docwybrane zagadnienia statecznosci pre¸t´ow prostych i uk lad´ow pre
download 
Reklamacja Transkrypt
wybrane zagadnienia statecznosci pre¸t´ow prostych i uk lad´ow pre
2005/6/16 page 525 Rozdzial 11 WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI PRȨTÓW PROSTYCH I UKLADÓW PRȨTOWYCH Wprowadzenie W literaturze spotykane sa֒ różne definicje stateczności lub bliskoznacznego pojecia stabilności. W odniesieniu do ukladów mechanicznych możemy mówić ֒ albo o stateczności stanu równowagi (w sensie spelnienia odpowiednich równań 1. statyki) albo o stateczności ruchu, np.: o stateczności lotu obiektu latajacego ֒ W obu przypadkach statecznościa֒ nazywać bedziemy zdolność ukladu mecha֒ nicznego do powracania do stanu pierwotnego po wytraceniu go z tego stanu. ֒ Bardzo prosta֒ ilustracja֒ tego zagadnienia może być popularny model fizyczny kulki ustawionej na zakrzywionej powierzchni. Analizujac ֒ zachowanie takiego modelu, w tablicy 11.1 zdefiniowano statyczne i kinetyczne kryteria równowagi trwalej2 (statecznej), obojetnej i nietrwalej (niestatecznej). ֒ 1 Analizujac jest czynnik czasu (np.: w za֒ problemy stateczności, w których uwzgledniany ֒ gadnieniach ruchu ciala, przeplywu cieczy, itp.) używamy czesto określenia stabilność za֒ miast stateczność. 2 W literaturze stan równowagi trwalej lub nietrwalej nazywany jest także równowaga֒ stala֒ oraz niestala֒ (chwiejna) ֒ [7]. # # # 2005/6/16 page 526 526 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Tabela 11.1. model fizyczny kryterium statyczne kryterium kinetyczne pod wplywem nieskończenie malego wychylenia uklad powróci do postaci pierwotnej po nadaniu malej predkości ֒ poczatkowej uklad bedzie ֒ ֒ wykonywal ruch drgajacy ֒ okresowy równowaga obojetna ֒ pod wplywem nieskończenie malego wychylenia uklad pozostanie w polożeniu wychylonym po nadaniu malej predkości ֒ poczatkowej uklad bedzie ֒ ֒ poruszal sie֒ ruchem jednostajnym f t11x1c równowaga nietrwala pod wplywem nieskończenie malego wychylenia uklad zajmie inne polożenie (różne od pierwotnego) po nadaniu malej predkości ֒ poczatkowej uk lad bedzie ֒ ֒ poruszal sie֒ ruchem przyśpieszonym ft11x1a 000000 111111 000000 111111 f t11x1a równowaga trwala f t11x1b ft11x1b 111111 000000 111111 000000 ft11x1c 000000 111111 000000 111111 000000 111111 11.1 Zjawisko utraty sprȩżystych stateczności w ukladach W zagadnieniach stateczności konstrukcji spreżystych rodzaj równowagi ֒ zależy najcześciej od parametrów obciażenia, np. od zadawanych sil lub prze֒ ֒ mieszczeń. Modelem takiego stanu jest np. kulka ustawiona na zakrzywionej belce jak na rysunku 11.1. Uwzgledniaj ac ֒ ֒ pierwotny promień zakrzywienia belki R można wyznaczyć taka֒ sile֒ P ∗ , powyżej której równowaga kulki jest nietrwala (niestateczna); dla sily P < P ∗ równowaga kulki bedzie trwala (sta֒ ∗ teczna), natomiast przypadek P = P oznacza równowage֒ obojetn ֒ ֒ a. P a) 11 00 00 11 R f f1x1 P 11 00 00 11 równowaga trwala ff1x1 b) Rysunek 11.1 0 równowaga nietrwala P P* 2005/6/16 page 527 11.1 527 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... W dalszej cześci tego rozdzialu, badajac ֒ różne stany równowagi, bedziemy ֒ ֒ zawsze stosować kryterium statyczne. Zauważmy jednak, że w definicji tego kryterium mówimy o ”nieskończenie malym” albo ”dowolnie malym” wychyleniu od stanu pierwotnego (zob. tablica 11.1). W ten sposób określany jest pewien stan idealny, którego praktycznie nigdy nie obserwujemy w badaniach doświadczalnych. W rzeczywistej konstrukcji, zagrożonej utrata֒ stateczności, impuls wytracaj acy ja֒ ze stanu pierwotnego może być maly ale ֒ ֒ skończonej wielkości; przy niewielkiej wartości impulsu zaburzenia uklad pozostaje w równowadze trwalej. Mówimy wtedy, że taka konstrukcja jest stateczna ”w malym”. Przykladowo, wysoki klocek ustawiony na sztywnym podlożu — rysunek 11.2a — zostanie wytracony z polożenia równowagi do֒ piero wtedy gdy sila boczna P bedzie wi eksza od pewnej skończonej wartości ֒ ֒ P = P2 > P1 . 111111 000000 000000 111111 000000 111111 11111111111 00000000000 000000 00000000000 111111 11111111111 000000 111111 P P Q Q f11x3 a) 2 Q f 11x3 1 b) Rysunek 11.2 Uwzgledniaj ac od za֒ efekty nieliniowości geometrycznej oraz odstepstwo ֒ ֒ sady zesztywnienia przedstawimy poniżej proste modele fizyczne opisujace ֒ dwie podstawowe formy utraty stateczności, tj. bifurkacje֒ i przeskok. W dalszej kolejności zostanie omówione zjawisko wyboczenia pretów prostych ֒ i ukladów pretowych. ֒ 11.1.1 Utrata stateczności ”przez bifurkacje” ֒ # Rozważmy prosty model ukladu spreżystego, zlożony z nieodksztalcalnego ֒ preta zamocowanego w przegubie A, i utrzymywanego w pozycji pionowej ֒ przez spreżyn e֒ jak na rysunku 11.3a. Swobodny koniec preta (punkt B) jest ֒ ֒ obciażony si l a skupion a P skierowan a wzd luż osi pr eta. Liniow a֒ charaktery֒ ֒ ֒ ֒ ֒ styke֒ spreżyny opisywać bedziemy nastepuj acym równaniem ֒ ֒ ֒ ֒ Mspr = c · ϕ (11.1) gdzie Mspr jest momentem jaki należy przylożyć do preta, aby go obrócić ֒ o kat sztywność spreżyny. ֒ ϕ, c jest wspólczynnikiem charakteryzujacym ֒ ֒ 2005/6/16 page 528 528 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... P P B ϕ f f1x2 B l x A a) ff1x21111 0000 0000 1111 111 000 000 111 l spr. A y b) Rysunek 11.3 Przykladowo, jeśli spreżyn e֒ wykonamy z drażka skretnego o dlugości a ֒ ֒ ֒ i średnicy d, jak na rysunku 11.4, stala֒ c można wyznaczyć ze wzoru 6.22 ϕ= Ms a GJo skad ֒ c= GJo G πd4 = . a a 32 gdzie G jest modulem Kirchhoffa drażka AC. ֒ W polożeniu idealnie pionowym (ϕ = 0) sila P nie daje momentu wzgledem ֒ przegubu A — rysunek 11.3a — oraz spreżyna nie jest napreżona; reak֒ ֒ cja pionowa w przegubie A jest równa RA = P . Tym samym wszystkie równania statyki sa֒ spelnione, a wiec ֒ możemy powiedzieć, że caly uklad jest P B 111 000 000 111 000 111 000 111 f f1x7a C GJo l A 111 000 000 111 a ff1x7a Rysunek 11.4 w równowadze. Dla dowolnej sily P możemy wiec ֒ napisać ϕ = ϕ(P ) = 0. (11.2) Jak dalej zobaczymy rodzaj równowagi (przy ϕ = 0) zależny jest m.in. od wspólczynnika c (zob. równanie (11.1)) oraz od wartości sily P : dla malej sily jest to równowaga trwala, dla dużej sily równowaga nietrwala — rysunek 11.5. W szczególności, gdy usunieta