n sygnał

$
'
DETERMINISTYCZNE SYGNAŁY DYSKRETNE
Parametry deterministycznych sygnałów dyskretnych
Wartość średnia dyskretnego sygnału deterministycznego x[n]:
• określonego w skończonym przedziale [n1 , n2 ]
n2
X
1
x(n)
hxi =
n2 − n1 + 1 n=n
1
• o nieskończonym czasie trwania
N
X
1
hxi = lim
x(n)
N →∞ 2N + 1
n=−N
• okresowego o okresie N0
1
hxi =
N0
&
TSIM
n0 +N
X0 −1
x(n)
n0
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
%
1/10
$
'
Energia dyskretnego sygnału deterministycznego x[n]:
Ex =
∞
X
x2 (n)
n=−∞
Moc (średnia) dyskretnego sygnału deterministycznego x[n]:
N
X
1
x2 (n)
Px = lim
N →∞ 2N + 1
−N
W przypadku sygnałów okresowych:
1
Px =
N0
n0 +N
X0 −1
x2 (n)
n0
Jeśli 0 < Ex < ∞, to sygnał x[n] jest sygnałem o ograniczonej energii.
Jeśli 0 < Px < ∞, to sygnał x[n] jest sygnałem o ograniczonej mocy.
&
TSIM
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
%
2/10
$
'
Przykłady sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii
Delta Kroneckera δ[n]
Impuls prostokątny
(
x[n] = δ[n] =
(
1
dla
n=0
0
dla
n 6= 0
hxi = 1, Ex = 1
x[n] =
0
dla
n > |N |
1
dla
n 6 |N |
hxi = 1, Ex = 2N + 1
&
TSIM
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
3/10
$
'
Sygnał wykładniczy
Sygnał Sa
(
n
x[n] = a , n > 0, 0 < a < 1
hxi = 0, Ex =
1
1−a2
x[n] = Sa nθ0
hxi = 0, Ex =
&
TSIM
sin nθ0
nθ0
dla
t 6= 0
1
dla
n=0
π
θ0
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
4/10
$
'
Przykłady sygnałów dyskretnych o ograniczonej mocy
Sygnał stały
x[n] = 1,
−∞ < n < ∞
hxi = 1, Px = 1
Sygnał harmoniczny
x[n] = X0 sin(nθ0 + φ0 ),
hxi = 0, Px = 12 X02
&
TSIM
−∞ < n < ∞
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
5/10
$
'
Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych
Proste przekształcenie Fouriera sygnału x[n]
X(ejθ ) =
∞
X
x(n)e−jnθ
n=−∞
Widmo dyskretnego impulsu prostokątnego dla N = 6
&
TSIM
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
6/10
$
'
Odwrotne przekształcenie Fouriera
Z π
1
x(n) =
X(ejθ )ejnθ dθ,
2π −π
n = 0, ±1, . . .
Analiza korelacyjna sygnałów dyskretnych
Funkcją autokorelacji ϕx [m] dyskretnego sygnału x[n] o ograniczonej
energii nazywamy funkcję całkowitego parametru m (przesunięcia)
określoną wzorem:
ϕx (m) =
ϕx (0) =
∞
X
x(n)x∗ (n − m)
n=−∞
∞
X
|x(n)|2 = Ex
n=−∞
&
TSIM
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
7/10
'
$
&
%
TSIM
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
8/10
$
'
Związek funkcji autokorelacji z widmem energii
Widmem energii sygnału dyskretnego x[n] nazywamy kwadrat widma
amplitudowego Φx (ejθ ) = A2x (ejθ ) = |X(ejθ )|2 tego sygnału.
Funkcja korelacji ϕx [m] oraz widmo energii Φx (ejθ ) sygnału x[n] tworzą
parę transformat Fouriera:
∞
X
Φx (ejθ ) =
ϕx (m)e−jmθ
m=−∞
Z π
1
ϕx (m) =
2π
Φx (ejθ )ejmθ dθ
−π
Energia sygnału:
1
Ex = ϕx (0) =
2π
Z
π
Φx (ejθ )dθ
−π
&
TSIM
%
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
9/10
$
'
Funkcja autokorelacji sygnału o ograniczonej mocy
N
X
1
ψx (m) = lim
x(n)x∗ (n − m)
N →∞ 2N + 1
n=−N
W przypadku sygnału okresowego:
1
ψx (m) =
N
n0 +N
X−1
x(n)x∗ (n − m)
n=n0
Widmo mocy i jego związek z funkcją autokorelacji
1
Ψx (e ) = lim
ΦN (ejθ )
N →∞ 2N + 1
jθ
Funkcja autokorelacji ψx [m] sygnału x[n] i jego widmo mocy Ψx (ejθ )
tworzą parę transformat Fouriera w sensie granicznym.
&
TSIM
W1: Deterministyczne sygnały dyskretne
%
10/10