Kategoria młodsza - trzecia seria

ETAP INTERNETOWY
Seria 3.
Kategoria młodsza - rozwiązania
Zadanie 1. Łasica Marta ma kran z gorącą czekoladą, z którego czekolada wypływa ze stałą
prędkością 2 łasicoszklanek na minutę. Marta postanowiła napełnić czekoladą garnek o objętości 50
łasicoszklanek. Gdy garnek był zapełniony do połowy, do pokoju Marty wpadł łasuch borsuk Romek
i rzucił się na czekoladę! Zaczął wypijać ją przez słomkę ze stałą prędkością 1 borsukoszklanki na
minutę. Wiedząc, że 2 borsukoszklanki mają taką samą objętość co 9 łasicoszklanek, oblicz ile
borsukoszklanek czekolady wypije Romek, nim objętość czekolady w garnku zmaleje do 14 objętości
garnka.
Odpowiedź. 5.
Rozwiązanie. Podczas wypijania czekolady przez Romka, czekolady z garnka ubywało z prędkością
1borsukoszklanka − 2łasicoszklanki
=
1 min
Ćwierć garnka ma objętość
9
2 łasicoszklanek
− 2łasicoszklanki
5 łasicoszklanek
=
.
1 min
2
min
25
łasicoszklanek, więc wypijanie czekolady potrwa
2
25
2 łasicoszklanek
5 łasicoszklanek
2
min
= 5min.
To oznacza, że Romek wypije 5 borsukoszklanek czekolady.
Zadanie 2. Łasica Emilka urządza przyjęcie urodzinowe. Z tej okazji zakupiła
wafelki do tortu w kształcie sześciokątów. Każdy z nich ma wszystkie kąty równe,
a długości kolejnych boków wynoszą 1cm, 4cm, 5cm, 2cm, 3cm oraz 6cm. Wiedząc,
że trójkąt równoboczny o boku 1cm zajmuje 1 trąbkę kwadratową, oblicz ile trąbek
kwadratowych zajmuje jeden wafelek.
Odpowiedź. 65.
Rozwiązanie. Wszystkie kąty sześciokąta wynoszą 120◦ . Trójkąt równoboczny o
boku kcm ma pole k 2 cm2 , bo można go podzielić liniami równoległymi do boków
trójkąta na k 2 trójkątów równobocznych o boku 1cm. Po dobudowaniu trójkątów
równobocznych o bokach 2cm, 4cm oraz 6cm, widzimy, że pole sześciokąta wynosi
112 − 62 − 42 − 22 trąbek kwadratowych = 65 trąbek kwadratowych.
Zadanie 3. – Kto wymyślił to truuudne zadanie o trójkątach z pierwszej serii? – zapytał sfrustrowany uczestnik konkursu.
– Romek na pewno nie wpadłby na taki pomysł... – powiedziała Emilka.
– Zadanie było pomysłem tej z nas, która rzadziej nosi kolczyki. – odparła Marta.
– To była któraś z dziewczyn. – stwierdził Tomek.
– A ja wam powiem, że zadanie z trójkątami wymyśliło to z was, które wykluczyło najmniejszą
liczbę osób! – wykrzyknął Romek.
Wiadomo, że dokładnie jedna osoba skłamała i nie był to Romek. Kto był autorem zadania? Która
z dziewczyn rzadziej nosi kolczyki? W formularzu odpowiedzi proszę wpisać pierwszą literę imienia
autora zadania oraz pierwszą literę imienia dziewczyny, która rzadziej nosi kolczyki (np. RE).
Odpowiedź. EM.
Rozwiązanie. Emilka wykluczyłą jedną osobę (Romka), Marta wykluczyła trzy osoby (chłopców i
dziewczynę noszącą częściej kolczyki), a Tomek wykluczył dwie osoby (chłopców). Skoro Romek
powiedział prawdę, to autorem zadania jest Emilka. To oznacza, że Emilka i Tomek powiedzieli
prawdę. Kłamcą była Marta. To oznacza, że autor zadania, czyli Emilka, nie nosi rzadziej kolczyków.
Zatem Marta nosi rzadziej kolczyki.
Zadanie 4. Niedźwiedź Michał odkupił od borsuka Karola czterokołowy samochód z nowym kompletem opon (bez opon zapasowych). Każda z opon po przejechaniu 7000 km nie nadaje się do
dalszej jazdy. Ponieważ niedźwiedzie są tęższymi zwierzakami niż borsuki, przednia lewa opona
będzie ścierała się szybciej – po 6000 km trzeba ją będzie wymienić. Michał jest sprytnym misiem i zamierza zamieniać opony miejscami tak, aby móc przebyć jak najdłuższy dystans na tym
komplecie opon. Ile kilometrów jest w stanie przejechać?
Odpowiedź. 6720.
1
opony jadącej pod Michałem oraz
Rozwiązanie. Po przejechaniu kilometra jazdy, ściera się 6000
1
każdej
z
pozostałych
opon.
Jeśli
x
oznacza
liczbę
przejechanych
kilometrów na tym komplecie
7000
1
3
opon, to musi być spełniona nierówność x · 6000
+ 7000
¬ 4, czyli inaczej pisząc x ¬ 6720. To
oznacza, że Michał nie może przejechać dystansu dłuższego niż 6720 km. A może tyle przejechać,
jeśli będzie zmieniał opony w taki sposób, że każda z nich jest pod Michałem przez dystans 1680
km.
Zadanie 5. Borsuk Tomek lubi rysować figury geometryczne. Narysował kwadrat ABCD, a następnie dorysował mnóstwo punktów i odcinków. Punkt E leży na boku CD, przy czym 3|DE| = 2|CE|.
Punkt F jest środkiem odcinka CE. Punkt G leży na odcinku AD, przy czym |AG| = |EF |. Punkt
H leży na odcinku AB. Odcinek CH przecina odcinek BF w punkcie I. Odcinek BD przecina
odcinek F G w punkcie J, a odcinek CH w punkcie K. Punkt L jest punktem wspólnym odcinków
F G i AE. O jest punktem przecięcia odcinków BE, CH, a M punktem przecięcia odcinków BE
i F G. Odcinki HG i AE przecinają się w punkcie N . Okazało się, że odcinki HD, M N oraz OL
mają punkt wspólny. Ile stopni ma suma miar kątów ∠HAL, ∠N EM oraz ∠OBH?
Odpowiedź. 180.
Rozwiązanie. Po wykonaniu rysunku okazuje się, że trzy kąty, o których sumę miar pytamy, są
kątami trójkąta BEA. Oznacza to, że ich suma wynosi 180◦ .