Przydatne poj¦cia i wzory Zadania nieobliczeniowe

Zestaw XVII
Optyka falowa
Krzysztof Biedro«
e-mail: [email protected]
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne
03 marca 2015 r.
Przydatne poj¦cia i wzory
Interferencja i dyfrakcja ±wiatªa s¡ zjawiskami, które
mog¡ by¢ wytªumaczone tylko na gruncie falowej natury
±wiatªa.
Interferencja
Interferencja fal polega na nakªadaniu si¦ (dodawaniu)
dwóch lub wi¦cej fal, które prowadzi do staªego w czasie przestrzennego rozkªadu fali wypadkowej. Gdy amplituda fali wypadkowej jest wi¦ksza ni» ka»dej z fal skªadowych (wyst¦puj¡ wtedy maksima nat¦»enia pr¡»ki jasne) to mamy do czynienia z interferencj¡ konstruktywn¡.
O interferencji destruktywnej mówimy, gdy amplituda fali
wypadkowej jest mniejsza od ka»dej z fal skªadowych (wida¢ wtedy minima nat¦»enia, czyli pr¡»ki ciemne). Efekty
interferencji ±wiatªa mog¡ by¢ obserwowane tylko wtedy,
gdy fale ±wietlne s¡ monochromatyczne i spójne. Fale
±wietlne s¡ monochromatyczne je»eli maj¡ jednakow¡ dªugo±¢ fali λ. Spójno±¢ fal ±wietlnych oznacza, »e jest zachowana staªa w czasie ró»nica faz pomi¦dzy nakªadaj¡cym
i si¦ falami.
Rysunek 2: Rozkªad nat¦»enia ±wiatªa na ekranie: a) szeroka szczelina (d λ); b) szeroko±¢ szczeliny porównywalna z dªugo±ci¡ fali (d ≈ λ) [IPF].
Monochromatyczna fala pªaska
E(~x, t) = E0 cos (~k · ~x − ωt + ϕ0 )
|
{z
}
(1)
faza fali
gdzie:
E0 amplituda fali,
−1
k = |~k| = 2π
],
λ wektor falowy [m
x wspóªrz¦dna przestrzenna [m],
ω = 2πν cz¦sto±¢ koªowa [s−1 ],
t czas [s],
φ0 faza pocz¡tkowa dla x = 0 i t = 0.
Zaªamanie ±wiatªa
sin α2
sin α1
=
v1
v2
lub
n1 sin α1 = n2 sin α2 ,
(2)
gdzie:
α1 , α2 k¡t padania/zaªamania,
v1 , v2 pr¦dko±¢ ±wiatªa w o±rodku 1, 2,
n1 , n2 wspóªczynnik zaªamania w o±rodku 1, 2.
Zadania nieobliczeniowe
Zadanie 1 [NZzF 340]
Pªaska fala ±wietlna pada prostopadle na ekran S . Jak
zmienia si¦ o±wietlenie ekranu w punkcie A (Rys. 3), je±li
na drodze wi¡zki umie±cimy dostatecznie du»¡ (±ci±le: niesko«czon¡ ≡ ∞) póªpªaszczyzn¦ P równolegª¡ do ekranu?
Rysunek 1:
Schemat do±wiadczenia Younga (a) oraz obraz pr¡»ków interferencyjnych (b) [IPF].
Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji polega na uginaniu si¦ promieni
±wietlnych przechodz¡cych w pobli»u przeszkody. Je»eli
rozmiary przeszkody porównywalne s¡ z dªugo±ci¡ fali λ
to wyst¦puje odst¦pstwo od prostoliniowego biegu promieni.
Zadanie 2 [NZzF 346]
Na siatk¦ dyfrakcyjn¡ pada wi¡zka ±wiatªa monochromatycznego. Czy liczba pr¡»ków, niezale»nie od ich jasno±ci, mo»e by¢ niesko«czona?
Zadanie olimpijskie
Zadanie 6 [jmOF 124]
(XLVIII OF, etap III)
Wi¡zka elektronów o jednakowej energii skierowana na
krysztaª ulega dyfrakcji wskutek odbicia od pªaszczyzn
atomowych, podobnie jak promienie Röntgena. Szczególnie silne odbicie wi¡zki zachodzi dla niektórych k¡tów Θ
(Rys. 4), co jest wyrazem falowej natury materii.
Rysunek 3:
Zadania obliczeniowe
Zadanie 3 [JKK 3512]
W pªaskiej monochromatycznej fali elektromagnetycznej rozchodz¡cej si¦ w dodatnim kierunku osi Ox warto±¢
wektora nat¦»enia pola elektrycznego E (jest on wektorem prostopadªym do osi Ox w punkcie o wspóªrz¦dniej
x w chwili t jest dana wzorem (1) (zaªo»enie φ0 = 0).
