Wprowadzenie do algorytmiki

Wprowadzenie do programowania
Wprowadzenie do algorytmiki
Pojecie algorytmu
Powszechnie przyjmuje się, że algorytm jest opisem krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposób osiągnięcia jakiegoś celu. Wywodzi się z matematyki i informatyki,
ale ostatnio stał się również popularnym synonimem przepisu lub instrukcji postępowania.
W literaturze fachowej termin algorytm jest w różny sposób określany lub wyjaśniany. Poniżej przedstawione zostały przykłady definicji tego terminu.
S. Węgrzyn algorytm definiuje w następujący sposób: „Przez algorytm będziemy rozumieć(…) skończony ciąg operacji wraz z ściśle sprecyzowanym porządkiem ich wykonywania,
które po realizacji dają rozwiązanie dowolnego zadania z określonej klasy”1.
L. Banachowski i A. Kreczmar przyjmują, że: „Algorytmem nazywa się najczęściej przepis
postępowania, który ma prowadzić w sposób autonomiczny do rozwiązania określonego zadania. Ten przepis postępowania powinien być na tyle precyzyjny, aby posługiwanie się nim
polegało tylko na automatycznym wykonywaniu instrukcji tego zapisu. Zakłada się przy tym,
że pewne pierwotne instrukcje tego przepisu są wykonalne, to znaczy, że są one zdefiniowane
i w algorytmie nie musi się ich definiować, ale można ich używać”2.
Algorytm również określa się, jako ”dokładny przepis określanego zagadnienia, najczęściej
przedstawiany w postaci skończonej sekwencji elementarnych (na danym poziomie) operacji,
które należy wykonać”3.
Cechy algorytmu

poprawność, co oznacza, że dla każdego poprawnego zestawu danych, po wykonaniu
skończonej liczby kroków otrzymujemy poprawny wynik;
 skończoność, co oznacza, że realizowany ciąg operacji powinien mieć swój koniec;
 określoność, co oznacza, że zarówno operacje, jak i porządek ich wykonywania powinny być ściśle określone, nie zostawiając miejsca na dowolną interpretację użytkownika;
 ogólność, co oznacza, ze ich stosowanie nie ogranicza się do jednego, pojedynczego,
szczegółowego przypadku, ale odnosi się do pewnej klasy zadań;
 efektywność, co jest najtrudniejsze do zdefiniowania, a oznacza, że algorytm powinien
prowadzić do rozwiązania możliwie prostą drogą;
 uniwersalność, co oznacza, że służy do rozwiązania pewnej grupy zadań, a nie tylko
jednego zadania: np. algorytm który jest przepisem na rozwiązanie równania postaci
1
Węgrzyn S., Podstawy informatyki, PWN, Warszawa 1985.
Banachowski L., Kreczmar A., Elementy analizy algorytmów, WNT, Warszawa 1982.
3
Święcicki K., Walat A., Szkolny słownik informatyki, BGW, Warszawa 1987.
2
str. 1
Wprowadzenie do programowania
ax + b = 0 dla dowolnych współczynników a i b, a nie jednego konkretnego równania,
np. 2x + 3 = 0.
Sposoby zapisu algorytmu
Algorytmy można przedstawić w następujący sposób:
 w języku naturalnym,
 za pomocą schematów blokowych,
 za pomocą drzewa,
 w języku formalnym,
 w języku programowania.
Zestaw instrukcji umownego strukturalnego języka programowania
W programowaniu strukturalnym korzysta się z pewnych prostych konstrukcji, z których
można zbudować poprawny program. W tym celu wprowadzamy zestaw podstawowych instrukcji umownego języka programowania zwanego także pseudojęzykiem, który w dalszej
części zostanie zastosowany do stworzenia przykładów algorytmów. W dużym stopniu będą
one przypominały programy. Z tego powodu rozwiązania tych problemów nie będą nazywały
się algorytmami, ale programami, mimo iż nie będą one zrozumiałe przez komputer.
1) Instrukcja przypisania:
Z:=W;
2) Instrukcje wejścia/wyjścia:
Podaj(x);
Pisz(x);
3) Instrukcja złożona:
POCZĄTEK
Instrukcja1;
Instrukcja2;
Instrukcja3;
……………….
KONIEC;
4) Instrukcja warunkowa (decyzyjna).
a) instrukcja warunkowa prosta:
JEŚLI warunek TO instrukcja;
b) instrukcja warunkowa złożona:
JEŚLI warunek TO instrukcja1 W PRZECIWNYM RAZIE instrucja2;
5) Instrukcje iteracyjne.
a) Instrukcja POWTARZAJ:
POWTARZAJ instrukcję AŻ warunek;
str. 2
Wprowadzenie do programowania
b) Instrukcja DOPÓKI:
DOPÓKI warunek WYKONUJ instrukcję;
Operatory relacji
Operator
Znaczenie
=
równe
<>
nierówne (różne)
<
mniejsze
>
większe
<=
mniejsze lub równe
>=
większe lub równe
Operatory logiczne
Operator
Znaczenie ang.
