Kategoria starsza - trzecia seria

ETAP INTERNETOWY
Seria 3.
Kategoria starsza - rozwiązania
Zadanie 1. Łasica Emilka urządza przyjęcie urodzinowe. Z tej okazji zakupiła
wafelki do tortu w kształcie sześciokątów. Każdy z nich ma wszystkie kąty równe,
a długości kolejnych boków wynoszą 1cm, 4cm, 5cm, 2cm, 3cm oraz 6cm. Wiedząc,
że trójkąt równoboczny o boku 1cm zajmuje 1 trąbkę kwadratową, oblicz ile trąbek
kwadratowych zajmuje jeden wafelek.
Odpowiedź. 65.
Rozwiązanie. Wszystkie kąty sześciokąta wynoszą 120◦ . Trójkąt równoboczny o
boku kcm ma pole k 2 cm2 , bo można go podzielić liniami równoległymi do boków
trójkąta na k 2 trójkątów równobocznych o boku 1cm. Po dobudowaniu trójkątów
równobocznych o bokach 2cm, 4cm oraz 6cm, widzimy, że pole sześciokąta wynosi
112 − 62 − 42 − 22 trąbek kwadratowych = 65 trąbek kwadratowych.
Zadanie 2. Kokardka łasicy Emilki składa się z dwóch przystających
trójką√
4
tów o kątachr90◦ , 60◦ i 30◦ oraz przeciwprostokątnej długości 4 3cm i koła
6
o promieniu
cm. Trójkąty te stykają się wierzchołkami przy najmniejszych
π
kątach, i w tym punkcie znajduje się środek koła (jak na rysunku). Ile centymetrów kwadratowych zajmuje kokardka? Wynik proszę podać zaokrąglony do
trzech miejsc po przecinku.
Odpowiedź. 17.
30◦ + 30◦
1
Rozwiązanie. Część wspólna koła z trójkątami zajmuje
=
pola koła. Zatem pole
360◦
6
5
kokardki równe jest sumie pól trójkątów oraz pola koła. Każdy z trójkątów jest połówką trójkąta
6
√
4
równobocznego o boku 4 3cm, więc każdy z nich ma pole
√
2 √
√ √
4
3
1 4 3cm
1 16 3 · 3 2
·
= ·
cm = 6cm2 .
2
4
2
4
!2
r
6
5
Z kolei koło ma pole π ·
cm
= 6cm2 . Zatem kokardka ma pole 2 · 6cm2 + · 6cm2 = 17cm2 .
π
6
Zadanie 3. Niedźwiedź Michał odkupił od borsuka Karola czterokołowy samochód z nowym kompletem opon (bez opon zapasowych). Każda z opon po przejechaniu 7000 km nie nadaje się do
dalszej jazdy. Ponieważ niedźwiedzie są tęższymi zwierzakami niż borsuki, przednia lewa opona
będzie ścierała się szybciej – po 6000 km trzeba ją będzie wymienić. Michał jest sprytnym misiem i zamierza zamieniać opony miejscami tak, aby móc przebyć jak najdłuższy dystans na tym
komplecie opon. Ile kilometrów jest w stanie przejechać?
Odpowiedź. 6720.
1
Rozwiązanie. Po przejechaniu kilometra jazdy, ściera się 6000
opony jadącej pod Michałem oraz
1
każdej
z
pozostałych
opon.
Jeśli
x
oznacza
liczbę
przejechanych
kilometrów na tym komplecie
7000
1
3
opon, to musi być spełniona nierówność x · 6000
+ 7000
¬ 4, czyli inaczej pisząc x ¬ 6720. To
oznacza, że Michał nie może przejechać dystansu dłuższego niż 6720 km. A może tyle przejechać,
jeśli będzie zmieniał opony w taki sposób, że każda z nich jest pod Michałem przez dystans 1680
km.
Zadanie 4. Borsuk strzela w tarczę, na której pola są punktowane liczbami 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
oraz 10. W czterech strzałach uzyskał 37 punktów. Na ile sposobów mógł punktować? Kolejność,
w jakiej uzyskiwał rezultaty jest istotna, tzn. serie strzałów 3, 7, 5, 5 oraz 5, 3, 7, 5 uznajemy za
różne.
Odpowiedź. 20.
Rozwiązanie. Zapiszmy liczbę 37 jako sumę czterech liczb naturalnych nie większych niż 10. Jedyne
możliwe sumy to: 37=10+10+10+7=10+10+9+8=10+9+9+9. Uwzględniając kolejność strzałów
dostajemy, że:
• 10+10+10+7 odpowiada czterem różnym seriom strzałów (bo borsuk mógł trafić siódemkę w
jednym z czterech strzałów)
• 10+10+9+8 odpowiada dwunastu różnym seriom strzałów (bo dziewiątka mogła zostać trafiona
w jednym z czterech strzałów, a ósemka w jednym z pozostałych trzech)
• 10+9+9+9 odpowiada czterem różnym seriom strzałów (bo dziesiątka mogła zostać trafiona w
jednym z czterech strzałów)
To oznacza że możliwych serii strzałów było 4+12+4=20.
Zadanie 5. Borsuk Romek i łasica Emilka mają pustą skarbonkę na wakacje. Łasica Emilka codziennie wrzuca do niej pewną liczbę trąbek: pierwszego dnia dwie trąbki, drugiego dnia cztery
trąbki, trzeciego dnia sześć trąbek, czwartego osiem, itd. Borsuk Romek (co za złodziej!) co drugi
dzień po cichu wyjmuje z niej trąbki! Pierwszego dnia jedną trąbkę, trzeciego dnia dwie trąbki,
piątego dnia trzy trąbki, siódmego cztery, itd. Po dwustu dniach otworzyli skarbonkę. Ile trąbek
znaleźli w środku?
Odpowiedź. 35150.
Rozwiązanie. Emilka wrzuciła do skarbonki 2 + 4 + 6 + ... + 400 = (2 + 400) + (4 + 398) + ... + (200 +
202) = 402 + 402 + ... + 402 = 100 · 402 = 40200 trąbek. Romek wyjął z niej 1 + 2 + 3 + ... + 100 =
{z
}
|
100
(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 101 · 50 = 5050 trąbek. Para znalazła
{z
}
|
50
w skarbonce po dwustu dniach 40200 − 5050 = 35150 trąbek.