zostanie spreżyna (c → 0), wtedy dla dowolnej ֒ ֒ 2005/6/16 page 529 11.1 529 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... P równowaga f f1x5 nietrwala P* równowaga trwala 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 ff1x5 ϕ Rysunek 11.5 dodatniej3 sily P równowaga ukladu bedzie nietrwala. ֒ Poszukujac ֒ innych stanów równowagi zbadajmy jak rozważany uklad zachowuje sie֒ w polożeniu wychylonym o pewien kat ֒ ϕ — rysunek 11.3b. Zapisujac na caly pret ֒ równanie równowagi momentów dzialajacych ֒ ֒ (liczonych P PKr a) P ff1x4 f f1x4 ϕ 0 ϕ~ ~ sin ϕ P Kr b) ϕ Rysunek 11.6 np. wzgledem przegubu A) bedziemy mieli ֒ ֒ X M(A) = 0 ⇒ P · l sin ϕ = Mspr . Wykorzystujac ֒ dalej (11.1) otrzymujemy P · l sin ϕ = c · ϕ. (11.3) Równanie równowagi (11.3) posiada dwa różne rozwiazania: pierwsze zapi֒ szemy w formie (11.2) — zob. rysunek 11.5. Drugiego rozwiazania poszukamy ֒ przy zalożeniu, że ϕ 6= 0; dzielac stronami (11.3) przez l sin ϕ dostaniemy ֒ P = P (ϕ) = 3 c ϕ . l sin ϕ Dodatnia sila P wywoluje ściskanie preta AB. ֒ (11.4) 2005/6/16 page 530 530 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Powyższa֒ zależność funkcyjna֒ sily P od kata ϕ przedstawiono na ry֒ sunku 11.6a. Jak latwo zauważyć wykres P = P (ϕ) nie przechodzi przez poczatek ukladu (P = 0, ϕ = 0). Sile֒ odpowiadajac ϕ → 0 latwo ֒ ֒ a֒ katowi ֒ obliczymy4 uwzgledniaj ac dla ma lych k atów nast epuj ac a zależność ֒ ֒ ֒ ֒ ֒ ֒ sin ϕ ≈ ϕ. (11.5) Podstawiajac ֒ (11.5) do (11.4) otrzymujemy P (0) = PKr = c ϕ · , l ϕ c PKr = , l # (11.6) gdzie PKr jest sila֒ krytyczna֒ wyznaczajac ֒ a֒ na wykresie P = P (ϕ) tzw. punkt P P (ϕ) f f1x7 P Kr P P P P P 2 2 ϕ a) ϕ c) b) ff1x7 2 ϕ 1 PKr P P ϕ ϕ d) ϕ 2 e) ϕ 2 Rysunek 11.7 # bifurkacji, nazywany inaczej punktem rozdwojenia5 stanu równowagi — rysunek 11.7a. Dla dowolnej sily P = P1 mniejszej od sily krytycznej (P1 < PKr ) równowaga preta możliwa jest jedynie w polożeniu idealnie pionowym (ϕ = 0) ֒ i jest to równowaga trwala — rysunek 11.7b. Oznacza to, że uklad wytracony ֒ z tego polożenia (np. krótkotrwalym impulsem sily poziomej) powróci do polożenia pierwotnego natychmiast gdy zanikna֒ przyczyny zaburzajace stan ֒ 4 Dla kata ϕ = 0 we wzorze (11.4) otrzymujemy symbol nieoznaczony typu 00 ; sile֒ P = ֒ P (0) można też obliczyć stosujac ֒ regule ֒ de l’Hospitala. 5 Bifurkacja nazywana jest ”rozdwojeniem” pewnego stanu: np. ”bifurkacja rzeki” – jest to rozdwojenie koryta rzeki. 2005/6/16 page 531 11.1 531 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... równowagi. Tak wiec w polożeniu wy֒ przy sile P1 < PKr równowaga preta ֒ chylonym możliwa jest tylko wtedy gdy przylożona zostanie np. dodatkowa sila boczna S — rysunek 11.8. Wyznaczajac ϕ, ֒ zależność tej sily od kata ֒ z równania równowagi bedziemy mieli ֒ X M(A) = 0 S= ⇒ Sl cos ϕ + P l sin ϕ − cϕ = 0, ϕ 1 c ϕ − P sin ϕ = PKr − P tg ϕ, cos ϕ l cos ϕ natomiast dla malych katów (ϕ → 0) dostaniemy ֒ S ≈ (PKr − P )ϕ lub ϕ≈ S . PKr − P Inaczej bedzie gdy pret zostanie sila֒ P = P2 wieksz a֒ od sily ֒ ֒ obciażony ֒ ֒ krytycznej (P2 > PKr ); caly uklad może być wtedy w równowadze w dwóch różnych polożeniach: 1) w polożeniu idealnie pionowym (ϕ = 0) — rysunek 11.7c, 2) w polożeniu wychylonym (ϕ 6= 0) — rysunek 11.7d. S P S P=P <P 1 ϕ a) 111 000 000 111 S Kr P=P <P 1 Kr f f1x7k ff1x7k 000 111 000 111 b) c) ϕ ϕ π/2 2 P=P >P 2 Kr Rysunek 11.8 Na rysunku 11.7a ścieżke֒ równowagi trwalej oznaczono linia֒ ciag ֒ la, ֒ natomiast ścieżke֒ równowagi nietrwalej linia֒ przerywana. ֒ Różne przypadki obciażania ֒ i odciażania przedstawiono na rysunkach 11.7b-e. Jeżeli po przylożeniu sily ֒ P2 (takiej że P2 > PKr ) pret ֒ nie wychylil sie֒ od polożenia pierwotnego (ϕ = 0, — rysunek 11.7c), wtedy jego równowaga jest nietrwala; oznacza to, że wytracenie preta z tego polożenia spowoduje, iż nie powróci on do polożenia ֒ ֒ pierwotnego, zajmujac ֒ inne polożenie — rysunek 11.7e. W nowym polożeniu 2005/6/16 page 532 532 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... (ϕ 6= 0) równowaga preta jest trwala, a kat ֒ obrotu ϕ = ϕ2 zależy od sily P2 ֒ i może być wyznaczony z równania przestepnego (11.4). ֒ Utrata stateczności spreżystych ukladów pretowych i konstrukcji ֒ ֒ cienkościennych Modelowa֒ charakterystyke֒ ”uogólniona sila – uogólnione przemieszczenie”, podobna֒ do tej z rysunku 11.7, można narysować dla wielu innych elementów konstrukcyjnych zagrożonych utrata֒ stateczności przez bifurkacje. ֒ Przyklady a) d) f) 111 000 000 111 0110 1010 10 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 b) f 11x1a1 f11x1a1 c) Ms e) 0110 1010 00 11 00 10 11 g) 11 00 11 00 000 111 00 11 11 00 000 111 h) Rysunek 11.9 takich elementów przedstawiono na rysunku 11.9a-h; sa֒ to nastepuj ace przy֒ ֒ padki: a) wyboczenie preta jednostronnie utwierdzonego, ֒ 2005/6/16 page 533 11.1 533 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... b) zwichrzenie zginanej belki (wychyleniu z pierwotnej plaszczyzny zginania może towarzyszyć skrecanie), ֒ c) wyboczenie cienkiego pierścienia lub walcowej powloki pod wplywem ciśnienia zewnetrznego, ֒ d) pofaldowanie ścianek cienkiej rurki pod wplywem momentu skrecaj acego, ֒ ֒ e) wyboczenie ściskanej osiowo cienkościennej powloki, f) wyboczenie ściskanej tarczy (plyty), g) niesymetryczna forma wyboczenia ramy, h) symetryczna forma wyboczenia ramy. W dalszej cześci tego rozdzialu bardziej szczególowo omówione zostanie ֒ zagadnienie wyboczenia preta osiowo ściskanego (rysunek 11.9a) oraz przed֒ stawiona bedzie dla tego przypadku metoda wyznaczenia sily krytycznej PKr . ֒ Wplyw imperfekcji Wykres P = P (ϕ) przedstawiony na rysunku 11.7 jest sporzadzony dla preta ֒ ֒ idealnego, a wiec takiego modelu fizycznego, w którym si la jest przy lożona ֒ idealnie osiowo, charakterystyka spreżyny jest idealnie liniowa itd. W rze֒ czywistych pretach (rzeczywistych konstrukcjach) wystepuj a֒ różne efekty im֒ ֒ perfekcji, wywolane np.: nieosiowym przylożeniem sily (rysunek 11.10a,b), wstepnym odchyleniem preta od pozycji pionowej (rysunek 11.10c) czy silami ֒ ֒ tarcia w przegubie A. P P B P B f f1x9 B P e αo l 111 000 000 111 A a) ϕ ff1x9 000 111 111 000 000 111 A b) P Kr o 000 111 e1 e2 >e1 ϕ A c) e=0 d) Rysunek 