Podstawy Fizyki

Władysław Tomaszewicz — Tomasz Klimczuk
Podstawy Fizyki
Część II
Fizyka Klasyczna cd.
Fizyka Kwantowa
(na prawach rękopisu)
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Politechnika Gdańska 2001
Rozdział 1
Drgania i fale
elektromagnetyczne
1.1
Drgania elektryczne
1.1.1
Obwód LC — drgania nietłumione
W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojemności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania
elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożony z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.1).
Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go
z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały.
Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elektrycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q 0 (rys. 1.1a).
C
L
q = +q o
C
L
q=0
q=0
o
C
L
o
q = +q o
I
a)
b)
Rysunek 1.1:
1
c)
2
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Po zamknięciu wyłącznika na skutek różnicy potencjałów okładek kondensatora w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było
solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ
zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła
elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania
przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wyrównania się potencjałów okładek (rys. 1.1b) a następnie zaczyna maleć.
Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach
kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości początkowemu ładunkowi q0 , ale o przeciwnych znakach (rys. 1.1c). Następnie
opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić
nietłumione drgania elektryczne.
Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natężenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna E L ,
indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu U C między okładkami kondensatora,
EL = U C ,
(1.1)
gdzie
dI
,
dt
q
UC = .
C
EL = −L
(1.2)
(1.3)
Otrzymujemy stąd równanie
L
q
dI
+
= 0,
dt
C
(1.4)
które, uwzględniając definicję natężenia prądu,
I=
dq
,
dt
(1.5)
można przepisać jako
q
d2 q
+
= 0.
2
dt
C
Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie
L
ω02 =
1
LC
(1.6)
(1.7)
([ω0 ] = s−1 ), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:
d2 q
+ ω02 q = 0.
dt2
(1.8)
3
DRGANIA ELEKTRYCZNE
Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania
oscylatora harmonicznego (część I, podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego
równania jest więc funkcja
q = q0 cos (ω0 t + ϕ) ,
(1.9)
określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w analogiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą
pochodną ładunku q i podstawiając d 2 q/dt2 i q do równania (1.8). Korzystając ze wzoru (1.5) otrzymujemy następujący wzór, określający natężenie
prądu w obwodzie
I=
dq
= −ω0 q0 sin (ω0 t + ϕ) .
dt
(1.10)
Wprowadzając oznaczenie I0 = ω0 q0 ostatni wzór można przepisać jako
I = −I0 sin (ω0 t + ϕ) .
(1.11)
Zgodnie z wzorami (1.9) i (1.11) zarówno ładunki na okładkach kondensatora
jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem (rys.
1.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione. q 0
i I0 są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładunków
na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa ϕ określa wartości q i I
q
+q o
T/2
3/2 T
t
T
o
I
+ Io
o
T
T/2
Rysunek 1.2:
3/2 T
t
4
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
w chwili początkowej. Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q 0 , to ϕ = 0.
Natomiast ω0 jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycznych. Jak
wynika ze wzoru (1.7), jest ona równa
1
ω0 = √
.
LC
(1.12)
Okres drgań w obwodzie wyraża się natomiast wzorem
T =
czyli
2π
,
ω0
√
T = 2π LC .
(1.13)
(1.14)
Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres
drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora.
Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elektrycznych w obowodzie LC (por. rys. 1.1). Przypomnijmy, że zarówno naładowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W
chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo
w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kondensatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym
wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię
pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny
do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię
kinetyczną i na odwrót (por. część I, podrozdział 2.5.1).
Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwodzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego
kondensatora jest dana wzorem
EpC =
q2
2C
(1.15)
(część I, wzór (4.80)). Korzystając ze wzoru (1.9), otrzymujemy
EpC =
q02
cos2 (ω0 t + ϕ) .
2C
(1.16)
Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi
EpL =
LI 2
2
(1.17)
5
DRGANIA ELEKTRYCZNE
(część I, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (1.11), dostajemy
EpL =
LI02
sin2 (ω0 t + ϕ) .
2
(1.18)
Uwzględniając związek I0 = ω0 q0 i wzór (1.7) łatwo stwierdzić, że stałe
czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (1.16) i (1.18) są
sobie równe:
LI02 = Lω02 q02 = q02 /C.
