Pobierz

INTERPOLACJA
Zad.1 Sformułować odpowiedni wielomian interpolacyjny i znaleźć wartość ciśnienia gazu dla
objętości V=1,2 m3.
węzły
0
1
x
y
1
V
1,5
9,14
∆y
∆2y
2
2,5
5,42
3
3,5
-2,81
5,32
-1,17
4,05
-12,98
4,06
1,6
0,43
3,21
6,87
-2,46
-0,84
5
∆6y
0,35
1,29
-1,27
4
∆5y
0,94
-0,1
3
∆4y
-2,33
6,81
-1,39
2
∆3y
-6,11
-2,05
-0,45
-0,02
-0,86
6
4
2,35
Aby wykonać powyższą tabelkę musimy zauważyć, iż argumenty są równoodległe tzn. posiadają
stał skok, równy 0,5. Na tej podstawie dobieramy metodę interpolacyjną. W naszym przypadku
gdy skok jest stały możemy wykorzystać dwie metody INTERPOLACJĘ LAGRANGE’A (metoda
uniwersalna) oraz INTERPOLACJĘ DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH. Wybieramy metodę
INTERPOLACJI DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH ponieważ wzór LAGRANGE’A dla 6
węzłów byłby zbyt złożony i pochłonął sporo cennego czasu. Po wybraniu metody tworzymy dla
niej tablicę, TABLICĘ RÓŻNIC SKOŃCZONYCH (jak wyżej). Następnie określamy, w której
części argumentów znajduje się wielkość, dla której mamy obliczyć wartość ciśnienia. Jeśli dana
wielkość znajduje się blisko węzła zerowego wybieramy pierwszy wzór interpolacyjny Newtona
(interpolacja wprzód), jeśli bliżej ostatniego wówczas drugi wzór interpolacyjny Newtona
(interpolacja wstecz). Wielkość podana w treści zadania V znajduje się bliżej węzła zerowego,
logicznie zatem wybieramy interpolację wprzód. Dla danych tego zadania wzór przyjmuje
postać:
q
q (q − 1) 2
q (q − 1)(q − 2) 3
q (q − 1)(q − 2)(q − 3) 4
∆y0 +
∆ y0 +
∆ y0 +
∆ y0 +
1!
2!
3!
4!
q (q − 1)(q − 2)(q − 3)(q − 4) 5
q (q − 1)(q − 2)(q − 3)(q − 4)(q − 5) 6
+
∆ y0 +
∆ y0 ;
5!
6!
x − x0
gdzie q =
h
x – to wielkość podana, dla której mamy wyznaczyć wartość.
xo – to argument oznaczony zerowym węzłem.
h – to skok co jaki zmieniają się argumenty.
Obliczamy q:
1,2 − 1
q=
= 0,4
0,5
P6I = y0 +
Podstawiając do wzoru interpolacyjnego otrzymujemy:
0,4
0,4(0,4 − 1)
0,4(0,4 − 1)(0,4 − 2)
0,4(0,4 − 1)(0,4 − 2)(0,4 − 3)
( −2,81) +
P6I = 9,14 +
(−2,33) +
0,94 +
0,35 +
1!
2!
3!
4!
0,4(0,4 − 1)(0,4 − 2)(0,4 − 3)(0,4 − 4)
0,4(0,4 − 1)(0,4 − 2)(0,4 − 3)(0,4 − 4)(0,4 − 5)
+
(−12,98) = 8,738
6,87 +
5!
6!
Widać, że otrzymany wynik mieści się między 9,14 a 6,81 zatem możemy przypuszczać, iż jest to
poprawna wartość.
Zad.2 Drugi współczynnik wirialny wodoru (B) zmienia się następująco z temperaturą (Tabela),
stosując odpowiedni wielomian interpolacyjny obliczyć współczynnik B w temperaturze
standardowej (298K).
x
y
0
123
3,3
1
173
9,3
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
6
-3,1
2,9
2
223
12,2
1,8
-1,3
1,6
3
4
273
298
323
13,8
-1,1
-0,5
-0,6
1
14,8
0,6
0,7
0,2
-0,4
0,6
5
373
15,4
Jak widać argumenty funkcji zmieniają się o stałą wartość (50K), 5 węzłów, zatem wybieramy
metodę INTERPOLACJI DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH. Temperatura 298K znajduje się
bliżej węzła końcowego i dlatego wybieramy wzór interpolacji wstecz. Do wzoru wykorzystujemy
różnice skończone zaznaczone na czerwono. Wzór Newtona ma dla naszego zadania następującą
postać:
q
q (q + 1) 2
q (q + 1)(q + 2) 3
q(q + 1)(q + 2)(q + 3) 4
P5II = y5 + ∆y 4 +
∆ y3 +
∆ y3 +
∆ y1 +
1!