11.10 Przykladowo, dla malego mimośrodu (takiego, że e ≪ l — rysunek 11.10a), równanie (11.3) możemy zapisać nastepuj aco ֒ ֒ P · (e + l sin ϕ) = c · ϕ, skad ֒ # 2005/6/16 page 534 534 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... P = # ϕ ϕ c = PKr . l e + l sin ϕ e + l sin ϕ Na rysunku 11.10d przestawiono krzywe P = P (ϕ) dla różnych wielkości mimośrodu e. Zwróćmy uwage֒ na to, że na wykresie nie wystepuje punkt ֒ bifurkacji, a w okolicy sily krytycznej (P ≈ PKr ) nastepuje nag ly przyrost ֒ kata ϕ, co może być zjawiskiem niekorzystnym, jeśli bedziemy mieli na uwa֒ ֒ dze bezpieczeństwo pracy calego ukladu. Niesymetryczne ścieżki równowagi Utrate֒ stateczności przez bifurkacje֒ omówiono dla prostego modelu preta ֒ przedstawionego na rysunku 11.3 (str. 528). Jest to model, dla którego otrzymujemy symetryczna֒ charakterystyke֒ P = P (ϕ) — rysunek 11.7a. W wielu rzeczywistych konstrukcjach obserwujemy niesymetryczne charakterystyki stanów równowagi. Przykladem może być model zlożony z nieodksztalcalnego preta AB utrzymywanego w pozycji pionowej przez spreżyn e֒ BC, ֒ ֒ umocowana֒ jak na rysunku 11.11a. W punkcie bifurkacji (P = PKr , ϕ = 0 — rysunek 11.11c) sila P = P (ϕ) może być funkcja֒ rosnac ֒ a֒ lub malejac ֒ a, ֒ w zależności od znaku kata ϕ. ֒ P P P B 11 00 00 11 a) 11.1.2 # f 11x63 A 11 00 b) 11 00 00 11 ϕ P Kr f11x63 11 00 ϕ c) Rysunek 11.11 Utrata stateczności ”przez przeskok” Inna֒ forma֒ utraty stateczności jest tzw. ”przeskok”, modelowany najcześciej ֒ ukladem dwóch idealnie spreżystych pretów lub spreżyn mocowanych prze֒ ֒ ֒ gubowo jak na rysunku 11.12a,b. Ten sam efekt może być np. modelowany jednym pretem zamocowanym w przegubie przesuwnym i nieprzesuw֒ nym (rysunek 11.12c) lub ukladem ramowym dwóch zakrzywionych pretów ֒ 2005/6/16 page 535 11.1 535 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... o sztywności zginania EJg (rysunek 11.12d). Rozważmy uklad pretowy z ry֒ sunku 11.12a, nazywany krata֒ Misesa. Zakladajac, że wzrastaj aca si la P ֒ ֒ 6 spowoduje ściskanie pretów, możemy wyznaczyć wykres: sila P — prze֒ mieszczenie δ. Przy malych przemieszczeniach δ oraz niewielkim wstepnym ֒ nachyleniu pretów (którego miara֒ jest kat ֒ ֒ β) wykres można aproksymować wielomianem stopnia trzeciego — rysunek 11.13a. Jak latwo zauważyć, taki wykres przecina oś przemieszczeń (P = 0) w trzech charakterystycznych punk- P δ 2 1 f f1x11 h 11 00 00 11 c ff1x11 a) b) 11 00 00 11 EA β c EA 11 00 00 00 11 11 00 11 c) Rysunek 11.12 11 00 00 11 1 0 0 1 0 1 00 11 000 00 111 11 000 111 EJg d) tach, którym odpowiadaja֒ nastepuj ace polożenia równowagi: ֒ ֒ a) δ = 0 — krata nie jest obciażona (poczatek wykresu – N1 = N2 = 0) — ֒ ֒ rysunek 11.13b, b) δ = h — prety sa֒ wtedy ściśniete i ustawione poziomo — rysunek 11.13c; ֒ ֒ sily wewnetrzne w pretach N1 , N2 wzajemnie sie֒ równoważa֒ (sa֒ to sily ֒ ֒ ściskajace N = N < 0), 1 2 ֒ c) δ = 2h — w ”lustrzanym odbiciu” polożenia wyjściowego prety sa֒ ֒ calkowicie odciażone (N1 = N2 = 0) — rysunek 11.13d. ֒ Przy zalożeniu, że dla malych katów β (wtedy h ≪ c) moga֒ być stosowane ֒ wzory przybliżone: sin β ≈ β, 6 1 cos β ≈ 1 − β 2 , 2 p 1 1 + β2 ≈ 1 + β2, 2 Dodatkowo zakladamy też, że prety nie ulegna֒ wyboczeniu. ֒ # 2005/6/16 page 536 536 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... P P kr1 0 a) δ1 kr2 b) δ2 h 11 00 11 00 00 00 00 11 00 11 11 11 11 00 00 11 2 P=0, δ = 0 2h ff1x12 P 1 δ δ= h h c) P=0, δ= h Rysunek 11.13 d) f f1x12 11 00 00 00 11 11 00 11 δ= 2h P=0, δ= 2h oraz uwzgledniaj ac ֒ prawo Hooke’a (σ = Eε), równanie P = P (δ) zapisywane ֒ jest nastepuj aco ֒ ֒ δ δ δ −1 −2 , (11.7) P = K δ(δ − h)(δ − 2h) = k h h h gdzie wspólczynnik k zależny jest od modulu spreżystości E, przekroju po֒ przecznego pretów A oraz wymiarów charakterystycznych kraty nieobciażonej ֒ ֒ c, h, β (rysunek 11.12 ) 3 h . k = Kh = EAβ = EA c 3 # # 3 Silnie nieliniowa charakterystyka kraty Misesa (11.7) posiada maksimum w punkcie gdzie przemieszczenie δ = δ1 oraz sila P = Pkr1 — rysunek 11.13a. W tym punkcie, przy wzrastajacej sile P nastapi ”przeskok” do innego ֒ ֒ polożenia równowagi co zaznaczono na rysunku 11.14 linia֒ kropkowana֒ BF. Charakterystyczna nieciag ֒ lość wykresu (nieciag ֒ lość przemieszczeń), wywolana tu sterowanym przyrostem sily, rozważana jest czesto w teorii katastrof. ֒ Przy obciażeniu si l a P tak a, że 0 < P < P , krata Misesa może przyjo kr1 ֒ ֒ o ֒ mować trzy różne polożenia równowagi, jednak nie zawsze jest to równowaga stateczna. Odcinki wykresu P = P (δ) zaznaczone na rysunku 11.14 linia֒ ciag ֒ la֒ oznaczaja֒ polożenia równowagi trwalej (statecznej), natomiast na odcinku BCD, zaznaczonym linia֒ przerywana, ֒ uklad znajduje sie֒ w równowadze 2005/6/16 page 537 11.1 537 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOŚCI ... G P A 0 P kr1 P (δ) P kr2 11 00 00 11 δ1 f f1x13 β β 11 00 00 11 ff1x13 B h C δ2 D 2h E F δ Rysunek 11.14 nietrwalej (niestatecznej). Przykladowo, przy przemieszczeniu δ = h i sile P = 0, gdy prety ustawione sa֒ poziomo (punkt C na odcinku BD), uklad ֒ bedzie w równowadze nietrwalej — oznacza to, że najmniejsze wychyle֒ nie od tego polożenia spowoduje ”przeskok” do innego (trwalego) polożenia równowagi, np. do punktu E (P = 0, δ = 2h) lub punktu A (P = 0, δ = 0). Istotna֒ cecha֒ klasycznego modelu kraty Misesa jest to, że jeśli przy wzrastajacej sile P nastapi przeskok, wtedy po calkowitym odciażeniu (P = 0) ֒ ֒ ֒ krata nie powróci do polożenia pierwotnego — chociaż jej odksztalcenia w calym procesie deformacji byly spreżyste. Drugi przeskok może wystapić ֒ ֒ dopiero w trakcie obciażenia przeciwzwrotnego (na odcinku DG — rysu֒ nek 11.14). Przy spreżysto–plastycznych odksztalceniach pretów przeskok ֒ ֒ także jest możliwy, jednak tych efektów nie bedziemy tu omawiać. ֒ Obserwowane w rzeczywistych konstrukcjach pretowych lub powierzchnio֒ wych (plyty, powloki) wykresy ”sila P – przemieszczenie charakterystyczne δ” sa֒ najcześciej ”bardziej plaskie” i zawieraja֒ sie֒ w pierwszej ćwiartce ukladu ֒ P −δ. Model fizyczny takiego ukladu otrzymamy dodajac ֒ do kraty Misesa dodatkowa֒ spreżyn e S — jak na rysunku 11.15. Zauważmy, że w przeciwieństwie ֒ ֒ do typowej kraty Misesa, dla kraty z dodatkowa֒ spreżyn a ֒ ”przeskok” wystapi ֒ ֒ zarówno przy obciażaniu jak też przy odci ażaniu (gdy si la P maleje do zera). ֒ ֒ Omówione tu efekty przeskoku sa֒ charakterystyczne dla procesu obciażania sterowanego sila֒ (sila może dowolnie zmieniać sie֒ w czasie; wy֒ 2005/6/16 page 538 538 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 111 000 000 111 000 111 Pkr1 A Pkr2 S P (δ) f f1x14 δ 11 00 00 11 111 000 000 111 B 1 h C ff1x14 δ D 2 2h F E δ Rysunek 11.15 kres P = P (t) jest funkcja֒ ciag Przy sterowaniu przemieszczeniowym (gdy ֒ la). ֒ znana jest funkcja δ = δ(t)), dla typowej kraty Misesa nie obserwujemy efektu przeskoku; w takim przypadku przy dowolnym przemieszczeniu δ istnieje jednoznacznie określona sila P = P (δ). 