∫= ldB ∫

8.4. Prawo Ampera.
Nieskończenie długi, cienki, prostoliniowy przewodnik.
I
r
B
i ⊗
r
dl
r
r
B = µ0H
B=
∫
r r
µ 0 i = Bdl - całkujemy po obwodzie okręgu
µ 0i
2πr
H=
µ 0 i = B ⋅ 2πr
i
2πr
W przypadku grubego przewodnika o promieniu R, w którym płynie prąd o gęstości j.
gdy r < R (wewnątrz przewodnika), to w tym obszarze płynie prąd i0
i
πR
r
i0
2
i0
2
⇒ i0 = i
r
r
πr
∫
r2
R2
µ 0 i 0 = B ⋅ dl ⇒ µ 0 i 0 = B ⋅ 2πr
R
B=
Stąd
=
µ 0i
dla r < R
B=
dla r = R
B=
µ 0i
2πR
dla r > R
B=
µ 0i
2πr
2πR 2
µ 0i r 2
2πr R 2
r
B
maksymalna wartość B dla
r=R
~1/r
r=R
r
Dwa przewodniki z prądem.
Pole wytwarzane przez przewodnik a:
Siła działająca na przewodnik b:
Ba =
µ 0 ia
2πd
Fb = i b lB a =
µ 0 li b i a
2πd
Przewodniki się przyciągają – dla prądów zgodnych, a
odpychają dla prądów płynących w przeciwnych
kierunkach.
B
R
Przewodnik kołowy o promieniu R.
B=
µ 0i
Przekrój przez solenoid z rozsuniętymi zwojami
2R
„Nieskończenie” długi solenoid.
h
a
b
∫
d
r r b r r c r r d r r a r r
B ⋅ dl = B ⋅ dl + B ⋅ dl + B ⋅ dl + B ⋅ dl
c
bo:
∫
∫
∫
a
b
c
||
0
||
0
B ⊥ bc
B=0
∫
d
||
0
B ⊥ da
z prawa Ampera: µ 0 i = B ⋅ l | ba
oznaczając długość odcinka ab = h otrzymujemy B⋅ h = µ0 i
na jednostkę długości solenoidu), stąd
gdzie: N – liczba zwojów w cewce
l – długość cewki.
gdzie i = i0 n h (n – liczba zwojów
B = µ0 i0 n = µ 0 i0
N
l
8.5. Prawo Biota-Savarta.
dl
r
r µ 0 i dl × rr
dB =
4π r 3
µ i dl ⋅ sin θ
dB = 0
4π
r2
i
θ
r
r +∞ µ 0 i dl × rr
B=
4π r 3
−∞
∫
r
⊗ dB
Nieskończenie długi, prostoliniowy przewodnik.
θ
dx
∫
x
∞
dB =
µ 0 i dx ⋅ sin θ
4π −∫∞ r 2
gdzie r = x 2 + R 2
r
R
sinθ = sin(π - θ) =
R
x + R2
2
⊗
+∞
∞
µ i
µ i
R ⋅ dx
x
czyli B = 0 ∫
= 0
3
/
2
2
2
2
4π −∞ x + R
4π x + R 2
(
i
ostatecznie B =
)
(
)
1/ 2
−∞
µ 0i
2πR
Kołowy przewodnik z prądem.
Zauważmy że:
r r
dB ⊥ r
dl 
R
r
dB⊥
dB
ze względu na symetrię
∑ dB
α
X
⊥
d B ||
=0
∫
czyli B = dB||
dB|| = dB⋅ cosα
cos α =
⊗
dB =
∫
tak więc B = dB|| =
(
µ 0 iR
4π R 2 + x 2
) ∫
3/ 2
dl
w środku przewodnika kołowego – dla x = 0
ponieważ
B=
∫
dl = 2πR więc
µ 0 iR 2
2R
3
=
µ 0i
2R
R
=
r
gdzie
R
x + R2
2
µ 0i
dl ⋅ sin 900
2
4πr
B=
(
µ 0 iR 2
2 R2 + x2
)
3/ 2
µ 0 iR 2
jeżeli x >> R to B =
2x
⇒ B~
3
1
x3
pole od dipola
Jeżeli mamy N zwojów, każdy o powierzchni S = πR2 to pole od cewki:
B=
µ 0 NiS
2π x 3
B=
⇒
µ0 µm
2π x 3
gdzie µm jest magnetycznym momentem dipolowym
cewki o N-zwojach.
Analogia elektryczna:
E=
⊕
a
1
(
2aq
4πε 0 a 2 + r 2
)
3/ 2
przyjmując p = 2aq elektryczny moment dipolowy
r
dla r >> a
a
r
E
Θ
E=
p
4πε 0 r 3
1
⇒ E~
1
r3
Własności dipola
typ dipola
moment siły w polu
elektryczny
zewnętrznym
magnetyczny r
energia w polu
elektryczny
r r
U = −p • E
zewnętrznym
magnetyczny
r
r
U = −µ m • B
r
r
τ = µm × B
pole w odległych punktach elektryczny
na osi dipola
wzór
r r r
τ = p×E
E=
p
4πε 0 x 3
B=
µ0 µm
2π x 3
magnetyczny
1