Znaczenie
NIE
NOT
zaprzeczenie
I
AND
i
LUB
OR
lub
Metody przedstawiania algorytmów – schematy blokowe
Podstawowym i łatwym sposobem przedstawiania algorytmów (na podstawie którego opracowuje się później program) jest schemat blokowy, który jest traktowany jako algorytm problemu. Jest graficznym przedstawieniem zbioru instrukcji i wzajemnych powiązań między
nimi, które określają kolejność wykonywanych instrukcji. Schemat blokowy jest zbudowany
z figur geometrycznych zwanych skrzynkami oraz połączeń między skrzynkami.
Oto podstawowe zestaw skrzynek stosowanych do budowy schematów blokowych:
1) Skrzynki graniczne START/STOP – mają kształt owalu; wskazują początek i koniec
wykonywania schematu blokowego. Ze skrzynki START wychodzi tylko jedno połączenie, natomiast skrzynka STOP nie ma połączenia wychodzącego.
START
STOP
str. 3
Wprowadzenie do programowania
2) Skrzynka operacyjna – jest prostokątem, w którym znajdują się instrukcje.
Ze skrzynki operacyjnej wychodzi tylko jedno połączenie.
instrukcja
3) Skrzynka warunkowa (decyzyjna) – jest rombem, w którym umieszcza się warunek
decyzyjny o dalszej kolejności wykonywania operacji. Ze skrzynki wychodzą dwa połączenia: jedno oznaczone przez T (TAK), a drugie oznaczone przez N (NIE).
W
N
T
4) Skrzynka wprowadzania i wyprowadzania informacji – jest równoległobokiem,
którym umieszcza się dane lub wyniki. Ze skrzynki wychodzi jedno połączenie.
WE / WY
Przykłady algorytmów
Przykład 1. Suma dwóch liczb rzeczywistych (algorytm sekwencyjny – liniowy).
Specyfikacja problemu:
Dane wejściowe: a, b – liczby rzeczywiste dla których wyznaczamy sumę.
Wynik: S – liczba rzeczywista równa sumie liczb a i b.
Lista kroków:
str. 4
Wprowadzenie do programowania
K01: Czytaj a, b;
K02: S:= a + b;
K03: Pisz S;
K04: Zakończ algorytm.
Schemat blokowy
W powyższym przykładzie kolejne instrukcje wykonywane są w porządku, w jakim zostały
wprowadzone. Mówimy, że takie algorytmy i programy posiadają strukturę sekwencyjną
(liniową).
Przykład 2. Max(a,b) (algorytm z rozgałęzieniami).
Specyfikacja problemu:
Dane wejściowe: a, b – liczby rzeczywiste dla których wyznaczamy liczbę większą.
Wynik: max – liczba rzeczywista równa liczbie większej z danych a, b.
Lista kroków:
K01: Czytaj a, b;
K02: Jeśli a > b, to max:= a w przeciwnym razie max:= b;
K05: Pisz max;
K06: Zakończ algorytm.
Schemat blokowy
str. 5
Wprowadzenie do programowania
W powyższym algorytmie wykonanie instrukcji: max:=a; i max:=b; uzależniona jest od wyniku warunku a > b. Jeśli warunek będzie spełniony to wykonana zostanie instrukcja
pierwsza, w przeciwnym razie instrukcja druga, a więc dalsze wykonanie algorytmu może
być zrealizowane na dwa sposoby (drogi realizacji rozgałęziają się). Jest to przykład
algorytmu z rozgałęzieniami.
Przykład 3. Liczba pierwsza. (algorytm z pętlą). Algorytm badania, czy dowolna liczba naturalna n > 1 jest liczbą pierwszą, tzn., czy jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie.
Specyfikacja problemu:
Dane wejściowe: n – dowolna liczba naturalna większa od 1.
Wynik: informacja czy podana liczba n jest liczbą pierwszą, czy też nie jest liczbą
pierwszą.
Zmienne pomocnicze: i - pełni rolę zmiennej sterującej pętlą i wartością kolejnych liczb
naturalnych mniejszych lub równych połowie liczby n, i należy do zbioru liczb naturalnych.
Lista kroków:
K01: Czytaj n;
K02: i:= 2;
K03: Dla i ≤ n/2: Jeśli (n mod i) = 0, to Pisz (Liczba nie jest pierwsza); K05;
str. 6
Wprowadzenie do programowania
K04: Pisz (Liczba jest pierwsza);
K05: Zakończ algorytm.