11.1.3 # Sprzeżenie bifurkacji i przeskoku ֒ W wielu konstrukcjach pretowych i powlokowych narażonych na utrate֒ sta֒ teczności obserwujemy jednoczesne wystepowanie dwóch omówionych wyżej ֒ form utraty stateczności, tj. bifurkacji i przeskoku. Prostym modelem opisujacym takie sprzeżenie jest nieodksztalcalny pret ֒ ֒ ֒ zamocowany przegubowo w jednym końcu, utrzymywany w pozycji pionowej przez spreżyn e֒ S1 i dwie ֒ spreżyny S , po l aczone jak w kracie Misesa — rysunek 11.16a. Niesyme2 ֒ ֒ tryczna֒ charakterystyke֒ tego modelu przedstawiono we wspólrzednych sila P – ֒ kat ϕ na rysunku 11.16c. Obci ażenie ca lego uk ladu si l a P = P (punkt bifurKr ֒ ֒ ֒ kacji) może spowodować przeskok do innego polożenia równowagi (określonego katem ϕo ). Przed osiagni eciem sily krytycznej pret ֒ ֒ ֒ ֒ znajduje sie֒ w równowadze trwalej. Opisane tu sprzeżenie wystepuje m.in. dla ukladów spreżystych o niesy֒ ֒ ֒ metrycznych ścieżkach równowagi (zob. opis do rysunku 11.11). 2005/6/16 page 539 539 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH P B S 2 S 2 111 000 000 111 S 1 a) 11.2 A 01 10 10 10 10 10 b) B 2 S2 ϕ 111 000 000 111 S 1 P S A 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 P f f1x15 P ff1x15 Kr c) ϕ ϕ o Rysunek 11.16 Wyboczenie prȩtów prostych Rozważmy zastosowanie statycznego kryterium równowagi do badania stateczności ściskanego preta, o sztywności zginania EJg , zamocowanego dwu֒ przegubowo — rysunek 11.17a. Przy wystarczajaco dużej sile osiowej pret ֒ ֒ może ulec wygieciu w luk zaznaczony na rysunku lini a֒ przerywana֒ — takie ֒ wygiecie nazywać bedziemy wyboczeniem. Podobnie jak dla rozważanego ֒ ֒ wcześniej modelu preta idealnie sztywnego (rysunek 11.3, str. 528), tak ֒ również w tym przypadku możemy udowodnić, że istnieje pewna sila krytyczna PKr , przy której nastepuje rozdwojenie postaci równowagi nazywane bifur֒ kacja֒ (zob. opis do rysunku 11.7, str. 530). Poniżej sily krytycznej (P < PKr ) pret ֒ pozostaje prosty, a równowaga ukladu jest trwala. Dla sily P > PKr równowaga jest możliwa w dwóch polożeniach: pret ֒ może pozostawać prosty (równowaga nietrwala) lub ulec wyboczeniu (równowaga trwala). Charakterystyke֒ stanów równowagi analizować bedziemy na wykresie sila P – maksy֒ malne przemieszczenie wmax — rysunek 11.17b (szczególowa֒ analize֒ stanów równowagi ukladu spreżystego przedstawiono na rysunku 11.7). ֒ W ogólnej definicji wyboczenia, formulowanej dla dowolnie zamocowanych pretów lub ukladów pretowych (ramy, kraty), bardziej zwraca sie֒ uwage֒ na ֒ ֒ zjawisko utraty stateczności przez bifurkacje֒ niż na rozklad przemieszczeń po utracie stateczności. Metode֒ wyznaczania sily krytycznej preta osiowo ściskanego podal w 1877 ֒ roku L. Euler7 , przy nastepuj acych za lożeniach upraszczajacych: ֒ ֒ ֒ 7 Prace Eulera dotycza֒ szerszej grupy pretów, których stateczność autor badal przy ֒ różnych sposobach zamocowania i osiowego obciażenia. ֒ # # # 2005/6/16 page 540 540 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... P l 1 0 0 1 0 1 P f w189 w(x) w max x fw189 Kr x a) P 11 00 00 11 z b) w max Rysunek 11.17 • pret ֒ jest idealnie prosty i pryzmatyczny, • material preta jest jednorodny, liniowo-spreżysty, ֒ ֒ • stala sila dziala wzdluż osi preta, ֒ • skrócenie osi preta na skutek dzialania sily ściskajacej N jest pomijalnie ֒ ֒ male w stosunku do efektów wywolanych wewnetrznym momentem zgi֒ najacym M (x). g ֒ Przy tych zalożeniach rozważymy równanie różniczkowe linii ugiecia belki ֒ (7.29), w zastosowaniu do preta, który pod dzialaniem sily osiowej ulega wy֒ boczeniu — rysunek 11.17a EJg w′′ = −Mg , (11.8) gdzie w = w(x) jest funkcja֒ linii ugiecia ściskanego preta, natomiast moment ֒ ֒ 8 i może być określony zginajacy M = M (x) jest zależny od przemieszczenia g g ֒ jako iloczyn sily P i funkcji ugiecia w = w(x), ֒ Mg = P · w(x). Jak latwo zauważyć dodatni znak momentu jest wynikiem wyginania preta ֒ krzywizna֒ w strone֒ osi odniesienia (dla funkcji przemieszczenia takiej, że w(x) > 0). Równanie różniczkowe linii ugiecia (11.8) może wiec ֒ ֒ być zapisane nastepuj aco ֒ ֒ EJg w′′ = −P · w, 8 Rezygnujac Mg (x) obliczamy tu dla preta ֒ z zasady zesztywnienia, moment zginajacy ֒ ֒ zdeformowanego (po wyboczeniu). 2005/6/16 page 541 541 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH albo w′′ + k2 w = 0, (11.9) gdzie zastosowano oznaczenie k2 = P . EJg (11.10) Rozwiazaniem równania (11.9) jest funkcja w = w(x) zawierajaca dwie stale ֒ ֒ calkowania C1 , C2 : w = C1 sin kx + C2 cos kx, (11.11) określona przy warunkach brzegowych 1) w(0) = 0, 2) w(l) = 0. (11.12) Pierwszy z tych warunków daje w(0) = C1 · 0 + C2 · 1 = 0 skad ֒ C2 = 0, natomiast z drugiego otrzymujemy: C1 sin kl = 0. (11.13) Funkcje֒ w = w(x), (11.11), zapiszemy wiec aco ֒ ֒ nastepuj ֒ s P w = C1 sin kx = C1 sin x, EJg gdzie stala C1 może być interpretowana jako ugiecie maksymalne C1 = wmax ֒ — rysunek 11.17a s P w = wmax sin x (11.14) EJg Z równania (11.13), przy zalożeniu, że w(x) 6= 0 (a wiec ֒ C1 6= 0), mamy: sin kl = 0, czyli: kl = π, kl = 2π, .... kl = nπ; n = 1, 2, 3, ... Uwzgledniaj ac ֒ ֒ definicje֒ stalej k (11.10) oraz przyjmujac ֒ n = 1, otrzymujemy 2005/6/16 page 542 542 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... s # # P l=π EJg ⇒ P = PKr = π 2 EJg . l2 Sila opisana tym wzorem jest pierwsza֒ sila֒ krytyczna֒ (n = 1) i nazywana jest sila֒ eulerowska֒ (PE ). Zakladajac ֒ wcześniej, że wyboczenie (wygiecie) ֒ preta nast api w kierunku osi z, tym samym przyjmujemy, że wystepuj acy ֒ ֒ ֒ ֒ tu osiowy moment bezwladności przekroju poprzecznego Jg jest momentem minimalnym: Jg = Jgy = Jg min ; tak wiec ֒ ostatecznie PKr = PE = π 2 EJg min . l2 (11.15) Przykladowo, dla preta o przekroju prostokata, o wymiarach a × 2a — rysu֒ ֒ 0110 10 P =P Kr B P Kr(1) P Kr(2) Kr(3) l/3 l/2 l n=1 x 11 00 00 11 A a) l/3 n=2 f11x4 n=3 l/3 w(x) b) f 11x4 c) Rysunek 11.18 nek 11.19a, minimalny moment bezwladności określimy nastepuj aco ֒ ֒ a(2a)3 2a(a)3 2 1 1 ; Jg min = min = min a4 ; a4 = a4 . 