(1.19)
Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w
solenoidzie nie zależy od czasu:
EpC + EpL =
q02
LI02
=
.
2C
2
(1.20)
W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q 0 i I0 przedstawiają odpowiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu.
1.1.2
Obwód RLC — drgania tłumione
Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłumionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych warunkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgromadzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci
ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać — nazywamy
je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgającym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy póżniej.
Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli
sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pominięcia.
Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w obwodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności
L i kondensatora o pojemności C (rys. 1.3). Po zamknięciu przełącznika w
obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromotoryczna EL , indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia U R na
oporze i napięcia UC na kondensatorze,
EL = U R + U C .
(1.21)
Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami:
EL = −L
dI
,
dt
(1.22)
6
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
R
C
L
q = +q o
o
Rysunek 1.3:
UR = RI,
UC =
q
C
(1.23)
(1.24)
(wzór (1.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do równania (1.21) otrzymujemy równanie
L
q
dI
+ RI +
= 0,
dt
C
(1.25)
z którego, po uwzględnieniu związku
I=
dq
,
dt
(1.26)
wynika równanie różniczkowe
L
d2 q
dq
q
+ R + = 0.
2
dt
dt C
(1.27)
Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia
ω02 =
β=
1
,
LC
(1.28)
R
2L
(1.29)
([β0 ] = s−1 ), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe
dq
d2 q
+ 2β
+ ω02 q = 0.
2
dt
dt
(1.30)
7
DRGANIA ELEKTRYCZNE
Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz
część I, podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od
czasu określa więc wzór
q = q0 e−βt cos (ωt + ϕ) ,
(1.31)
gdzie pulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest dana
wzorem
q
ω = ω02 − β 2 .
(1.32)
Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną
ładunku q i podstawiając wielkości d 2 q/dt2 , dq/dt i q do równania (1.30).
Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, korzystając ze wzoru (1.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań
słabo tłumionych, gdy β ω, ω0 . Wówczas, jak łatwo pokazać, wystarczy
zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (1.31), co daje wzór
I ≈ −ωq0 e−βt sin (ωt + ϕ) .
(1.33)
Wprowadzając oznaczenie I0 = ωq0 ≈ ω0 q0 wzrór ten możemy przepisać
jako
I ≈ −I0 e−βt sin (ωt + ϕ) .
(1.34)
Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza ϕ we wzorach (1.31) i (1.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy czasowego
przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 1.4. Ze względu
na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e −βt , drgania elektryczne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im większa
jest wartość współczynnika β, zwanego współczynnikiem tłumienia, tj. im
większa jest wartość stosunku R/L (patrz wzór (1.29)).
Uwzględniając wzory (1.28) i (1.29), wyrażenie (1.32) określające pulsację elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako
ω=
s
1
−
LC
R
2L
2
.
(1.35)
Natomiast okres drgań tłumionych wyraża się wzorem
T =
2π
,
ω
(1.36)
8
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
q
+q o
q o e -bt
T/2
3/2 T
T
o
I
+ Io
t
q o e -bt
Io e-bt
T
3/2 T
T/2
o
t
Io e-bt
Rysunek 1.4:
czyli
T =r
2π
1
LC
−
R
2L
2 .
(1.37)
Porównując ostatni wzór ze wzorem (1.14) można stwierdzić, że okres drgań
tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych, podobnie jak w
przypadku drgań mechanicznych.
Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (1.31) stanowi rozwiązanie
równania
p
(1.30) tylko w przypadku, gdy β < ω0 , tj. gdy R < 2 L/C. Inaczej pod
pierwiastkiem we wzorze (1.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można
wykazać, że dla wartości β ­ ω0 ładunek na okładkach i natężenie prądu
stopniowo zanikają bez oscylacji.
1.1.3
Obwód RLC — drgania wymuszone
Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie
RLC zamienia się na ciepło wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne
drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym obwodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z zewnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie
w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej — prądnicy
9
DRGANIA ELEKTRYCZNE
R
L
C
~
I
e
Rysunek 1.5:
prądu zmiennego (por. część I, podrozdział 6.2.1). Występujące wówczas w
obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami wymuszonymi.
Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zostało włączone szeregowo źródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 1.5).
Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założymy, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać
E = E0 sin (ωt) ,
(1.38)
gdzie E0 jest amplitudą a ω pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły
elektromotorycznej E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie
EL jest równa sumie napięć UR na oporze i UC na kondensatorze,
E + E L = UR + UC .
(1.39)
Ponieważ, jak poprzednio,
dI
,
dt
UR = RI,
q
UC = ,
C
ze wzoru (1.39) otrzymujemy równanie
EL = −L
L
dI
q
+ RI +
= E0 sin (ωt) .
dt
C
(1.40)
(1.41)
(1.42)
(1.43)
Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze
związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu
w obwodzie,
dq
,
(1.44)
I=
dt
10
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu:
L
d2 I
dI
I
+R
+ = E0 ω cos (ωt) .
2
dt
dt
C
(1.45)
Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci
I = I0 sin (ωt − ϕ) .
(1.46)
Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrznej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesunięcie fazowe ϕ między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 1.6). Przesunięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I 0 należy tak dobrać, aby funkcja
(1.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (1.45). W tym celu obliczymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu:
dI
= I0 ω cos (ωt − ϕ) ,
dt
(1.47)
d2 I
= −I0 ω 2 sin (ωt − ϕ) .
(1.48)
dt2
Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (1.45), otrzymujemy po prostych przekształceniach następujące równanie
I0
1
− ωL sin (ωt − ϕ) + I0 R cos (ωt − ϕ) = E0 cos (ωt) .
ωC
(1.49)
Wprowadzając oznaczenie α = ωt − ϕ, z którego wynika, że ωt = ϕ + α i
korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie
można zapisać w postaci
I0
1
− ωL sin α + I0 R cos α = E0 cos ϕ cos α − E0 sin ϕ sin α.
ωC
e
I
0
t
Rysunek 1.6:
(1.50)
11
DRGANIA ELEKTRYCZNE
Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe
wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin α oraz cos α. Otrzymujemy stąd wzory
I0 R = E0 cos ϕ,
(1.51)
I0 ωL −
1
ωC
= E0 sin ϕ.
(1.52)
Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (1.51) i (1.52) i dodając
je do siebie otrzymujemy
I02
"
1
R + ωL −
ωC
2
2 #
= E02 ,
(1.53)
skąd wynika wzór, określający amplitudę natężenia prądu:
E0
I0 = r
R2 + ωL −
1
ωC
2 .
(1.54)
Natomiast dzieląc stronami równania (1.52) i (1.51) dostajemy wzór, określający przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromotoryczną:
1
ωL − ωC
tg ϕ =
.
(1.55)
R
Występującą we wzorze (1.54) wielkość
Z=
s
R2
1
+ ωL −
ωC
2
(1.56)
nazywa się zawadą (oporem pozornym, impedancją) obwodu prądu zmiennego. Wzór (1.54) można więc zapisać jako
I0 =
E0
.
Z
(1.57)
Jest on odpowiednikiem prawa Ohma, które dotyczy obwodu prądu stałego, przy czym zawada stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast
wielkości
XL = ωL,
(1.58)
XC =
1
,
ωC
(1.59)
12
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
wL
Z
wL
1
wC
j
R
1
wC
Rysunek 1.7:
które pojawiają się we wzorach (1.54) - (1.56), nazywamy odpowiednio oporem indukcyjnym (induktancją) oraz oporem pojemnościowym (kapacitacją).
Wzory (1.55) - (1.56) mają prostą interpretację geometryczną. Narysujmy w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim
kierunku osi rzędnych wektor o długości X L = ωL a w ujemnym kierunku
tej osi wektor o długości XC = 1/ωC (rys. 1.7). Wtedy, jak łatwo stwierdzić,
długość wypadkowego wektora jest równa zawadzie Z obwodu a kąt między
tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu ϕ. Rozważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Amplituda
napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi
U0R = I0 R.
(1.60)
Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe
U0L = I0 XL = I0 ωL,
(1.61)
I0
.
(1.62)
ωC
Ponadto, zgodnie ze wzorem (1.57), amplituda zewnętrznej siły elektromotorycznej
E0 = I0 Z.
