
pokazane na Rys.2.
Rys.2
Definicja 5.2 Niech X i Y będą zbiorami kostkowymi. Wielowartościowe
odwzorowanie F : X ⇒ Y jest kostkowe jeżeli:
1. Dla każdego x ∈ X , F (x) jest zbiorem kostkowym.
0
◦
2. Dla każdego Q ∈ K(X), F | ◦ jest stałe, tj. jeżeli x, x ∈Q, wtedy F (x) =
0
Q
F (x ).
Używając łańcuchów elementarnych i krawędzi z Tabeli 5.1 zdefiniujemy
odwzorowanie wielowartościowe
F : [−2, 2] ⇒ [−2, 4]
jako
F (x) :=

[-1,4]




[-1,4]




[-1,1]



 [-2,1]
[-2,0]


[-2,0]




[-2,0]



[-2,2]


 [-2,2]
x = −2
x ∈ (−2, −1)
x = −1
x ∈ (−1, 0)
x=0
x ∈ (0, 1)
x=1
x ∈ (1, 2)
x=2
Zwróćmy uwagę na:
1. dla każdego x ∈ X ,
f (x) ∈ F (x).
Zatem, kostkowe, wielowartościowe odwzorowanie F zachowuje się jak zewnętrzna aproksymacja ciągłej funkcji f .
2. F jest zdefiniowane pod względem wierzchołków i wnętrz krawędzi, tj.
krawędzi bez punktów końcowych. Jest to precyzyjne określenie elementarnych
łańcuchów tworzących X .
3. Używamy krawędzi do zdefiniowania obrazów wierzchołków. W szczególności
użyliśmy formuły, że jeżeli v jest wierzchołkiem wspólnym ścian E1 i E2 , wtedy
◦
◦
F (v) := F (E1) ∩ F (E2).
4. Pomimo iż F : X ⇒ Y jest odwzorowaniem zdefiniowanym na
niepoliczalnej liczbie punktów, to jest w całości scharakteryzowany przez ich
wartości na czterech krawędziach tworzących X . Zatem, F jest skończenie
reprezentowalnym odwzorowaniem. Będziemy oznaczać F jako reprezentację
f.
Ponieważ komputer nie może pracować z podzbiorami z R tylko ze skończonymi
zbiorami, Wprowadźmy następującą definicję.
Definicja 5.3 Niech X i Y będą zbiorami kostkowymi. Kombinatoryczne,
kostkowe, wielowartościowe odwzorowanie F : Kmax (X) ⇒ K(Y ) jest
funkcją z Kmax (X) do podzbioru K(Y ).
W szczególności nasze odwzorowanie F może być łatwo zakodowane
w komputerze jako kombinatoryczne, wielowartościowe odwzorowanie
F : K1([−2, 2]) ⇒ K1([−2, 4]) dane jako
F([−2, −1])
F([−1, 0])
F([0, 1])
F([1, 2])
:=
:=
:=
:=
{[−1, 0], [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]}
{[−2, −1], [−1, 0], [0, 1]}
{[−2, −1], [−1, 0]}
{[−2, −1], [−1, 0], [0, 1], [1, 2]}
Aby uzyskać lepszą aproksymacje zawęzimy przedziały X i Y , niech
X=
S8
i
i
i=0 [−2 + 2 , −1.5 + 2 ] i Y =
S12
i=0 [−2
+ 2i , −1.5 + 2i ]
Używając tej samej aproksymacji co poprzednio:
0
0
f (a) − |f (a)||x − a| − (x − a)2 < f (x) < f (a) + |f (a)||x − a| + (x − a)2
dostaniemy dane opisane w Tabeli 5.2. Odpowiedni wykres odwzorowania
pokazuje Rysunek 5.3 Uzyskaliśmy lepszą aproksymacja funkcji niż poprzednio.
Jeżeli weźmiemy odpowiednio małe długości krawędzi dostaniemy odwzorowanie
jak na Rysunku 5.4 (gdzie długości krawędzi wynoszą 0.1).
Krawędzie X
[−2, −1.5]
[−1.5, −1]
[−1, −0.5]
[−0.5, 0]
[0, 0.5]
[0.5, 1]
[1, 1.5]
[1.5, 2]
Granice obrazu
Obraz krawędzi
1.30 < f (x) < 3.32
{[1, 1.5], [1.5, 2], [2, 2.5], [2.5, 3], [3, 3.5]}
−0.12 < f (x) < 1.46
{[−0.5, 0], [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5]}
−1.53 < f (x) < 0.01 {[−2, −1.5], [−1.5, −1], [−1, 0], [0, 1.5]}
−1.52 < f (x) < −0.95
{[−2, −1.5], [−1.5, −1], [−1, −0.5]}
−1.52 < f (x) < −1.37 {[1, 1.5], [1.5, 2], [2, 2.5], [2.5, 3], [3, 3.5]}
−1.49 < f (x) < −0.83
{[−0.5, 0], [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5]}
−0.95 < f (x) < 0.22 {[−2, −1.5], [−1.5, −1], [−1, 0], [0, 1.5]}
0.08 < f (x) < 1.76
{[0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]}
Rys 5.3
Rys 5.4