2!
3!
4!
q (q + 1)(q + 2)(q + 3)(q + 4) 5
+
∆ y0
5!
x − xn
gdzie q =
h
x – to wielkość podana, dla której mamy wyznaczyć wartość.
xn – to argument oznaczony ostatnim węzłem.
h – to skok co jaki zmieniają się argumenty.
Obliczamy q:
298 − 373
q=
= −1,5
50
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
− 1,5
− 1,5(−1,5 + 1)
− 1,5(−1,5 + 1)(−1,5 + 2)
P5II = 3,21 +
(−0,84) +
0,43 +
1,6 +
1!
2!
3!
− 1,5(−1,5 + 1)(−1,5 + 2)(−1,5 + 3)
− 1,5(−1,5 + 1)(−1,5 + 2)(−1,5 + 3)(−1,5 + 4)
+
4,06 +
6,87 = 14,4
4!
5!
Wartość II współczynnika wirialnego wodoru dla 298K wynosi 14,4 (mieści się on pomiędzy
13,8 a 14,8, co oznacza, iż wynik jest uzasadniony)
Zad.3 Współczynnik przenikania ciepła gazu doskonałego (αo) zależy w następujący sposób od
liczby Prandtla (Pr) (Tabela). Wykorzystując właściwy wielomian interpolacyjny obliczyć
współczynnik przenikania ciepła dla Pr = 4.
Pr (x)
αo (y)
0
1
1,04
1
2
1,09
2
3
1,13
3
5
1,20
węzły
Skok argumentów jest nierówny, ale liczba węzłów jest niewielka bo zaledwie 3, zatem możemy
posłużyć się INTERPOLACJĄ LAGRANGE’A. wzór dla warunków naszego zadania wygląda tak:
( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )
( x − x0 )( x − x2 )( x − x3 )
( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 )
W3 ( x) = y0
+ y1
+ y2
+
( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − x3 )
( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − x3 )
( x2 − x1 )( x2 − x1 )( x2 − x3 )
( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )
y3
;
gdzie x – argument, dla którego mamy wyliczyć wartość.
( x3 − x0 )( x3 − x1 )( x3 − x2 )
Podstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
W3 (4) = 1,04
(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
(4 − 1)(4 − 3)(4 − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 5)
( 4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)
+ 1,09
+ 1,13
+ 1,20
= 1,165
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 5)
(3 − 2)(3 − 2)(3 − 5)
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)
Wyliczona wartość współczynnika przenikania ciepła dla gazów doskonałych mieści się w
granicach 1,13 oraz 1,20, co oznacza, iż wynik jest uzasadniony.
Zad.4 Skonstruować wielomian interpolacyjny dla stabelaryzowanej funkcji dyskretnej F(x)
(Tabela) i na jego podstawie określić wartość funkcji dla x = 1,15.
x
y
0
0,4
0,1011
1
0,6
0,2767
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
0,1756
0,0955
0,2711
2
0,8
0,5478
-0,0729
0,0226
0,2937
3
0,8415
4
1
X=1,15
1,2
5
1,4
0,3272
-0,1833
-0,1447
-0,2336
-0,4009
0,0601
0,9016
0,0386
-0,2562
-0,6345
-0,5744
Argumenty są równoodległe, liczba węzłów wynosi 5, więc najprostszą i idealnie pasującą do
tych warunków będzie INTERPOLACJA DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH. X=1,15
znajduje się bliżej ostatniego węzła, a zatem wykorzystamy tu interpolację wstecz.
II wzór interpolacyjny Newtona dla naszego zadania wygląda następująco:
q
q (q + 1) 2
q (q + 1)(q + 2) 3
q (q + 1)(q + 2)(q + 3) 4
P5II = y5 + ∆y 4 +
∆ y3 +
∆ y2 +
∆ y1 +
1!
2!
3!
4!
q (q + 1)(q + 2)(q + 3)(q + 4) 5
+
∆ y0
5!
x − xn
h
x – to wielkość podana, dla której mamy wyznaczyć wartość.
xn – to argument oznaczony ostatnim węzłem.
h – to skok co jaki zmieniają się argumenty.
Obliczamy q:
1,15 − 1,4
q=
= −1,25
0,2
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
− 1,25
− 1,25(−1,5 + 1)
− 1,25(−1,25 + 1)(−1,25 + 2)
P5II = 0,3272 +
(−0,5744) +
(−0,6345) +
(−0,4009) +
1!