(1.63)
U0C = I0 XC =
Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego
R, indukcyjnego XL , pojemnościowego XC i oporu pozornego Z. Amplitudy
napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się
więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 1.7), przy czym
13
DRGANIA ELEKTRYCZNE
długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie E 0 siły elektromotorycznej.
Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (1.54) i przesunięcia
fazowego (1.55) od pulsacji ω zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można
łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji ω r , określonej równaniem
ωr L −
1
= 0,
ωr C
(1.64)
czyli dla wartości
1
ωr = √
LC
(1.65)
amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I 0 = E0 /R, natomiast
prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, ϕ = 0.
Należy zauważyć, że pulsacja ωr jest równa pulsacji nietłumionych drgań
obwodu LC (wzór (1.12)). Gdy ω → ωr , amplituda I0 natężenia prądu wyraźnie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację
ωr nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli ω → 0, to opór pojemnościowy
XC = 1/ωC → ∞. Wówczas I0 → 0 i ϕ → −π/2. Jeżeli natomiast ω → ∞,
to opór indukcyjny XL = ωL → ∞. W tym przypadku I0 → 0 i ϕ → π/2.
Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I 0 i przesunięcia fazowego
ϕ od pulsacji ω siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 1.8a, b.
j
I0
R 1 > R2
p2
R 1 > R2
0
wr
p2
0
wr
w
a)
b)
Rysunek 1.8:
w
14
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R
zmiany wielkości I0 i ϕ dla pulsacji ω ≈ ωr są coraz bardziej gwałtowne.
Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Zagadnienie to było już rozpatrywane w części I (podrozdział 6.2.1) przy założeniu,
że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną
jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzorów (1.38) i (1.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu
zmiennego w danej chwili czasu
P = EI = E0 I0 sin (ωt) sin (ωt − ϕ) .
(1.66)
Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem
Pśr
1
=
T
Z
T
P dt.
(1.67)
0
Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy
Pśr
E0 I0
=
T
Z
T
0
sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt.
(1.68)
Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając ze wzoru
sin α sin β =
1
[cos (α − β) − cos (α + β)] .
2
W rezultacie otrzymujemy
Z
T
0
sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt
1
cos ϕ
2
T
= cos ϕ
2
=
Z
T
0
dt −
1
2
Z
T
0
cos (2ωt − ϕ) dt
(1.69)
(ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Na średnią
moc prądu zmiennego dostajemy więc wzór
Pśr =
E0 I0
cos ϕ ,
2
(1.70)
który, uwzględniając definicje√skutecznych√wartości siły elektromotorycznej
i natężenia prądu, Esk = E0 / 2, Isk = I0 / 2, możemy przepisać w postaci
Pśr = Esk Isk cos ϕ .
(1.71)
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
15
Wzory te różnią się od wyprowadzonych poprzednio (część I, wzory (6.47) i
(6.50)) dodatkowym czynnikiem cos ϕ, zwanym współczynnikiem mocy. Jeżeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu i siłą elektromotoryczną
jest równe zeru, ϕ = 0 (np. w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się
jedynie opór omowy), to cos ϕ = 1 i powyższe wzory sprowadzają się do
otrzymanych w części I. Jeżeli natomiast przesunięcie fazowe ϕ = π/2 lub
ϕ = −π/2 (gdy w obwodzie znajduje się tylko opór pojemnościowy lub opór
indukcyjny, patrz wzór (1.55)), to cos ϕ = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle
wydzielana moc, Pśr = 0.
1.2
1.2.1
Fale elektromagnetyczne
Prąd przesunięcia. Układ równań Maxwella
W I części wykładu zostały omówione podstawowe prawa opisujące zjawiska
elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a (podrozdział 6.1.1), prawo Ampère’a, dot. pola magnetycznego przewodników
z prądem (podrozdział 5.2.3), oraz prawo Gaussa dla pola elektrycznego
(podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2). W roku 1864
J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni istnieje zmienne w czasie pole elektryczne, prawo Ampère’a powinno być uzupełnione o
dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań opisuje w zasadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie nazwę równań
Maxwella. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział istnienie
fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona równa
prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagnetyczną.
Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz w 1888
r., a więc ok. 20 lat później. Dalej będziemy rozważać wyłącznie równania
Maxwella w próżni.
Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a. Zgodnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się
wzorem
Z
d
B · dS,
(1.72)
E =−
dt S
gdzie całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego, obejmowanego przez obwód. Jak już wspomniano (I część, podrozdział 6.1.1),
zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego pola elektrycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym
lub w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola
elektrycznego (część I, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym przewodniku
16
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem
E=
I
C
(1.73)
E · ds,
gdzie E — natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C — dowolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd
równanie
I
Z
d
E · ds = −
B · dS ,
(1.74)
dt S
C
zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla
przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni,
przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S
— dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.
Rozpatrzymy obecnie prawo Ampère’a, określające pole magnetyczne
przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem,
zachodzi związek
I
C
B · ds = µ0 I,
(1.75)
gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I — całkowitym natężeniem prądu, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C.
Łatwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy obwód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład, rozważymy pokazany na
S2
E
-q
S
C
S2
S1
S
+q
C
S
S
E
R
I
B
a)
b)
Rysunek 1.9:
S1
17
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
E
E
dE
dt
dE
dt
>0
<0
B
B
a)
b)
Rysunek 1.10:
rysunku 1.9 obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie
prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników magnetyczne pole.
Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, to dla krzywej C i rozpiętej na nim powierzchni S1 ma miejsce związek (1.75) (przez powierzchnię
S1 płynie prąd I) a dla powierzchni S2 , rozpiętej na tej samej krzywej C,
związek
I
C
B · ds = 0
(1.76)
(przez powierzchnię S2 nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie
od wyboru powierzchni, różne wyniki.
Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię
ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elektryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 1.10).
Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (dE/dt > 0),
zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (dE/dt < 0)
— jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elektryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny,
wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem
przesunięcia. Równanie (1.76) powinno więc być zastąpione przez równanie
I
C
B · ds = µ0 Ip ,
(1.77)
gdzie Ip oznacza natężenie prądu przesunięcia, „płynącego” między okładkami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (1.75) i (1.77)
18
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
powinien zachodzić związek I = Ip , co oznacza, że w każdej części rozważanego obwodu „płynie prąd” o jednakowym natężeniu.
W celu wyprowadzenia wzoru, określającego prąd przesunięcia, skorzystamy z podanego w I części wzoru (4.82),
q = ε0 ES,
(1.78)
gdzie q jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora, E
— natężeniem pola w kondensatorze a S — powierzchnią okładki. Ponieważ
ΦE = ES
(1.79)
jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą powierzchnię S2 ) na rys. 1.9, więc
q = ε 0 ΦE .
(1.80)
Z definicji natężenia prądu otrzymujemy
I=
dΦE
dq
= ε0
.
dt
dt
(1.81)
Ponieważ w rozważanym przypadku I = I p , natężenie prądu przesunięcia
wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem
Ip = ε 0
dΦE
.
dt
(1.82)
Strumień pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką
ΦE =
Z
S
E · dS.
(1.83)
Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać
Ip = ε 0
d
dt
Z
S
E · dS.
(1.84)
Po prawej stronie wzoru (1.75) w ogólnym przypadku powinna występować
suma natężenia Ip prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia:
I
C
B · ds = µ0 (Ip + I) .
(1.85)
Podstawiając wyrażenie (1.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie
I
d
B · ds = ε0 µ0
dt
C
Z
S
E · dS + µ0 I ,
(1.86)
19
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
nazywane II równaniem Maxwella. Tutaj C jest dowolną krzywą a S —
dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.
Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo
Gaussa dla pola elektrycznego,
I
S
E · dS =
Q
,
ε0
(1.87)
oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego,
I
S
(1.88)
B · dS = 0 .
Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella.
1.2.2
Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektromagnetycznych
Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne.
Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy,
że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prądem. W równaniach (1.86) i (1.87) należy więc odpowiednio przyjąć I = 0
i Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elektromagnetycznych (rys. 1.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni ist-
E(t)
B(t)
B(t)
E(t)
Rysunek 1.11:
20
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
y
E
c
B
x
z
Rysunek 1.12:
nieje zmienne w czasie pole elektryczne, to zgodnie z II równaniem Maxwella
(1.86) wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne. Z
kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Maxwella
(1.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W przestrzeni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna.
Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmoniczna, pokazana na rysunku 1.12. W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali c jest jej
powierzchnią falową, na której wektory E i B mają stałą wartość i kierunek.
Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego E, indukcji pola magnetycznego B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni
wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha
dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami
poprzecznymi. Na rys. 1.12 układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że
wektory c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z
określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie ze
zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej fali
harmonicznej w ośrodku sprężystym (część I, podrozdział 2.6.2), rozważaną
falę elektromagnetyczną powinny opisywać równania
E = Ey = E0 cos [ω (t − x/c)] ,
(1.89)
B = Bz = B0 cos [ω (t − x/c)] ,
(1.90)
w których E0 i B0 są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji
pola magnetycznego a ω jest pulsacją fali. Dla uproszczenia dalszych wzorów
przyjęto, że faza początkowa fali jest równa zeru.
21
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
y
E
E
DS
y
E + DE
E
B
z
B + DB
4
E
DS1
Dx
B
1
3
DS2
C1
C2
Dx
a)
b)
x
2
-DS
c)
Rysunek 1.13:
Pokażemy teraz, że funkcje (1.89) - (1.90) stanowią istotnie rozwiązanie
równań Maxwella i obliczymy prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. Przekształcimy najpierw I równanie Maxwella,
I
C1
E · ds = −
d
dt
Z
∆S1
B · dS,
(1.91)
do postaci różniczkowej. Za kontur całkowania C 1 wybierzemy leżącą w
płaszczyźnie xy prostokątną ramkę o wysokości y, b. małej szerokości ∆x i
powierzchni ∆S1 = y · ∆x (rys. 1.13a). Przyjmując, że na całej powierzchni
∆S1 indukcja pola magnetycznego B ma stałą wartość, z ostatniego równania otrzymuje się wzór
(E + ∆E) y − Ey ≈ −
∂
(By∆x) ,
∂t
(1.92)
skąd
∂B
∆E
≈−
.
∆x
∂t
Przechodząc do granicy ∆E, ∆x → 0 dostajemy równanie
∂B
∂E
=−
.
∂x
∂t
(1.93)
(1.94)
W podobny sposób przekształcimy teraz do postaci różniczkowej II równanie
Maxwella,
I
Z
d
B · ds = ε0 µ0
E · dS.
(1.95)
dt ∆S2
C2
22
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Wybierając za kontur całkowania C2 prostokątną ramkę w płaszczyźnie xz,
mającą wysokość z, małą szerokość ∆x i powierzchnię ∆S 2 = z · ∆x (rys.
1.13b), otrzymujemy kolejno równania
− (B + ∆B) z + Bz ≈ ε0 µ0
∂
(Ez∆x) ,
∂t
(1.96)
∂E
∆B
≈ −ε0 µ0
,
(1.97)
∆x
∂t
∂E
∂B
= −ε0 µ0
.
(1.98)
∂x
∂t
Przeciwne znaki w wyrażeniach po lewej stronie równań (1.92) i (1.96) wynikają z różnych zwrotów wektorów E i E + ∆E na rys. 1.13a oraz wektorów
B i B + ∆B na rys. 1.13b względem kierunku obiegu konturów całkowania.
Obliczając pochodne wielkości E i B, określonych wzorami (1.89) - (1.90)
otrzymujemy:
ω
∂E
= E0 sin [ω (t − x/c)] ,
(1.99)
∂x
c
∂E
= −ωE0 sin [ω (t − x/c)] ,
(1.100)
∂t
ω
∂B
= B0 sin [ω (t − x/c)] ,
(1.101)
∂x
c
∂B
= −ωB0 sin [ω (t − x/c)] ,
(1.102)
∂t
co po podstawieniu powyższych wyrażeń do równań (1.94) i (1.98) oraz
uproszczeniu wspólnych czynników daje następujące zależności
E0 = cB0 ,
(1.103)
B0 = cε0 µ0 E0 .
(1.104)
Eliminując z otrzymanych równań amplitudy pola elektrycznego i magnetycznego, np. przez pomnożenie równań stronami, dostajemy wzór określający prędkość fali elektromagnetycznej w próżni
1
c= √
.
ε0 µ0
(1.105)
Wzór ten był już podany bez wyprowadzenia w części I, w podrozdziale
5.2.2. W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku
k=
1
,
4πε0
(1.106)
23
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
w którym k jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elektrostatyki (patrz część I, podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach
wzór (1.105) można zapisać jako
c=
s
4πk
.