12 12 3 6 6 Wyższe wartości sily krytycznej zwiazane sa֒ z inna֒ forma֒ wyboczenia ֒ preta, np.: ֒ PKr(2) = 4π 2 EJg min ; l2 n=2 — rysunek 11.18 b, PKr(3) = 9π 2 EJg min ; l2 n=3 — rysunek 11.18 c. 2005/6/16 page 543 543 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH a a f 11x4q z 2a a) 3a R f11x4q y Jy = 23 a4 Jy = 43 a4 c) Jy = 0, 1098 R4 Jz = 0, 125 R4 1 4 Jz = 16 a Jg min = Jy =, 01098 R4 1 4 a Jg min = Jz = 16 b) Jz = 16 a4 Jg min = Jz = 16 a4 Rysunek 11.19 znaczenie ma wzór na pierwsza֒ W zastosowaniach praktycznych najwieksze ֒ sile֒ krytyczna֒9 (11.15). Druga i wyższe sily krytyczne moga֒ być brane pod uwage֒ jedynie w tym przypadku gdy ściskany osiowo pret ֒ zostanie usztywniony dodatkowymi podporami lub ciegnami — rysunek 11.20 (ze wzgledu na ֒ ֒ dodatkowe usztywnienia, zaznaczone na rysunku formy wyboczenia zwiazane ֒ sa֒ z równowaga֒ trwala֒ ściskanego preta). Sila eulerowska PE policzona ֒ dla preta usztywnionego jest zawsze wyższa. O takich rozwiazaniach warto ֒ ֒ pamietać z tego wzgledu, że kolejna sila krytyczna wzrasta z kwadratem ֒ ֒ mnożnika n (czterokrotnie, dziewieciokrotnie, itd.): ֒ PKr(2) = 4PKr(1) , PKr(3) = 9PKr(1) , ... Mówiac mieć zawsze na uwadze pierwsza֒ sile֒ ֒ dalej o sile krytycznej bedziemy ֒ krytyczna:֒ PKr = PE = PKr(1) , a wiec si l e ֒ ֒ ֒ eulerowska. Zauważmy, że rozwiazuj ac równanie różniczkowe (11.9) (przy warunkach ֒ ֒ brzegowych (11.12)) znaleziona zostala nie tylko funkcja linii ugiecia ֒ s 9 w = w(x) = C1 sin PKr(n) EJg # x , x = wmax sin nπ l (11.16) Uwzgledniaj ac ֒ duże przemieszczenia, można wykazać, że dla n = 1 równowaga preta ֒ ֒ po wyboczeniu (pierwsza forma wyboczenia) jest równowaga֒ trwala;֒ każda kolejna forma (n = 2, n = 3 ... ) jest zwiazana z równowaga֒ nietrwala.֒ ֒ # 2005/6/16 page 544 544 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 01 10 10 P f 11x4w 1 0 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 00 11 00 11 00 11 f11x4w a) 11 00 11 11 00 00 00 00 11 11 00 11 00 11 b) l/2 l/2 c) Rysunek 11.20 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 00 11 00 11 ale określono też wartości sily obciażaj acej P = PKr(n) , dla której ten opis ֒ ֒ linii ugiecia może być zastosowany. W matematyce, tego rodzaju zagadnienie ֒ nazywane jest poszukiwaniem wartości wlasnych PKr(n) i odpowiednich funkcji wlasnych. Stala C1 w równaniu (11.16), która֒ można interpretować jako maksymalne ugiecie przy wyboczeniu (C1 = wmax ), nie zostala wyznaczona, ֒ co oznacza, że przy sile P = PKr ugiecie maksymalne może być nieokreślone — ֒ rysunek 11.21b. Obciażenie pr eta si l a mniejsz a֒ od sily krytycznej nie spowo֒ ֒ ֒ trwala. duje jego wyboczenia (w(x) = 0), a równowaga calego ukladu bedzie ֒ 0110 10 1 0 0 1 0 1 P B δBx B’ P l C1 =wmax 11 00 00 11 P Kr wmax a) δ x=/ 0 B b) 11 00 00 11 f 11x4p1 P l f11x4p1 A P Kr wmax δ x= 0 B Rysunek 11.21 # W zakresie rozwiazań nazywanych ”pokrytycznymi”, tj. dla obciażeń ֒ ֒ wywolujacych wyboczenie (P > PKr , w(x) 6= 0), funkcja P = P (wmax ) ֒ określona równaniem (11.16) nie odpowiada rozwiazaniu ścislemu10 (rysu֒ 10 Rozwiazanie ”ścisle” dobrze opisuje charakterystyke֒ ”sila–przemieszczenie” (rysu֒ 2005/6/16 page 545 545 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH nek 11.17b). Otrzymane tu rozwiazanie przybliżone (P = P (wmax ) = PKr = ֒ const) może być uważane za linearyzacje֒ 11 rozwiazania ścislego; poszukujac ֒ ֒ rozwiazań bliższych rzeczywistemu zachowaniu si e ściskanych pr etów należy ֒ ֒ ֒ uwzglednić efekt obniżenia górnej podpory na skutek zakrzywienia osi preta ֒ ֒ przy wyboczeniu — rysunek 11.21a (zob. przyklad 11-3), jak również ścisle równanie różniczkowe linii ugiecia 7.24: ֒ w′′ κ= [1 + 3/2 (w′ )2 ] =− Mg (x) P · w(x) =− . EJg EJg (11.17) Rozwiazanie tak zapisanego równania różniczkowego wyraża sie֒ przez calki ֒ eliptyczne i nie bedzie tu omawiane. ֒ 11.2.1 Ogólny wzór Eulera Na rysunku 11.22a przedstawiono podstawowa֒ forme֒ wyboczenia (n = 1) preta jednostronnie utwierdzonego, obciażonego sila֒ osiowa֒ P . Sila eulerowska ֒ ֒ 12 obliczona dla tego preta jest cztery razy mniejsza niż sila krytyczna preta ֒ ֒ zamocowanego dwuprzegubowo (11.15) i może być zapisana nastepuj aco ֒ ֒ PKr = PE = π 2 EJg min . 4l2 (11.18) Wzory (11.15), (11.18) oraz wzory wyprowadzone dla wielu innych pretów ֒ wmax P P f w192 w(x) P l 111 000 000 111 x a) fw192 Kr z b) w max Rysunek 11.22 nek 11.21a) wyznaczona֒ eksperymentalnie. 11 Przy bardzo malym przemieszczeniu (wmax ≈ 0), także dla rozwiazania ścislego możemy ֒ przyjać: P (wmax ) ≈ PKr = const — zob. rysunek 11.21a. ֒ 12 Wyprowadzenie wzoru (11.18) zamieszczono np. w podreczniku J.Walczaka [8] ֒ 2005/6/16 page 546 546 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... osiowo ściskanych (inaczej obciażonych i zamocowanych) moga֒ być zapisane ֒ podobnie PKr = PE = π 2 EJg min π 2 EJg min , = (µl)2 lr2 (11.19) gdzie lr = µl, # jest to tzw. dlugość zredukowana (dlugość wyboczeniowa), natomiast µ jest bezwymiarowym wspólczynnikiem zależnym od sposobu zamocowania preta (wspólczynnik dlugości wyboczeniowej). W tabeli 11.2 podano wartości ֒ wspólczynnika µ, dla wielu czesto spotykanych sposobów zamocowania preta. ֒ ֒ Wspólczynnik ten zależny jest np. od podatności zamocowania końców preta ֒ (zob. np. opis do rysunku 11.28). 11.2.2 # (11.20) Przybliżone spreżystych ֒ obliczanie sily krytycznej pretów ֒ W przypadku analizy wyboczenia pretów niepryzmatycznych lub pretów ֒ ֒ obciażonych nietypowo (zob. przyk lad 11-6), obliczenie sily krytycznej (eu֒ lerowskiej) metoda֒ poszukiwania wartości wlasnych równania różniczkowego (11.8) może nastreczać wiele trudności. W takich przypadkach stosowane ֒ sa֒ czesto metody przybliżone, których obszerne omówienie zamieszczono np. ֒ w pracy M.