Narysowa¢ i przedyskutowa¢ wykresy E(~x) dla t = t1
i t = t1 + ∆t, tzn. rozkªad pola w przestrzeni w dwu
bliskich chwilach, oraz E, t, tzn. rozkªad pola w czasie
w ustalonym punkcie przestrzeni. Uzasadni¢, »e równanie
E(~x, t) = E0 cos(~k · ~x + ωt) opisuje fal¦ rozchodz¡c¡ si¦
w ujemnym kierunku osi Ox.
Rysunek 4:
Zadanie 4 [KMM 5.202]
Rysunek 5:
Wyprowadzi¢ wzór:
L
λ
d
(3)
W pewnym eksperymencie, którego schemat jest przedstawiony na Rys. 5, elektrony z ogrzewanego wªókna W
w przypadku odlegªo±ci mi¦dzy pr¡»kami interferencyj- s¡ przy±pieszane przez ró»nic¦ potencjaªów U w kierunku
nymi na ekranie, otrzymanymi podczas interferencji fal kolimatora K . Utworzona w ten sposób wi¡zka elektroo dªugo±ci λ z dwu koherentnych ¹ródeª ±wiatªa S1 i S2 nów pada na wykonan¡ ze zªota, bardzo cienk¡, polikryznajduj¡cych si¦ we wzajemnej odlegªo±ci d oraz odlegªo- staliczn¡ foli¦ C . Po przej±ciu przez ni¡ tworzy obraz dyfrakcyjny na kliszy fotogracznej poªo»onej w odlegªo±ci
±ci D od ekranu.
l = 30 cm od folii. Folia jest na tyle cienka, »e zachodz¡
tylko jednokrotne odbicia od krysztaªów tworz¡cych polikrysztaª. Na kliszy F powstaje szereg koncentrycznych
Zadanie 5 [KMM 5.230]
pier±cieni o ró»nych promieniach odpowiadaj¡cych k¡tom,
W do±wiadczeniu na dyfrakcj¦ ±wiatªa przez szczelin¦ dla których zachodzi silne odbicie wi¡zki elektronowej.
szeroko±¢ szeliny wynosi d = 0.5 mm, odlegªo±¢ od ekranu
W tabeli 1 podano wyniki pomiarów napi¦cia przy±pieD = 3 m. Dla ±wiatªa oletowego pierwsze pr¡»ki ciemne szaj¡cego U i odpowiadaj¡cego mu promienia R najmniejznajduj¡ si¦ w odlegªo±ci 2δ1 = 5.6 mm, dla ±wiatªa czer- szego pier±cienia dyfrakcyjnego. Podane wyniki pomiarów
wonego 2δ2 = 8 mm. Jakie s¡ dªugo±ci fal dla ±wiatªa odnosz¡ si¦ do jednego zespoªu pªaszczyzn atomowych
czerwonego i oletowego?
o odlegªo±ci mi¦dzypªaszczyznowej d.
δ=
Tabela 1
U [V]
2R [cm]
58 000
1.50
55 000
1.58
44 000
1.75
33 700
2.00
21 000
2.40
Wyznacz odlegªo±¢ d, wiedz¡c, »e ka»da pªaszczyzna
danego zespoªu pªaszczyzna atomowych odbija wi¡zk¦
elektronów jak zwierciadªo, niezale»nie od k¡ta padania
wi¡zki (pªaszczyzn atomowych nie nale»y uto»samia¢
z powierzchniami ograniczaj¡cymi foli¦). Zaniedbaj efekty
relatywistyczne.
Staªa Plancka h = 6.6 · 10−34 [J·s−1 ], masa elektronu
m = 9.1 · 10−31 [kg], ªadunek elektronu e = 1.6 · 10−19 [C].
Potrzebne wzory spoza materiaªu:
Dªugo±ci fali de Broglie'a:
λ=
h
p
(4)
Praca w polu elektrycznym:
W = eU
(5)
Literatura
[IPF] Skrypt I Pracowni Fizycznej pod red. prof. dr hab.
A. Magiery, ¢wiczenie O18.
[NZzF] J. Doma«ski, J. Turªo, Nieobliczeniowe zadania
z zyki, Pruszy«ski i S-ka, Warszawa, 1997.
[jm-OF] 50 lat olimpiad zycznych redakcja P. Janiszewski i J. Mostowski, PWN, Warszawa, 2002.
[JKK] J. J¦drzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór
zada« z zyki, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa,
2002.
[KMM] J. Kalisz, M. Massalska, J. M. Massalski, Zbiór
zada« z zyki z rozwi¡zaniami Pa«stwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1980, Wydanie XI