Ćwiczenia 3 - Ilorazy różnicowe i wzór interpolacyjny Newtona

Ćwiczenia 3 - Ilorazy różnicowe i
wzór interpolacyjny Newtona
1. Zbuduj tabelę ilorazów różnicowych dla danych
xi
-3
f (xi ) -2
-1
0
0 2
3 -1
2. Mając informacje o węzłach
•
xi
-1
f (xi ) 1
0 4
0 -1
•
xi
-1
f (xi ) 2
0 1
1 2
5
0
wyprowadzić wzór na wielomian interpolacyjny Newtona.
3. Sprawdź czy dane przedstawione w tabeli mogą być wartościami pewxi
-1 0 1 2 4
nego wielomianu trzeciego stopnia
f (xi ) 25 10 15 10 90
4. Napisz funkcję, która dla danych węzłów i wartości funkcji w tych węzłach oblicza wartość wielomianu interpolacyjnego Newtona w zadanym
punkcie.
5. Zbuduj tabelę ilorazów różnicowych dla funkcji S1 (n) =
jednokrotnych (1, 2, . . . , n).
Pn
j=1
j i węzłów
6. Niech f (x) = 2x a węzły 0, 1, . . . , n. Oblicz f [0, 1, . . . , n].
7. Znając wartość cos(x) dla x = 0, π4 , π2 wyznacz przybliżoną wartość
cos π8 stosując wielomian interpolacyjny Newtona. Oszacuj błąd wartości przybliżonej.
8. Niech f (x) = |x|, x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1. Wyznaczyć wielomian
interpolacyjny w oparciu o te węzły. Dla jakich t ∈ [−1, 1] błąd będzie
największy?
9. Dla danej funkcji f (x) oraz parami różnych punktów x0 , x1 , . . . , xn wielomian L0 (x) interpoluje funkcję f na węzłach x0 , x1 , . . . , xn−1 zaś wielomian L1 (x) interpoluje funkcję f na węzłach x1 , x2 , . . . , xn . Skonstruować wielomiany p0 (x), p1 (x) ∈ P1 takie, że wielomian p0 (x)L0 (x) +
p1 (x)L1 (x) interpoluje funkcję f na węzłach x0 , x1 , . . . , xn .
142
3
2
10. Niech f (x) = sin(x), x0 = 0, x1 = π2 , x2 = π. Obliczyć przybliżoną
π
wartość sin 10
. Oszacować błąd tego przybliżenia.
11. Niech x0 , x1 , . . . , xn będą parami różnymi liczbami i niech l0 (x) będzie
wielomianem podstawowym Lagrange’a utworzonym w oparciu o powyższe węzły. Wykazać, że
l0 (x) = 1+
x − x0 x − x0 x − x1
x − x0 x − x1
x − xn−1
+
+. . .+
...
x0 − x1 x0 − x1 x0 − x2
x0 − x1 x0 − x 2
x0 − xn
12. Jaki największy błąd (reszta interpolacji) jest możliwy przy interpolacji
liniowej opartej na węzłach x0 = a, x1 = b dla funkcji f (x) na [a, b],
jeśli |f ′′ (x)| ¬ M2 dla ∀x ∈ [a, b].
13. Podać przykład funkcji f (x), dla której reszta interpolacji wzoru Lagrange’a jest równa: Rf (x′ ) = (x′ − x0 )(x′ − x1 ) . . . (x′ − xn ) dla każdego
x′ z przedziału interpolacji.
14. Udowodnić wzór
f [x0 , x1 , . . . , xn , x] =
f (n+1) (ξ)
,
(n + 1)!
ξ ∈ I[x0 , . . . , xn , x̄]
Wskazówka: Porównać wzór na resztę inerpolacji w postaci Newtona
ze wzorem na resztę interpolacji w postaci Lagrange’a.
143