Oczywiście taki sposób dzielenia dziedziny daje coraz lepsze rezultaty
jeżeli chodzi o dokładność aproksymacji ale niestety wyrzuca nas z klasy
zbiorów kostkowych (niejednostkowe przedziały). Aby tego uniknąć wraz ze
zmniejszaniem długości przedziałów odpowiednio skalować będziemy dziedzinę
funkcji. Jednostkowe przedziały w X = [−2, 2] reprezentują ćwiartki dziedziny.
Rozważmy teraz odwzorowanie
Λ(2) : R → R
dane jako Λ(2) (x) = 2x. Zdefiniujmy
X (2) = Λ(2)(X) = [−4, 4]
i zauważmy, że jednostkowy przedział jest teraz ósmą częścią X (2) . Z
topologicznego punktu widzenia X (2) i X są równoważne dopóki Λ(2) posiada
(2)
odwrotność ΩX : X (2) → X daną jako
1
(2)
ΩX (x) = x.
2
Ponieważ chcemy uzyskać wąską aproksymację dla odwzorowania f : X → Y ,
rozważmy f (2) : X (2) → Y zdefiniowane jako
(2)
f (2) := f ◦ ΩX
lub odpowiednio f (2) : [−4, 4] → Y daną jako
x √ x
f (x) = ( − 2)( + 1).
2
2
(2)
Wykres skojarzonej kostkowej wielowartościowej funkcji F (2) pokazano na
Rysunku 5.5.
Rys 5.5
Nie ma powodu aby ograniczać skalowanie do czynnika 2. Bardziej ogólnie, dla
całkowitego α możemy zdefiniować Λ(α) : R → R jako
Λ(α)(x) = αx.
Powodem dla którego α powinno być całkowite jest zapewnienie aby
elementarne przedziały były posyłane w zbiory kostkowe. Zgodnie z tym
skalowaniem X (α) := Λ(α) (X) = [−2α, 2α]. Przeskalowanie dziedziny X
(α)
funkcji f prowadzi do przeskalowania f poprzez odwrotne odwzorowanie ΩX :
(α)
X (α) → X zdefiniowanego jako ΩX (x) = x/α. Ustalmy
(α)
f (α) := f ◦ ΩX : X (α) → Y.
tzn., biorąc x ∈ X (α) ,
x
f (α)(x) = f ( ).
α
Zauważmy, że możemy odzyskać oryginalne odwzorowanie f z f (α) poprzez
formułę
f (x) = f (α) ◦ Λ(α)(x) = f (α)(αx).
Rysunek 5.6 pokazuje wykres kostkowego wielowartościowego odwzorowania
F (20).
Konstruowanie selektorów łańcuchowych.
W poprzednim rozdziale rozważaliśmy problem aproksymacji odwzorowań z
jednych przedziałów do innych. Oczywiście prawdziwym powodem użycia
aproksymacji jest indukowanie odwzorowań pomiędzy grupami homologii.
Rozdział ten rozpoczynamy od pytania: Jak możemy wykorzystać informacje
zawarte na Rys 5.2 do skonstruowania homomorfizmu grupy:
f∗ : H∗(x) → H∗(Y )
Wiemy, że odwzorowania w homologii są indukowane przez odwzorowania
łańcuchowe. Zatem dla danej wielowartościowej reprezentacji F : X ⇒ Y
jako f : X → Y , spróbujemy uzyskać odpowiednie odwzorowanie łańcuchowe
ϕ : C(X) → C(Y )
Przypomnijmy, że dla jakiegoś x ∈ X istnieje jedyna kostka elementarna
Q ∈ K(X)
◦
taka że x ∈Q. Poprzez analogię do założenia, że f (x) ∈ F (x) wymagać
będziemy inkluzji na poziomie suportu obrazu odwzorowania łańcuchowego, tzn.
◦
b ⊂ F (Q)
|ϕ(Q)|
Odwzorowania łańcuchowe spełniające tą właściwość nazywamy selektorami
łańcuchowymi F.
Aby zobaczyć co to oznacza w praktyce, powróćmy do naszego przykładu z
poprzedniego rozdziału, gdzie F pokazano na Rys 5.2. Przypomnijmy, że bazy
kanoniczne C0 ([−2, 2]) składają się z dualnych(?) wierzchołków
c [−1],
c [b
{[−2],
0], [b
1], [b
2]}.
Podobnie, Bazy kanoniczne C0 (Y ) składają się z
c [−1],
c [b
{[−2],
0], [b
1], [b
2], [b
3], [b
4]}.
Rozpoczynamy od zdefiniowania
ϕ0 : C0(X) → C0(Y )
◦
b ⊂ F (Q) dla wierzchołków. Zdefiniujmy
spełniającego warunek |ϕ(Q)|
\(v)].
ϕ0([b
v ]) := [maxF
Rys.2
c = [b
c = [b
Na przykład, ϕ0 [−2]
4], ϕ0[−1]
1], ϕ0[b
0] = [b
0], itd.
Będziemy identyfikować wierzchołki w C0 (X) i odpowiednio w C0 (Y ) z
kolumnowymi wektorami
 
0
 ... 
 