Schemat blokowy
Powyższy algorytm zawiera blok instrukcji który jest wielokrotnie powtarzany. Liczba tych
powtórzeń nie zawsze jest dokładnie określona i przeważnie zależy od postawionych warunków. Wielokrotne powtarzanie instrukcji umożliwiają instrukcje iteracyjne nazywane krótko
pętlami.
Przykłady algorytmów klasycznych
Przykład 1. Algorytm Euklidesa. Algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika
(NWD) dwóch różnych liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Ten algorytm jest jednym z najstarszych przepisów - schematów obliczeń. Jest on pomysłowy i szybko daje wynik.
Specyfikacja problemu:
Dane wejściowe: a, b – liczby naturalne dla których wyznaczamy NWD.
Wynik: NWD – liczba naturalna równa największemu wspólnemu dzielnikowi liczb a i b.
Lista kroków:
K01: Czytaj a, b;
str. 7
Wprowadzenie do programowania
K02: Dopóki a ≠ b: wykonuj krok K03;
K03: Jeżeli a > b, to a:= a – b w przeciwnym razie b:= b – a;
K04: NWD:= a;
K05: Zakończ algorytm.
Przykład. Obliczmy tym sposobem NWD dla liczb 24 i 15.
1) 24 - 15 = 9
Od większej liczby odejmujemy mniejszą. Liczby 24 i 15 przechodzą w
15 i 9. Ponieważ nie są one równe, wykonujemy dalej odejmowanie
2) 15 - 9 = 6
Teraz otrzymujemy parę 9 i 6, która dalej nie składa się z liczb sobie
równych, więc kontynuujemy odejmowanie.
3) 9 - 6 = 3
Para 6 i 3 - odejmujemy dalej
4) 6 - 3 = 3
Para 3 i 3 - otrzymaliśmy równość, więc liczba 3 jest największym
wspólnym podzielnikiem liczb 24 i 15.
Schemat blokowy
Po odczytaniu wartości liczb a i b rozpoczynamy pętlę, która przerwie się, gdy w wyniku
działania algorytmu liczba a będzie równa liczbie b. W takim przypadku dowolna z tych liczb
jest największym wspólnym dzielnikiem pierwotnych wartości i wyprowadzamy ją. W przeciwnym wypadku jedna z liczb a lub b jest większa od drugiej. Odejmujemy więc liczbę
mniejszą od większej i kontynuujemy pętlę, aż do zrównania wartości a i b.
str. 8
Wprowadzenie do programowania
START
Czytaj(a,b);
N
a≠b
T
T
N
a< b
Pisz(a);
STOP
b:= b - a;
a:= a - b;
Przykład 2. Liczba dokonała. Algorytm znajdowania liczby naturalnej, która jest sumą
wszystkich swoich dzielników (mniejszych od niej). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 1*2*3=1+2+3.
Specyfikacja problemu:
Dane wejściowe: n – liczba naturalna.
Wynik: informacja czy podana liczba n jest liczbą doskonałą, czy też nie jest liczbą
doskonałą.
Zmienne pomocnicze: i - pełni rolę zmiennej sterującej pętlą i wartością kolejnych liczb naturalnych mniejszych lub równych połowie liczby n, i należy do zbioru liczb naturalnych.
Lista kroków:
str. 9
Wprowadzenie do programowania
K01: Czytaj n;
K02: suma:=0; i:=1;
K03: Dla i ≤ n/2: Jeśli (n mod i) = 0, to suma:= suma + i; i:= i + 1; w przeciwnym
razie K4;
K04: Jeśli n = suma, to Pisz (Liczba jest doskonała); w przeciwnym raz Pisz (Liczba
nie jest doskonała);
K05: Zakończ algorytm.
Schemat blokowy
Przykład 2. Max(a,b,c) (algorytm z rozgałęzieniami).
Specyfikacja problemu:
str. 10
Wprowadzenie do programowania
Dane wejściowe: a, b, c – liczby rzeczywiste dla których wyznaczamy liczbę większą.
Wynik: max – liczba rzeczywista równa liczbie większej z danych a, b, c.
Lista kroków:
K01: Czytaj a, b, c;
K02: max:= a;
K03: Jeśli max < b, to max:= b;
K04: Jeśli max < c, to max:= c;
K05: Pisz max;
K06: Zakończ algorytm.
Schemat blokowy
str. 11
Wprowadzenie do programowania
Literatura:
[1] Nowakowski Z., Sikorski W., Informatyka bez tajemnic cz. III, MICOM, Warszawa 1996.
[2] Kingsley-Hughes A., Kingsley-Hughes K., Od podstaw programowanie, Helion, 2006.
[3] Suraj Z., Rumak T., Algorytmiczne rozwiązywanie zadań i problemów, WO FOSZE, Rzeszów,
1995.
str. 12