2!
3!
− 1,25(−1,25 + 1)(−1,25 + 2)(−1,25 + 3)
− 1,25(−1,25 + 1)(−1,25 + 2)(−1,25 + 3)(−1,25 + 4)
+
(−0,1447) +
0,0386 =
4!
5!
gdzie q =
= 0,9283
1
0,9
0,8
0,7
Y
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
X
Wartość 0,9283 zawiera się w przedziale 0,8415 – 0,9016 (graficznie ukazane na wykresie) i jest
tym samym sensownym wynikiem. Jak widać na wykresie funkcja w punkcie (1,14 ; 0,9283) może
mieć maksimum. W tym celu należałoby obliczyć pierwszą pochodną funkcji i z warunku
zerowania się tej pochodnej wyznaczyć maksimum.
Zad.5 Dla funkcji opisanej następującą tablicą (Tabela), znaleźć wielomian interpolacyjny oraz
obliczyć jego wartość dla x=1
węzły
-3
x
y
0,3
2,43
-2
0,5
1,81
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
∆6y
-0,62
0,58
-0,04
-1
0,7
1,77
0
0,9
X=1
1,1
1,91
-0,4
0,18
0,14
1
-0,13
0,05
0,19
2,1
1,3
0,04
2,33
-0,15
0,12
-0,01
0,23
2
0,27
0,01
-0,14
-0,02
-0,03
0,01
0,24
3
1,5
2,57
Argumenty są równoodległe, liczba węzłów wynosi 6 (parzysta), x=1 leży blisko środka. Dla
takich warunków zadania korzystniejsze będzie wybranie INTERPOLACJI GAUSSA LUB
STIRLINGA opierających się na TABLICY RÓŻNIC CENTRALNYCH (jak wyżej przedstawiona
tablica). W naszych obliczeniach wykorzystamy PIERWSZY WZÓR INTERPOLACYJNY
GAUSSA. Przedstawia się on następująco dla naszego zadania:
q
q (q − 1) 2
(q + 1)q (q − 1) 3
(q + 1)q (q − 1)(q − 2) 4
G6I = y0 + ∆y0 +
∆ y −1 +
∆ y−1 +
∆ y −2 +
1!
2!
3!
4!
(q + 2)(q + 1)q(q − 1)(q − 2) 5
(q + 2)(q + 1)q (q − 1)(q − 2)(q − 3) 6
+
∆ y −2 +
∆ y −2
5!
6!
x − xn
gdzie q =
h
x – to wielkość podana, dla której mamy wyznaczyć wartość.
xn – to argument oznaczony ostatnim węzłem.
h – to skok co jaki zmieniają się argumenty.
Obliczamy q:
1 − 0,9
q=
= 0,5
0,2
Podstawiając do wzoru dane otrzymujemy:
0,5
0,5(0,5 − 1)
(0,5 + 1)0,5(0,5 − 1)
(0,5 + 1)0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)
0,12 +
G6I = 1,91 +
0,19 +
0,05 +
(−0,01) +
1!
2!
3!
4!
(0,5 + 2)(0,5 + 1)0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)
(0,5 + 2)(0,5 + 1)0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3)
+
(−0,14) +
0,01 = 2,006
5!
6!
Zad.6 Dla funkcji opisanej następującą tablicą (Tabela), znaleźć wielomian interpolacyjny oraz
obliczyć jego wartość dla x=3,55
x
y
0
1
0
1
1,5
0,18
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
∆6y
0,18
-0,06
0,12
2
2
0,3
3
2,5
0,4
0,04
-0,02
0,1
0
-0,02
0,08
4
3
0,48
6
3,5
X=3,55
4
-0,02
0,02
0,02
-0,02
0,54
0,04
0
0
0,02
0,06
5
-0,04
0
0,06
0,6
Argumenty są równoodległe, liczba węzłów wynosi 6, więc najprostszą i idealnie pasującą do
tych warunków będzie INTERPOLACJA DLA WĘZŁÓW RÓWNOODLEGŁYCH. X=3,55
znajduje się bliżej ostatniego węzła, a zatem wykorzystamy tu interpolację wstecz.
II wzór interpolacyjny Newtona dla naszego zadania wygląda następująco:
q
q (q + 1) 2
q (q + 1)(q + 2) 3
q (q + 1)(q + 2)(q + 3) 4
∆y5 +
∆ y4 +
∆ y3 +
∆ y2 +
1!
2!
3!
