1 Zadanie 1 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. Do

Badania operacyjne
Temat 1:
Liniowe modele decyzyjne.
technologicznych.
Model
optymalnej struktury
produkcji,
model
diety, wybór procesów
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. Do ich produkcji zużywa się m. in. dwa limitowane surowce S1
i S2. Na jedną jednostkę wyrobu W1 zużywa się 12 jedn. surowca S1 oraz 8 jedn. surowca S2, natomiast na
jednostkę wyrobu W2 zużywa się 4 jedn. surowca S1 oraz 8 jedn. surowca S2. Przedsiębiorstwo posiada 480 jedn.
surowca S1 oraz 640 jedn. surowca S2. Zysk jednostkowy ze sprzedaży gotowych wyrobów wynosi 50 zł dla
wyrobu W1 oraz 10 zł dla wyrobu W2. Wiadomo również, że wyrobu W1 powinno się produkować nie więcej niż
wyrobu W2.
1. Ile należy produkować wyrobu W1, a ile W2, aby nie przekraczając limitów zużycia surowców
zmaksymalizować zysk ze sprzedaży wyrobów? Zbudować model matematyczny zagadnienia i rozwiązać
go metodą geometryczną.
2. Ograniczono dodatkowo zużycie trzeciego surowca S3, zakładając jednocześnie zużycie całego zapasu, tzn.
350 jedn., przy czym zużycie tego surowca na jednostkę wyrobu W1 wynosi 5, a na jednostkę wyrobu W2
wynosi 7. Czy zmusi to przedsiębiorstwo do korekty optymalnego planu produkcji?
Zadanie 2
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: W1 i W2. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków,
spośród których dwa są limitowane. Limity te wynoszą: środek I – 96 000 jednostek, środek II – 80 000 jednostek.
Nakłady limitowanych środków na jednostkę wyrobów W1 i W2 podano w tablicy:
Środki
produkcji
Jednostkowe nakłady
W1
W2
I
16
24
II
16
10
Wiadomo także, że zdolności produkcyjne jednego z wydziałów stanowiącego wąskie gardło procesu
produkcyjnego nie pozwalają produkować więcej niż 3'000 szt. wyrobów W1 oraz 4'000 szt. wyrobów W2.
Dodatkowo, działająca w ramach przedsiębiorstwa komórka analizy rynku ustaliła optymalne proporcje produkcji,
które kształtują się odpowiednio jak 3:2. Cena sprzedaży jednostki wyrobu W1 wynosi 30 zł, a wyrobu W2 – 40 zł.
Ustalić optymalne rozmiary produkcji wyrobów gwarantujące maksymalizację przychodu ze sprzedaży przy
istniejących ograniczeniach. Zbudować model matematyczny zagadnienia i rozwiązać go metodą geometryczną.
Zadanie 3
W gospodarstwie hodowlanym sporządzana jest mieszanka paszowa dla trzody chlewnej z dwóch produktów: P 1 i
P2. Mieszanka paszowa ma dostarczyć trzodzie chlewnej pewnych składników odżywczych S1, S2, S3 w ilościach
nie mniejszych niż określone minima. Zawartość składników odżywczych w jednostce poszczególnych produktów,
ceny produktów a także minimalne ilości składników podano w tabeli:
Składniki
S1
S2
S3
Cena (w zł)
Zawartość składnika w 1 kg produktu
P1
P2
3
9
8
4
12
3
6
9
Minimalna ilość
składnika
27
32
36
W jakich ilościach należy zakupić produkty P1 i P2, aby dostarczyć trzodzie chlewnej składników odżywczych S1,
S2, S3 w ilościach nie mniejszych niż minima określone w tabeli i aby koszt zakupu/sporządzenia mieszanki był
minimalny?
1
Badania operacyjne
Temat 1:
Liniowe modele decyzyjne.
technologicznych.
Model
optymalnej struktury
produkcji,
model
diety, wybór procesów
Zadanie 4
Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę bydła rogatego. Zwierzętom należy w pożywieniu dostarczyć m.in.
składnika odżywczego A w ilości co najmniej 60 jedn., zawartego w produktach P1 i P2 służących jako pasza.
Produkty P1 i P2 zawierają także pewne ilości składników B i C. Ze względu na szkodliwe działanie tych
składników, zwierzęta powinny otrzymywać je w ilościach ograniczonych: składnika B co najwyżej 40 jednostek, a
składnika C co najwyżej 36 jednostek.
Składniki
A
B
C
Cena (w zł)
Zawartość składnika w jednostce produktu
P1
P2
3
10
6
6
3
4
9
9
Wiedząc ponadto, że w diecie powinno się znaleźć co najmniej 10 jednostek produktu P 1 określić wielkość zakupu
produktów P1 i P2, aby zrealizować wymagania co do składu paszy i aby koszt zakupu był minimalny.
