praca kontrolna 2(1).

Praca kontrolna nr 2 z fizyki
I rok mechatroniki, rok akademicki 2015/16
1. Wyprowadzić i zinterpretować wzory na pochodne wektorów jednostkowych ~er , ~eϑ, ~eϕ w układzie współrzędnych sferycznych (r, ϑ, ϕ) :
∂~er
∂ϑ
∂~er
∂ϕ
= ~eϑ,
= ~eϕsinϑ,
∂~eϑ
er ,
∂ϑ = −~
∂~eϕ
∂~eϑ
=
~
e
cosϑ,
ϕ
∂ϑ
∂ϕ
∂~eϕ
∂ϑ
= 0,
= −~er sinϑ − ~eϑcosϑ
Wskazać najbliższe miasta w otoczeniu Przemyśla, będące w przybliżeniu w kierunku (i) ~eϑ, (ii) −~eϑ, (iii) ~eϕ, (iv) −~eϕ.
2. W walcu o promieniu a płynie prąd o natężeniu I, pod wpływem napięcia przyłożonego wzdłuż osi walca tak, że na odcinek o długości l
przypada napięcie U .
~ i magnetyczne H
~ wytwarzane przez
a) Wyznaczyć pole elektryczne E
ten prąd, przy upraszczającym założeniu nieskończonej długości
walca.
Odpowiedź: we współrzędnych walcowych (r, ϕ, z)





~ = U ~ez , H
~ =
E

l



Ir
~e
2πa2 ϕ
I
eϕ
2πr ~
dla r < a,
dla r > a.
~ oraz jego diwergencję w obb) Obliczyć wektor Poyntinga-Umowa S
szarze na zewnątrz i wewnątrz walca.
c) Porównać energię pola elektromagnetycznego wydzieloną we wnę-
trzu walca z energią prądu w przewodniku. Zinterpretować proces
gotowania wody w czajniku elektrycznym.
3. Opisać proces ładowania kondensatora w obwodzie RC, z baterią o
napięciu U0, Pokazać, że
I = I0e−t/RC ,
U = U0(1 − e−t/RC ).
Podać interpretację stałej czasowej RC oraz prądu początkowego I0
4. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku jednorodnym o przenikalnościach i µ ma postać
~ = E0~eei(ωt−~k·~r),
E
~ = H0~hei(ωt−~k·~r),
H
a) Wyjaśnić pojęcia amplitudy (E0, H0), polaryzacji (~e, ~h), częstotliwości ω, wektora falowego ~k, długości fali λ oraz relacji dyspersji
ω = ck.
b) Pokazać, że równania Maxwella implikują następujące zależności
pomiędzy powyższymi wektorami:
~k × H
~ = −ω0E,
~
~k × E
~ = ωµµ0H,
~
~k · D
~ = 0,
~k · B
~ = 0,
Wywnioskować stąd, że ta fala jest poprzeczna.
c) Wyprowadzić wektor Poyntinga-Umowa dla tej fali elektromagnetycznej i przedyskutować przepływ energii.