µ0
(1.107)
Ponieważ k = 9 · 109 N·m2 /C2 , µ0 = 4π · 10−7 N/A2 , więc
c=
s
4π · 9 · 109 N · m2 /C2
= 3 · 108 m/s.
4π · 10−7 N/A2
(1.108)
Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni.
Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektromagnetyczną.
W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v
fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej ε r i
względnej przenikalności magnetycznej µ r :
1
v=√
.
ε 0 εr µ0 µr
(1.109)
Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagnetycznych, µr ≈ 1, ze wzorów (1.105) i (1.109) otrzymujemy związek
c
v≈√ .
εr
(1.110)
Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego ε r > 1, prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od prędkości fali w próżni, v < c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem.
Sprawdzimy jeszcze, że przyjęta postać fali elektromagnetycznej jest
zgodna z III i IV równaniem Maxwella. Rozpatrzymy prawo Gaussa dla
pola elektrycznego,
I
S
E · dS = 0.
(1.111)
Będziemy liczyć strumień pola elektrycznego po powierzchni S prostopadłościanu, pokazanego na rys. 1.13c. Ponieważ w przeciwległych punktach ścianek 1 i 2 natężenie pola E ma jednakową wartość i E k ∆S a przez pozostałe
ścianki nie przepływa żaden strumień, z ostatniego równania otrzymujemy
Z
EdS +
S1
Z
E (−dS) = 0
S2
(1.112)
24
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
(S1 i S2 — powierzchnie ścianek 1 i 2, S1 = S2 ). Należy zauważyć, że gdyby
wektor natężenia pola E był nachylony do wektora prędkości c fali pod kątem różnym od prostego, suma strumieni pola przez ścianki 3 i 4 i całkowity
strumień przez powierzchnię S byłyby różne od zera. Dla fali elektromagnetycznej musi więc zachodzić relacja E ⊥ c. W analogiczny sposób można
sprawdzić, że w przypadku rozważanej fali elektromagnetycznej spełnione
jest prawo Gaussa dla pola magnetycznego,
I
S
B · dS = 0,
(1.113)
czego koniecznym warunkiem jest, aby B ⊥ c. Możemy więc stwierdzić, że
III i IV równanie Maxwella stanowią warunki poprzeczności fali elektromagnetycznej.
1.2.3
Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej
Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię
(por. część I, podrozdziały 4.4.3 i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycznego, podobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy
przekazywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga S
(rys. 1.14). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków
materialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierunkiem wektora v prędkości fali, S k v a jego wartość liczbowa jest równa mocy
fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora
v. Jeżeli więc oznaczyć przez ∆Ep energię fali, przechodzącą w czasie ∆t
S
w
DEp , DV
DS
vDt
Rysunek 1.14:
25
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
przez niewielką powierzchnię ∆S⊥ , to wartość
S=
∆Ep
,
∆S⊥ ∆t
(1.114)
przy czym [S] =W/m2 . Energia ∆Ep odpowiada energii zawartej w b. małym prostopadłościanie o polu podstawy ∆S ⊥ i wysokości v∆t (rys. 1.14).
Ponieważ całkowita gęstość energii w = w e + wm (we i wm — gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w
przybliżeniu stała, więc
∆Ep = w∆V = w∆S⊥ v∆t
(1.115)
(∆V — objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór
S = wv.
(1.116)
Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii w e i wm (część I,
wzory (4.85) i (6.30)), ostatni wzór można przekształcić do postaci
S =E×H
(1.117)
(patrz rys. 1.15), gdzie wektor natężenia pola magnetycznego H = B/µ r µ0 .
Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fali od czasu wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla
harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej
E
v
H
Rysunek 1.15:
S
26
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
natężenia I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w
ciągu jednego okresu T drgań,
I = Sśr =
1
T
Z
T
EHdt
(1.118)
0
([I] =W/m2 ). W przypadku płaskiej fali elektromagnetycznej
co daje wzór
E = E0 cos [ω (t − x/c)] ,
(1.119)
H = H0 cos [ω (t − x/c)] ,
(1.120)
E0 H0 T
cos2 [ω (t − x/c)] dt.