Życzkowskiego [11]. Jedna֒ z najcześciej stosowanych jest dzisiaj ֒ komputerowa metoda elementów skończonych (MES), jednak jest ona na tyle rozbudowana, że jej omówienie wymaga kilku dodatkowych wykladów i przekracza ramy niniejszego podrecznika. Poniżej przedstawimy dwie prostsze ֒ metody przybliżone: metode֒ energetyczna֒ oraz metode֒ różnic skończonych. Metoda energetyczna Rozważmy ponownie prosty przyklad dwuprzegubowego preta ściskanego sila֒ ֒ osiowa,֒ jak na rysunku 11.17. W dalszych obliczeniach prace֒ sily zewnetrznej ֒ Lz wyrazimy przez przemieszczenie górnej podpory δ — rysunek 11.23a. Wykres P − δ oraz pole odpowiadajace pracy sily P (dla malych przemieszczeń) ֒ przestawiono na rysunku 11.23b, a odpowiedni wzór zapiszemy nastepuj aco ֒ ֒ Lz = PKr δ. 2005/6/16 page 547 547 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH Tabela 11.2. 11 00 00 11 11 00 00 11 ft11x2 a) 11 00 00 11 b) 11 00 00 11 Poz. Opis podparcia preta ֒ a) b) c) d) e) 11 00 00 11 11 00 00 11 c) 11 00 00 11 d) 11 00 00 11 Oba końce preta sa֒ nieprzesuwne i sztywno ֒ polaczone z fundamentem lub z konstrukcja֒ ֒ stropowa֒ Oba końce preta sa֒ nieprzesuwne, przy czym je֒ den z nich jest sztywno polaczony z fundamen֒ tem lub konstrukcja֒ stropowa,֒ a drugi - podparty przegubowo Oba końce preta sa֒ polaczone przegubowo z nie֒ ֒ przesuwnymi podporami Jeden koniec preta jest nieprzesuwny i polaczony ֒ ֒ sztywno z fundamentem lub z konstrukcja֒ stropowa,֒ a drugi koniec przesuwny i polaczony ֒ sztywno z konstrukcja֒ stropowa֒ Jeden koniec preta jest nieprzesuwny i polaczony ֒ ֒ sztywno z fundamentem lub konstrukcja֒ stropowa,֒ a drugi - swobodny f t11x2 e) 11 00 00 11 Wart. µ teoret. 0.50 Wartość µ wg. PN76/B-03200 0,50 ÷ 0,65 0.70 0,70 ÷ 0,80 1.00 1,00 1.00 1,00 ÷ 1,40 2.00 2,00 Uwaga: W normie PN-76/B-03200 opisane sa֒ różne sposoby mocowania końców preta oraz dodatkowe czynniki, które należy uwzglednić przy dobo֒ ֒ rze wspólczynnika µ. W nowszej normie PN-90/B-03200, zamiast szacunkowej wartości wspólczynników µ, podana jest zlożona metoda wyznaczania tych wspólczynników (z nomogramów uwzgledniaj acych podatność podpór). ֒ ֒ 2005/6/16 page 548 548 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 1 0 0 1 0 1 P δ P f wa189 dw fwa189 1010 000 111 w(x) l P Kr x a) 11 00 00 11 z 0110111 000 000 10111 10 ds Lz δ b) dx c) Rysunek 11.23 Przemieszczenie δ jest wynikiem zakrzywienia osi środkowej ściskanego preta, które powstaje w wyniku dzialania momentu zginajacego Mg (nie ֒ ֒ uwzgledniamy tu skrócenia osi pr eta wywo lanego napr eżeniem σ = −P/A). x ֒ ֒ ֒ Dlugość zakrzywionego preta nie ulega zmianie co zapiszemy calka֒ po zmien֒ nej krzywoliniowej s: l= Zl ds = 0 Zl p dx2 + dw2 = Zl−δq dw 2 dx 1+ 0 0 dx. 2 jest Przy malych przemieszczeniach w = w(x), kwadrat pochodnej dw dx bardzo maly w stosunku do jedności, i może być zastosowane nastepuj ace ֒ ֒ przybliżenie q co daje l= Zl−δh 0 skad ֒ 1− 1− dw 2 dx 1 dw 2 2 dx i 1 δ= 2 1 ≈1− 2 dw dx 2 1 dx = l − δ + 2 , Zl−δ (w′ )2 dx, 0 Zl−δ (w′ )2 dx. 0 (11.21) 2005/6/16 page 549 549 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH Ponieważ przemieszczenie δ jest bardzo male w porównaniu do dlugości preta ֒ (δ ≪ l), dlatego najcześciej bedziemy je pomijać w granicy calkowania, sto֒ ֒ sujac ace wzory: ֒ nastepuj ֒ ֒ 1 δ= 2 Zl dw 2 dx 0 oraz Lz = 1 2 PKr Zl 0 dx, dw 2 dx (11.22) dx, (11.23) Prace֒ sil wewnetrznych (energie֒ deformacji spreżystej) Lw zapiszemy wzo֒ ֒ rem (??) 1 Lw = 2 Zl Mg (x) κ(x) dx, 0 gdzie Mg (x) jest wewnetrzym momentem zginajacym, κ(x) jest krzywizna֒ osi ֒ ֒ środkowej wyboczonego preta. Uwzgl edniaj ac dalej znan a֒ zależność pomiedzy ֒ ֒ ֒ ֒ momentem zginajacym i krzywizn a osi środkowej (zob. wzory (??), (7.29) – ֒ ֒ tom I) κ= Mg EJg albo w′′ = − Mg , EJg (11.24) prace֒ sil wewnetrznych zapisać można dwojako: ֒ 1 a) Lw = 2 Zl Mg2 dx, EJg Zl EJg (w′′ )2 dx, 0 b) Lw = 1 2 (11.25) 0 gdzie, np: dla preta dwuprzegubowego z rysunku 11.23, mieli byśmy ֒ Mg = PKr · w. (11.26) 2005/6/16 page 550 550 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... W przypadku gdy znamy rzeczywista֒ funkcje֒ w = w(x) = C sin(nπ xl ), wyznaczona֒ z rozwiazania ścislego (11.16), praca sil zewnetrznych Lz ֒ ֒ i wewnetrznych Lw , określone wzorami (11.23), (11.25) bed ֒ ֒ a֒ sobie równe Lw = Lz . (11.27) Jeżeli linia ugiecia w = w(x) nie jest znana, możemy przyjać ֒ ֒ pewna֒ funkcje֒ przybliżona֒ wo = wo (x), tak aby spelnione byly wszystkie kinematyczne warunki brzegowe oraz wybrane lub wszystkie warunki statyczne. Przez porównanie pracy sil zewnetrznych i wewnetrznych wyliczymy wtedy przy֒ ֒ ∗ . Przykladowo, przyjmijmy nastepujaca bliżona֒ wartość sily krytycznej PKr ֒ ֒ ֒ postać funkcji ugiecia ֒ 2 x x − . wo (x) = C l2 l # Zauważmy, że dla takiej funkcji sa֒ automatycznie spelnione dwa kinematyczne warunki brzegowe: wo (0) = 0, wo (l) = 0, jednak nie sa֒ spelnione warunki statyczne (moment zginajacy Mg = −EJw′′ ֒ = const). Wykorzystujac jest na calej dlugości belki staly Mg = − 2CEJ ֒ dalej l2 równania (11.23), (11.25), (11.27), otrzymujemy: 10EJg l2 12EJg = l2 9, 87EJg = l2 ∗ = PKr ∗∗ PKr PKr – rozwiazanie wg. wzoru (11.25)a, ֒ ∆ = 1, 42%, – rozwiazanie wg. wzoru (11.25)b, ֒ ∆ = 21, 7%, (11.28) – rozwiazanie ścisle. ֒ gdzie ∆ jest bledem rozwiazania przybliżonego. Jak widzimy rozwiazanie ֒ ֒ ֒ kinematycznie dopuszczalne daje oszacowanie sily krytycznej z nadmiarem (”oszacowanie od góry”). Wyznaczona w ten sposób sila jest pierwsza֒ sila֒ krytyczna֒ (sila֒ eulerowska:֒ PKr = PKr(1) = PE ). Zauważmy też, że bardzo ∗∗ duży blad ֒ (21,7%) obliczony dla sily PKr jest wynikiem zastosowania wylacznie ֒ zwiazków ”kinematycznych” (11.25)b, a wiec ֒ ֒ takich, w których przekrojowy moment zginajacy wyliczany jest z równania różniczkowego linii ugiecia ֒ ֒ Mg = EJw′′ , 2005/6/16 page 551 551 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH a nie z równania ”statycznego” (11.26). Taki blad ֒ może być jeszcze wiekszy ֒ gdy ściskany pret b edzie obci ażony si l a poziom a ֒ ֒ ֒ ֒ ֒ lub reakcja֒ pozioma֒ (zob. opis do