4!
q (q + 1)(q + 2)(q + 3)(q + 4) 5
q (q + 1)(q + 2)(q + 3)(q + 4)(q + 5) 6
∆ y0
+
∆ y1 +
5!
6!
x − xn
gdzie q =
h
x – to wielkość podana, dla której mamy wyznaczyć wartość.
xn – to argument oznaczony ostatnim węzłem.
h – to skok co jaki zmieniają się argumenty.
Obliczamy q:
3,55 − 4
q=
= −0,9
0,5
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
P6II = y6 +
− 0,9
− 0,9(−0,9 + 1)
− 0,9(−0,9 + 1)(−0,9 + 2)
− 0,9(−0,9 + 1)(−0,9 + 2)(−0,9 + 3)
0,06 +
0+
0,02 +
0,02 +
1!
2!
3!
4!
− 0,9(−0,9 + 1)(−0,9 + 2)(−0,9 + 3)(−0,9 + 4)
− 0,9(−0,9 + 1)(−0,9 + 2)(−0,9 + 3)(−0,9 + 4)(−0,9 + 5)
+
0,02 +
(−0,02) =
5!
6!
P6II = 0,6 +
= 0,55
Zad.7 Dla funkcji opisanej następującą tablicą (Tabela), znaleźć wielomian interpolacyjny oraz
obliczyć jego wartość dla:
(zadanie to będzie zawierało w sobie kilka przykładów bardzo podobnych do zadania 6 dlatego
rozwiązania tych przykładów sprowadzą się tylko do wypisania obliczeń).
a) x=0,1
x
y
1
1
0
X=0,1
0,2
1,2
2
0,4
1,39
węzły
0
∆y
∆2y
0,8
1
0,02
1,56
-0,01
1,72
-0,04
-0,03
-0,04
1,84
-0,06
0,01
0,12
5
∆6y
-0,01
-0,02
0,16
4
∆5y
-0,01
0,17
0,6
∆4y
0,2
0,19
3
∆3y
0,14
0,08
0,04
0,01
-0,03
0,09
6
1,2
1,93
Interpolacja wprzód:
0,1 − 0
= 0,5
0,2
0,5
0,5(0,5 − 1)
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3)
P6I = 1 +
0,2 +
(−0,01) +
(−0,01) +
0,02 +
1!
2!
3!
4!
q=
+
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3)(0,5 − 4)
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3)(0,5 − 4)(0,5 − 5)
0,14 = 1,10
(−0,06) +
5!
6!
b) x=1,1
węzły
0
1
x
y
1
X=1,1
1,5
2,35
∆y
∆2y
2
2
4,05
3
2,5
5,32
5,42
-1,6
6,81
6
4
7,03
6,11
4,06
2,46
1,29
-15,09
-8,98
-4,92
-2,46
-1,17
0,22
Interpolacja wprzód.
1,1 − 1
q=
= 0,2
0,5
-2,05
-1,17
1,39
3,5
∆6y
0,45
0,43
0,1
5
∆5y
-0,02
1,27
3
∆4y
0,86
3,21
0,84
4
∆3y
0,2
0,2(0,2 − 1)
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)(0,2 − 3)
(−2,05) +
0,86 +
(−0,02) +
0,45 +
1!
2!
3!
4!
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)(0,2 − 3)(0,2 − 4)
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)(0,2 − 3)(0,2 − 4)(0,2 − 5)
+
6,11 +
(−15,09) = 3,08
5!
6!
Zad.8 Gęstość par amoniaku od temperatury obrazuje Tabela, obliczyć gęstość par amoniaku w
temperaturze 31oC.
P6I = 2,35 +
T [oC]
d
[g/dm3]
0
20
6,69
1
22
7,12
2
24
7,56
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
∆6y
0,43
0,01
0,44
0,02
0,03
0,47
3
26
0,02
8,03
0,49
4
28
8,52
6
30
t=31
32
-0,04
0
0,01
0,02
9,03
0,04
0,01
0
0,01
0,51
5
-0,03
-0,01
0,03
0,54
9,57
Skok stały (2oC) liczba węzłów 6 temperatura 31oC znajduje się bliżej ostatniego węzła, zatem
wybieramy II wzór interpolacyjny Newtona (interpolacja wstecz).
31 − 32
q=
= −0,5
2
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
− 0,5
− 0,5(−0,5 + 1)
− 0,5( −0,5 + 1)( −0,5 + 2)
− 0,5( −0,5 + 1)( −0,5 + 2)( −0,5 + 3)
0,01 +
0,54 +
0,03 +
0,01 +
1!
2!
3!
4!