(1.121)
T
0
Ostatnią całkę oblicza się w podobny sposób, jak całkę (1.69) w podrozdziale 1.1.3. Jest ona równa T /2. Natężenie płaskiej fali elektromagnetycznej
określa więc wzór
E0 H0
I=
.
(1.122)
2
I=
Z
Ze wzoru (1.103) wynika, że E0 ∼ H0 . Można zatem stwierdzić, że natężenie
fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia jej pola elektrycznego lub pola magnetycznego,
I ∼ E02 ∼ H02 .
1.2.4
(1.123)
Promieniowanie fal elektromagnetycznych
Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym występuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi
się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny obwód drgający, np. obwód LC, jest źródłem fal elektromagnetycznych. Łatwo
stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości
rzędu metra częstotliwość ν drgań elektrycznych musi być stosunkowo wysoka. Można obliczyć ją ze wzoru
c
(1.124)
ν= .
λ
Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c = 3 · 10 8 m/s, więc
dla długości λ = 1 m częstotliwość ν = 3 · 10 2 MHz. Jak wynika ze wzoru
Thomsona (1.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi
ν=
1
1
= √
.
T
2π LC
(1.125)
27
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
C
L
a)
b)
c)
d)
Rysunek 1.16:
Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do
zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto,
aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar przestrzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne,
powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając
obwód LC w sposób pokazany na rys. 1.16a-d. Obwód redukuje się wówczas
do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność.
Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola
elektrycznego, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i
−q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 1.17). W odróżnieniu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycznego drgającego dipola „odrywają się” od ładunków i przybierają kształt
pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił
tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane
na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt
współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących
drgający dipol.
28
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
q
q
q
q
q
q
q
q
a)
b)
c)
d)
Rysunek 1.17:
a)
b)
Rysunek 1.18:
W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie
należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze źródłem zmiennej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał
układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką
przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 1.18a). Drgania w oscylatorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze źródłem powtarzających się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie
osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna
„zamykająca” obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do
rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień
z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 1.18b), o częstotliwości drgań
własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na
skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze
były na tyle silne, że można je było wykryć obserwując przeskakującą w
przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i telewizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych
29
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
(nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki).
Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagnetyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wytworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając
częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagnetycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło
rozstrzygający dowód jej słuszności.
1.2.5
Widmo fal elektromagnetycznych
Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie,
obejmują b. szeroki zakres długości oraz, z uwagi na stałą prędkość ich rozchodzenia się w próżni, równie szeroki zakres częstotliwości, przekraczający
16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie od ich
długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co najmniej o
kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału fal elektromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze względu
na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych pokazuje
rys. 1.19. Granice długości fali między poszczególnymi rodzajami promieniowania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane poniżej, mają
lg n [Hz]
5
4
7
6
9
8
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
4
3
2
1
0
promienie g
promienie
rentgenowskie
promienie
ultrafioletowe
œwiat³o widzialne
promienie
podczerwone
mikrofale
krótkie
œrednie
d³ugie
fale radiowe
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12
lg l [m]
Rysunek 1.19:
30
DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
jedynie orientacyjny charakter.
Fale radiowe są wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do
celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 10 4 m do 10
m. Programy telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o długości od
10 m do 10−1 m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10 −1 m do 10−4 m
noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice radarowej.
Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowe powstaje na skutek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane
do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego przedziału, od ok. 8 · 10−7 m do ok. 4 · 10−7 m są bezpośrednio widzialne ludzkim
okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10 −3
m do 8 · 10−7 m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od 4 · 10 −7
do 10−9 m — do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promieniowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości
jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre własności promieniowania nadfioletowego — zaczernia ono klisze fotograficzne,
powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg
reakcji chemicznych.
Promienie Roentgena (promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki
wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w ciałach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w
wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal
promieni Roentgena leży w zakresie od 10 −8 m do 10−12 m. Są one b. przenikliwe; ich własności fizyczne będą dokładniej omówione w dalszej części
wykładu.
Promieniowanie γ jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze
przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych.
Długość fal promieniowania γ jest mniejsza od 10 −10 m a ich własności
fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.