rysunków 11.28, 11.30, 11.39). W wielu jednak przypadkach skladowe poziomych sil lub reakcji nie sa֒ znane (np. w zadaniach statycznie niewyznaczalnych) i wtedy należy zastosować równanie (11.25)b. Dokladność rozwiazania przybliżonego może być poprawiona jeśli przy֒ bliżona funkcja przemieszczenia wo = wo (x) zostanie tak dobrana aby obok wszystkich kinematycznych warunków brzegowych zostaly spelnione wybrane lub wszystkie warunki statyczne. W przypadku rozważanego wyżej preta zamocowanego dwuprzegubowo — rysunek 11.23a — dobierzemy, np. ֒ piecioparametrow a֒ funkcje֒ przemieszczenia ֒ wo = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 , (11.29) dla której zarzadamy spelnienia nastepuj acych warunków: ֒ ֒ ֒ 1) 2) 3) 4) wo (0) = 0, wo (l) = 0, Mg (0) = EJg wo′′ (0) = 0, Mg (l) = EJg wo′′ (l) = 0, – dwa warunki kinematyczne, – dwa warunki statyczne. Moment zginajacy Mg wyrażono tu przez druga֒ pochodna֒ funkcji ugiecia ֒ ֒ (11.24). Powyższe warunki spelnione sa֒ dla nastepuj acych parametrów ֒ ֒ równania (11.29): a0 = 0, a1 = a4 l3 , a2 = 0, a3 = −2a4 l2 . Funkcja ugiecia (11.29) i jej odpowiednie pochodne moga֒ wiec ֒ ֒ być zapisane nastepuj aco: ֒ ֒ wo = a4 (l3 x − 2lx3 + x4 ), wo′ = a4 (l3 − 6lx2 + 4x3 ), wo′′ = a4 (−12lx3 + 12x4 ). Porównujac prace֒ sil zewnetrznych i wewnetrznych (11.27), obli֒ nastepnie ֒ ֒ ֒ czymy przybliżona֒ wartość sily krytycznej ∗ PKr = Rl a4 EJg (−12lx + 12x2 )2 dx 0 Rl a4 (l3 − 6lx2 + 4x3 )2 dx 0 = 9, 88 EJg . l2 # 2005/6/16 page 552 552 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Blad takiego oszacowania sily krytycznej wynosi tu ∆ ≈ 0.1% (porównaj z oszacowaniem przy kinematycznych warunkach brzegowych (11.28)). Jak widzimy, dokladność metody energetycznej zależy od tego ile parametrów zawiera dobrana funkcja aproksymacyjna oraz od tego jakie równania zastosowano do obliczenia pracy sil wewnetrznych (11.25). Pamietać jednak ֒ ֒ trzeba i o tym aby funkcje aproksymacyjne byly dobierane z należyta֒ troska֒ o dopasowanie ich do rzeczywistego ksztaltu linii ugiecia wyboczonego preta. ֒ ֒ Na rysunku 11.24 przedstawiono przyklady takich funkcji dobranych poprawnie (rysunek 11.24b) i blednie (rysunek 11.24c,d). Zauważmy np., że funkcja ֒ aproksymacyjna wo = C x4 x3 − 3 l4 l , spelnia 3 warunki brzegowe: wo (0) = 0, wo (l) = 0, Mg (0) = 0, jednak jak latwo zauważyć jest to funkcja, dla której zeruje sie֒ pierwsza pochodna w dolnym przegubie (w′ (0) = 0 — rysunek 11.24c), co nie jest prawda֒ dla preta rzeczywistego (zerowa pochodna dla x = 0 wystepuje dla preta ֒ ֒ ֒ utwierdzonego w dolnym umocowaniu). Blad oszacowania si ly krytycznej dla ֒ tej funkcji może być równy nawet kilkadziesiat ֒ procent. Mniejszy blad ֒ oszacowania sily krytycznej może być także uzyskany przez zastosowanie trygonometrycznych funkcji aproksymacyjnych zamiast funkcji wielomianowych (zob. przyklad 11-7). P 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 w’(0)=0 (?) w(l/2)<0 fwb189 w(x) l x a) 11 00 00 11 f wb189 x z z b) c) Rysunek 11.24 d) (?) 2005/6/16 page 553 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH 553 Metoda różnic skończonych Obliczanie przemieszczeń zginanych belek metoda֒ różnic skończonych omówiono wcześniej w rozdziale 7 tomu I (zob. rysunek 7.26, str. 311). W równaniu różniczkowym linii ugiecia — np. w równaniu (11.9) — krzy֒ wizna belki lub ściskanego preta może być zapisana wzorem różnicowym F.4 ֒ (str. 508) ′′ wn + kn2 wn ≈ # wn−1 − 2wn + wn+1 + kn2 wn = 0, h2 a podstawiajac ֒ dalej (11.10) wn−1 − 2wn + wn+1 P + wn = 0, 2 h En Jgn (11.30) gdzie wn , wn−1 , wn+1 oznaczaja֒ przemieszczenia wez ֒ lowe w otoczeniu wez ֒ la centralnego n, h krok siatki różnicowej, En , Jgn – sa֒ to odpowiednio: modul spreżystości i osiowy moment bezwladności — określone w miejscu gdzie ֒ przyjeto weze oraz zapisujac ֒ pret ֒ ֒ ֒ l centralny. Dzielac ֒ na n równych cześci ֒ równanie (11.30) w odpowiednich wez lach, otrzymujemy uk lad jednorodnych ֒ równań liniowych z niewiadomymi przemieszczeniami w punktach wez ֒ lowych. Cecha֒ charakterystyczna֒ takiego ukladu jest zerowanie sie֒ kolumny wyrazów wolnych. Aby wykluczyć rozwiazania zerowe, przyrównujemy wyznacznik ֒ glówny ukladu do zera, otrzymujac ֒ w ten sposób warunek, z którego wyznaczymy obciażenia krytyczne (problem wartości wlasnych). ֒ Przykladowo obliczymy sile֒ krytyczna֒ dla poprzednio rozważanego preta ֒ dwuprzegubowego — rysunek 11.17. Caly pret podzielimy na trzy równe ֒ cześci jak na rysunku 11.25. Zapisujac ֒ równanie różnicowe (11.30) w wez ֒ ֒ lach 2, 3 oraz uwzgledniaj ac ֒ ֒ warunki brzegowe (11.12) mamy w1 − 2w2 + w3 + h2 k2 w2 = 0, w2 − 2w3 + w4 + h2 k2 w3 = 0, oraz w1 = 0, w4 = 0 (warunki brzegowe), skad ֒ (h2 k2 − 2)w2 + w3 = 0, w2 + (h2 k2 − 2)w3 = 0, (11.31) gdzie h = l/3. Przyrównujac ֒ do zera wyznacznik glówny ukladu równań (11.31), otrzymujemy jedno równanie # 2005/6/16 page 554 554 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... (h2 k2 − 2)2 − 1 = 0, z którego o PKr(1) = 9EJ , l2 o PKr(2) = 1 0 0 1 0 1 P B 111 000 27EJ . (11.32) l2 h (4) 11 00 f 11x7 Rozwiazania (11.32) można też otrzymać, 111 (3) 000 ֒ podstawiajac do (11.31): w = w lub 2 3 ֒ l h w2 = −w3 (takie zależności charakteryzuja֒ pierwsza֒ i druga֒ forme֒ utraty stateczności). 111 (2) 000 o o Wynika stad, iż si ly P i P s a przy֒ ֒ kr(1) kr(2) bliżonymi wartościami pierwszej i drugiej sily h krytycznej. 