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)(−0,5 + 3)(−0,5 + 4)
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)(−0,5 + 3)(−0,5 + 4)(−0,5 + 5)
+
0+
(−0,04) = 9,30
5!
6!
P6II = 9,57 +
Wartość 9,30 znajduje się w przedziale (9,03: 9,57) zatem wnioskujemy ze uzyskany wynik ma
sens.
Zad.9 Ciepło rozpuszczania ciekłego amoniaku zależy następująco od stężenia procentowego
roztworu. (Tabela) Oszacować przy pomocy odpowiedniego wielomianu interpolacyjnego ciepło
rozpuszczania w roztworze 55%.
x%
y kJ
0
0
193
1
10
171
węzły
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
∆6y
-22
-5
-27
2
20
144
1
-4
-31
3
30
113
-3
-34
4
40
79
6
50
55%
60
39
0,6
18,6
14,6
-3
10,6
7,6
1,6
-38,4
-4
-4
-6
-40
5
0
1
Skok stały (10%) liczba węzłów 6, stężenie 55% znajduje się bliżej ostatniego węzła, zatem
wybieramy II wzór interpolacyjny Newtona (interpolacja wstecz).
q=
55 − 60
= −0,5
10
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
− 0,5
− 0,5(−0,5 + 1)
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)(−0,5 + 3)
(−38,4) +
1,6 +
7,6 +
10,6 +
1!
2!
3!
4!
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)(−0,5 + 3)(−0,5 + 4)
− 0,5(−0,5 + 1)(−0,5 + 2)(−0,5 + 3)(−0,5 + 4)(−0,5 + 5)
+
18,6 = 17,9
14,6 +
5!
6!
P6II = 0,6 +
b) tak sama treść tylko dla x=5%
węzły
0
1
x
y
0
5%
10
493
∆y
∆2y
20
30
444
40
50
0
413
1
-3
379
18
-4
-6
339
-4
-3
-40
5
∆6y
1
-4
-34
4
∆5y
-5
-31
3
∆4y
-22
471
-27
2
∆3y
14
10
7
1
-39
6
60
300
Skok stały (10%) liczba węzłów 6, stężenie 5% znajduje się bliżej zerowego węzła, zatem
wybieramy I wzór interpolacyjny Newtona (interpolacja wprzód).
5−0
q=
= 0,5
10
Podstawiając do wzoru odpowiednie wielkości otrzymujemy:
0,5
0,5(0,5 − 1)
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)
0,5(0,5 − 1)(0,5 − 2)(0,5 − 3)
(−22) +
(−5) +
1+
0+
1!
2!
3!
4!
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)(0,2 − 3)(0,2 − 4)
0,2(0,2 − 1)(0,2 − 2)(0,2 − 3)(0,2 − 4)(0,2 − 5)
+
(−4) +
18 = 482,2
5!
6!
P6I = 493 +
Zad 10. Oblicz wartości funkcji w przedziale <3,40 ; 3,45> co 0,01 mając dane podane w tabeli.
x
y
3,15
23,3361
3,2
24,5325
∆y
∆2y
∆3y
∆4y
∆5y
∆6y
1,1964
0,0614
1,2578
3,25
25,7903
3,3
27,1126
0,0031
0,0645
0,0002
1,3223
0,0033
28,5027
0,0035
0
0,0002
0,0713
0,0037
1,4614
3,4
29,9641
0
0,0002
1,3901
3,35
0
0,0678
0,075
1,5364
3,45
31,5003
Korzystamy z wzoru NEWTONA dla interpolacji wstecz.
PnII = y n +
q
q (q + 1) 2
q (q + 1)(q + 2) 3
q (q + 1)(q + 2)(q + 3) 4
∆y n−1 +
∆ y n −2 +
∆ y n−3 +
∆ y0
1!
2!
3!
4!
xi − x n
0,05
Aby obliczyć wartości y dla przedziału <3,40 ; 3,45> skorzystamy z zaznaczonych na czerwono
wartości różnic skończonych. Podstawiając do wzoru wartość 3,41 uzyskujemy wynik:
3,41 − 3,45
q=
= −0,8
0,05
q=
P5II = 31,5003 +
− 0,8
− 0,8(−0,8 + 1)
− 0,8(−0,8 + 1)(−0,8 + 2)
1,5364 +
0,075 +
0,0037 +
1!
2!
3!
− 0,8(−0,8 + 1)(−0,8 + 2)(−0,8 + 3)
0,0002 = 30,2652
4!
Resztę wyników, bez toku obliczeń, umieszczam w tabeli:
x
3,41
3,42
3,43
3,44
q
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
y
30,2652
30,5694
30,8767
31,187