0
 
n
ej :=  1 
0
 
 ... 
0
kanonicznej bazy Z5 , i odpowiednio Z7 . Dla bazy w C0 (X),
c = e51,
[−2]
c = e52,
[−1]
[b
0] = e53,
... [b
2] = e55,
c = e71,
[−2]
c = e72,
[−1]
[b
0] = e73,
... [b
4] = e77.
i dla C0 (Y ),
Macierz ϕ pozostająca w związku z tymi bazami jest następująca

0
0

0

ϕ0 :=  0
0

0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0

0

0 .
1

0
0
Czy moglibyśmy inaczej zdefiniować ϕ0 ?
np.
\
ϕ0([b
v ]) := [minF
(v)].
Możemy wziąć zupełnie inne odwzorowanie łańcuchowe ale jak to zostanie
pokazane w następnym rozdziale dostaniemy w obu przypadkach jednakowe
odwzorowanie w homologii.
Definiując ϕ1 : C1 (X) → C1 (Y ), na krawędziach w C1 (X), nie możemy
arbitrarnie wybrać krawędzi z C1 (Y ) tak jak zrobiliśmy to w przypadku
wierzchołków. Tutaj dochodzi nam jeszcze jedno dodatkowe ograniczenie z
warunku
∂1ϕ1 = ϕ0∂1
dla odwzorowań łańcuchowych. Będziemy się starali podnieść definicję ϕ0 do
wymiaru jeden tak, aby ten warunek został spełniony. Rozważmy przedział
[−2, −1] ⊂ [−2, 2].
\
Jak powinniśmy zdefiniować ϕ1 ([−2,
−1]).
Wiemy, że
b = [4]
|ϕ0([
[−2])| = |[4]|
oraz
b = [1].
|ϕ0([
[−1])| = |[1]|
Ponieważ rozpoczynamy z odwzorowaniem ciągłym i ponieważ −2 i −1 są
punktami końcowymi przedziału [−2, −1] będziemy obraz przedziału [−2, −1]
rozciągnąć od obrazu punktu −2 do obrazu punktu −1, tj. przeprowadzić go
od 4 do 1. Rys 5.7 przedstawia tą ideę.
Rys 5.7
Liniowy odcinek od obrazu punktu −2 do obrazu punktu −1 zaznaczono na
czerwono.
Oczywiście musimy to zrobić algebraicznie, zatem
\
c2] − [2,
c3] − [3,
c4]
ϕ1([−2,
−1]) := −[1,
i zauważmy, że
\
|ϕ1([−2,
−1])| = [1, 4] ⊂ F ((−2, −1))
◦
b ⊂ F (Q) jest spełniony. Podobnie,
zatem warunek |ϕ(Q)|
\
c1].
ϕ1([−1,
0]) := [0,
Ale co z ϕ1 ([
[0, 1]) gdzie ϕ1(b
0) = ϕ1(b
1) = b
0? Kiedy dwa punkty końcowe
c1]) nie ma odwzorowania do żadnego
są takie same przyjmijmy, że ϕ1 ([0,
c1]) := 0.
przedziału, tj. że ϕ1 ([0,
Chcąc wyrazić ϕ1 za pomocą macierzy identyfikować będziemy krawędzie z
bazami kanonicznymi wektorów, które wcześniej dane były jako wierzchołki.
Dla C1 ([−2, 2]) mamy
\
[−2,
−1] = e41,
[0] = e42,
[−1,
c1] = e43,
[0,
c2] = e44,
[1,
i dla C1 ([−2, 4]) mamy
\
[−2,
−1] = e61,
c4] = e66.
[0] = e62, ..., [3,
[−1,
Stosując opisane wyżej rozumowanie dla każdego przedziału dostaniemy
następującą macierz


0
0

0
ϕ1 := 
 −1
 −1
−1
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
.
1

0
0
Przypomnijmy, że odwzorowanie łańcuchowe generuje odwzorowanie w
homologii, zatem zdefiniujmy f∗ : H∗ (X) → H∗ (Y ) jako
f∗ := ϕ∗
Dopóki X i Y są acykliczne wiemy, że
Hk (X) ∼
= Hk (Y ) ∼
=
Z k=0
0 k 6= 0.
A zatem jedynym interesującym odwzorowaniem jest
f0 : H0(X) → H0(Y ).

X f - sigma web page

Transkrypt

Podobne dokumenty

See PDF file

Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo

Pakiet quantum-octave do symulacji obliczeń kwantowych

Quantum implementation of Parrondo`s paradox

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Instrukcja przeglądania e

Podręczniki. Nagrody uzyskane przez

jak_zrobic_screen

snapback Zobacz w grafice Google Rejestracja

Efekt Balassy–Samuelsona: perspektywy przystąpienia Polski do