Zadanie 5
Rafineria ropy naftowej typu paliwowo-olejowego zakupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2, w cenach
odpowiednio 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Wycinkowy proces technologiczny odbywający się w wieży
rektyfikacyjnej daje trzy produkty. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymuje się 16 hl benzyny, 20 hl oleju
napędowego i 24 hl pozostałości. Z jednostki przerobowej R2 otrzymuje się 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego
i 14 hl pozostałości. Ile należy zakupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20
000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie nabycia surowca? Należy także wziąć pod uwagę, że zdolność
przerobowa wieży rektyfikacyjnej mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl.
1. Zbudować model matematyczny zagadnienia i rozwiązać go przy użyciu Microsoft Office Excel.
2. Które ograniczenia zostały spełnione na brzegu zbioru?
3. Zbuduj model dualny do powyższego zagadnienia i rozwiąż go przy użyciu Microsoft Office Excel.
4. Zinterpretuj wartości cen dualnych.
5. O ile zmieni się całkowity koszt nabycia surowca, jeśli zamówienia na benzynę zwiększą się do 56 000 hl?
6. O ile zmieni się całkowity koszt nabycia surowca, jeśli zamówienia na benzynę zwiększą się do 104 000 hl?
7. Ustal w jakich granicach mogą się zmieniać wyrazy wolne, aby interpretacja cen dualnych była dalej
możliwa.
8. O ile zmieni się całkowity koszt nabycia surowca, jeśli cena ropy R1 wzrośnie do 10 zł za jednostkę
przerobową?
9. Ustal w jakich granicach mogą zmieniać się współczynniki funkcji celu, aby dotychczasowe rozwiązanie
pozostało optymalne.
Zadanie 6
Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy komplet składa się z 7 belek
o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób powinno być zrealizowane zamówienie, aby odpad
powstały w procesie cięcia dłużyc o długości 5,2 m był minimalny? Ile wyniesie wielkość odpadu przy
optymalnym cięciu? Zinterpretuj wartości cen dualnych.
2
Badania operacyjne
Temat 1:
Liniowe modele decyzyjne.
technologicznych.
Model
optymalnej struktury
produkcji,
model
diety, wybór procesów
Zadanie 7
Klient dostarczył do tartaku tarcicę o długości 560 cm, zlecając pocięcie jej tak, aby otrzymać 300 desek o długości
140 cm i 390 desek o długości 160 cm. W jaki sposób należy pociąć posiadany surowiec, aby zrealizować
zamówienie minimalizując odpad? Podać wielkość minimalnego odpadu. Ile tarcic o długości 560 cm będzie
potrzebnych do zrealizowania zamówienia?
Jak zmieni się odpad, jeżeli zamówienie zostanie zwiększone o 12 desek o długości 160 cm?
Zadanie 8
Zakład produkujący gwoździe otrzymuje drut o wymaganej grubości w 30 centymetrowych kawałkach. Kawałki te
cięte są na krótsze, odpowiadające długościom gwoździa, tj. 11 cm, 8 cm, 5 cm. Należy pociąć otrzymywane
kawałki drutu tak, aby wyprodukować dokładnie: 12000 gwoździ o długości 11 cm, 24000 gwoździ o długości 8
cm i 27000 gwoździ o długości 5 cm, minimalizując przy tym odpad.
1. Zapisz model pierwotny powyższego zagadnienia oraz jego rozwiązanie.
2. Zapisz model dualny powyższego zagadnienia oraz jego rozwiązanie.
3. Interpretując odpowiednią cenę dualną odpowiedz jak zmieni się wielkość odpadu, jeśli zamówienie na
gwoździe o długości 8 cm zwiększy się o 9000 sztuk c.p.?
4. Podaj przedziały zmienności prawych stron ograniczeń, dla których można analizować wrażliwość
wartości funkcji celu powyższego zagadnienia na zmiany wartości prawych stron ograniczeń bez
ponownego rozwiązywania zagadnienia.
Zadanie 9 ⌂
Przedsiębiorstwo zajmuje się sprzedażą pomarańczy i produkcją soku pomarańczowego. Pomarańcze sprzedawane
są w woreczkach, sok pomarańczowy w kartonikach. W przedsiębiorstwie dokonuje się również oceny jakość
pomarańczy, skala ocen wynosi od 1 (najniższa jakość) do 10 (najwyższa jakość). W chwili obecnej
przedsiębiorstwo posiada 100 ton pomarańczy ocenionych na 9 punktów i 120 ton pomarańczy ocenionych na 6
punktów. Wewnętrzne normy jakości przewidują, że przeciętna jakość pomarańczy sprzedawanych w woreczkach
musi wynosić co najmniej 7 punktów, natomiast przeciętna jakość pomarańczy używanych do produkcji soku musi
wynosić co najmniej 8. Przedsiębiorstwu udaję się uzyskać 3 zł za sok wytworzony z kilograma pomarańczy,
natomiast koszty przerobu szacuje się na 2,1 zł na każdy kilogram. Za kilogram pomarańczy w workach
przedsiębiorstwo otrzymuje 2 zł, koszty pakowania, sortowania, przechowywania szacuje się na 1 zł za kilogram.
Sformułuj odpowiedni model zagadnienia liniowego maksymalizującego zysk ze sprzedaży.
3