1111 0000 11 (1)00 A Metoda numerycznego calkowania równania równowagi daje oszacowanie sily krytycznej mniejsze od rozwiazania ścislego ֒ Rysunek 11.25 (11.15) (”oszacowanie od dolu”). Zwiekszenie ֒ dokladności uzyskujemy przez zageszczenie siatki różnicowej. W tablicy 11.3 ֒ dla rozważanego przykladu zestawiono wyniki obliczeń sily krytycznej przy podziale preta na dwie, trzy, cztery i pieć (liczbe֒ swobodnych wez ֒ ֒ cześci ֒ ֒ lów oznaczać bedziemy przez m). Bardziej gesta siatka różnicowa pozwala wy֒ ֒ znaczyć wyższe wartości sily krytycznej; najwieksz a֒ dokladność uzyskujemy ֒ zawsze dla pierwszej sily krytycznej. f11x7 00 11 00 11 Tabela 11.3. l2 EJ PKr(1) l2 EJ PKr(2) l2 EJ PKr(3) l2 EJ PKr(4) blad obliczeń ֒ dla pierwszej sily krytycznej m=2 m=3 m=4 m = 5 rozw. ścisle m→∞ 8 9 9, 4 9, 5 π 2 = 9, 87 − 27 32, 0 34, 5 4π 2 = 39, 5 − − 54, 6 65, 4 9π 2 = 88, 8 − − − 90, 4 16π 2 = 158 −19% −8, 7% −4, 8% −3, 7% − 2005/6/16 page 555 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH 11.2.3 555 Zakres ważności wzoru Eulera Wzory Eulera (11.15), (11.18), (11.19) wyprowadzono przy zalożeniu, że material ściskanego preta jest liniowo spreżysty (σ = Eε). Obliczajac σ ֒ napreżenie ֒ ֒ ֒ jako iloraz sily ściskajacej i przekroju poprzecznego preta, (4.1), dla obciażenia ֒ ֒ ֒ 13 odpowiadajacego sile krytycznej możemy napisać ֒ |σ| = σKr = PKr , A # (11.33) oraz σKr = PKr 6 σprop , A gdzie σprop jest granica֒ proporcjonalności (napreżenie σprop wyznacza zakres ֒ stosowalności prawa Hooke’a). Podstawiajac tu (11.19), otrzymujemy ֒ σKr = σE = π 2 EJg min 2 Alr 6 σprop , (11.34) gdzie σE nazywane jest napreżeniem eulerowskim. Wprowadzajac ֒ ֒ dalej oznaczenia: imin = r Jg min A − λ= minimalny promień bezwladności, lr imin − smuklość preta ֒ (11.35) (11.36) wzór (11.34) zapiszemy nastepuj aco ֒ ֒ σKr = σE = σE = # π2E 6 σprop , lr 2 ( imin ) π2E 6 σprop , λ2 (11.37) skad ֒ 13 # Zgodnie z przyjet sily normalnej, napreżenie ֒ a֒ wcześniej umowa֒ co do znaku wewnetrznej ֒ ֒ σ = σKr jest napreżeniem ujemnym, jednak dla przejrzystości zapisu przyjmować bedziemy, ֒ ֒ że jest to napreżenie dodatnie. ֒ 2005/6/16 page 556 556 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... λ>π s E , σprop (11.38) albo λ > λgr , gdzie smuklość graniczna λgr może być wyrażona zależnościa֒ σ Kr σ*(λ) s σ o E λgr = π , f 11x5n σ σ=σ prop (11.39) # t (11.40) prop σ (λ) Wzór Eulera (11.19) może wiec ֒ być stosowany tylko wtedy gdy smuklość preta λ, (11.36), jest ֒ λ wieksza od smuklości granicznej ֒ λ t = λ gr λgr (zależnej od stalych materialowych E, σprop ). Dla wielu mateRysunek 11.26 rialów konstrukcyjnych λgr bywa przyjmowane λgr ≈ 100 (zob. tabela 11.4, str. 559). f11x5n E 11.2.4 # # # # Wyboczenie w zakresie niespreżystym ֒ Na rysunku 11.26 przedstawiono wykres zależności napreżenia krytycznego ֒ σKr , (11.33), od smuklości λ. Linia֒ ciag l a zaznaczono hiperbol e֒ Eulera ֒ ֒ σKr = σE = σE (λ) opisana֒ wzorem (11.37) (λ > λgr ). W przypadku gdy smuklość preta jest mniejsza od smuklości granicznej (prety krepe), wzór Eu֒ ֒ ֒ lera nie może być stosowany — wyboczenie jest wtedy nieliniowo spreżyste ֒ lub niespreżyste (spreżysto–plastyczne). W literaturze podawane sa֒ dla tego ֒ ֒ ∗ = σ ∗ (λ) (linia przerywana na rysunku 11.26). zakresu inne zależności σKr Kr Sa֒ to przeważnie pólempiryczne wzory, budowane tak, aby spelnione byly nastepuj ace postulaty ֒ ֒ ∗ nie a) przy smuklości λ → 0 (np. gdy l → 0) napreżenie krytyczne σKr ֒ może przekroczyć granicy plastyczności σo (lub napreżenia wywolujacego ֒ ֒ kruche zniszczenie próbki ściskanej σu ), ∗ = σ ∗ (λ) dla λ = 0 powinna być pozioma, a wiec b) styczna do wykresu σKr ֒ Kr ∗ ( dσKr /dλ)(λ→0) = 0; 2005/6/16 page 557 557 11.2. WYBOCZENIE PRȨTÓW PROSTYCH w ten sposób spelniamy intuicyjne zalożenie mówiace o tym, że prety ֒ ֒ krótkie i bardzo krótkie (l → 0) nie ulegna֒ wyboczeniu14 , a ich zniszczenie jest zwiazane z uplastycznieniem (np. miekka stal) lub kruchym ֒ ֒ pekaniem (np. materia ly ceramiczne). Dopuszczalna si la obciażaj aca (dla ֒ ֒ ֒ pretów bardzo krótkich) może być wyznaczona z warunku bezpieczeństwa ֒ na ściskanie. ∗ = σ ∗ (λ), c) w miejscu polaczenia hiperboli Eulera σE = σE (λ) i krzywej σKr ֒ Kr pochodna dσKr /dλ powinna być ciag la. Wspó lrz edne punktu po l aczenia ֒ ֒ ֒ dwóch krzywych oznaczono dalej σt , λt . d) napreżenie punktu przejścia σt (rysunek 11.26) nie może być wieksze ֒ ֒ od napreżenia na granicy proporcjonalności (σ 6 σ ). Ze wzgl edu t prop ֒ ֒ na trudności zwiazane z wyznaczeniem granicy proporcjonalności, oraz ֒ uwzgledniaj ac σt przyjmo֒ ֒ odpowiedni zapas bezpieczeństwa, napreżenie ֒ wane jest niekiedy jako pewien ulamek granicy plastyczności. ∗ = σ ∗ (λ) W literaturze spotykane sa֒ nastepuj ace aproksymacje funkcji σKr ֒ ֒ Kr (w zakresie deformacji niespreżystych): ֒ ∗ σKr = σTJ = ∗ σKr = σJO = ∗ σKr = σY = PKr = a1 − b1 λ A PKr = a2 − b2 λ2 A – wzór Tetmajera–Jasińskiego, (11.41) – wzór Johnsona-Ostenfelda, (11.42) PKr = a3 − b3 λ2 − c3 λ4 − d3 λ6 A – wzór Ylinena. (11.43) Aproksymacje (11.41), (11.42), (11.43) przedstawiono na rysunku 11.27. Uwzgledniaj ac ֒ przeslanki pierwszego postulatu, formulowane dla λ → 0, (a ֒ wiec dla pr etów bardzo krótkich, gdy l → 0), możemy napisać ֒ ֒ a1 = a2 = a3 = σo . ∗ /dλ nie Zauważmy, że dwa postulaty (b), (c) dotyczace pochodnej dσKr ֒ moga֒ być spelnione we wzorze Tetmajera–Jasińskiego (zob. rysunek 11.27a). Pomimo tego, ten wlaśnie wzór, ze wzgledu na bardzo prosta֒ forme, ֒ ֒ jest czesto ֒ stosowany w obliczeniach wytrzymalościowych, 14 Przykladem takiego elementu jest np. podkladka pod śrube֒ lub nakretk e. ֒ ֒ 2005/6/16 page 558 558 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... σ σ o Kr σ σ*= a −b λ 1 σ σ 1 6 3 3 3 o σ =σ (λ) E E λ λ gr 4 σ*=a −b λ −c λ−d λ 3 f 11x5na σprop prop a) 2 Kr 2 σ*= a −b λ 2 2 f11x5na b) λ λ gr Rysunek 11.27 Wspólczynniki b1 , b2 we wzorach (11.41), (11.42) moga֒ być tak dobierane aby odpowiednia funkcja laczy la sie֒ z hiperbola֒ Eulera przy napreżeniu ֒ ֒ σt = σprop i smuklości λt = λgr . Granica proporcjonalności σprop różnych materialów konstrukcyjnych zawiera sie֒ na ogól w zakresie σprop = (0, 2÷0, 95)σo . Wyznaczajac ֒ stala֒ b2 we wzorze Johnsona–Ostenfelda z warunku σJO (λgr ) = σE (λgr ), w punkcie przejścia nie otrzymamy zgodności pochodnych. Jak już wcześniej wspomniano, napreżenie przejścia σt jest jednak czesto dobierane poniżej gra֒ ֒ nicy proporcjonalności σprop . W wielu opracowaniach i normach przyjmuje we wzorze Johnsona– sie֒ np. dla metali σt = 21 σo ; przy takim napreżeniu, ֒ ∗ /dλ w punkcie Ostenfelda spelniony jest postulat ciag lości pochodnej dσKr ֒ polaczenia z hiperbola֒ Eulera. ֒ W przypadku gdy σt 6= σprop , smuklość graniczna֒ odpowiadajac ֒ a֒ napreżeniu σt obliczymy podobnie jak λgr dla napreżenia σprop (11.38) ֒ ֒ λt = π r E . σt W tablicy 11.4, dla wybranych materialów konstrukcyjnych, podano modul spreżystości E oraz napreżenia graniczne15 σprop , σo , które moga֒ być ֒ ֒ uwzgledniane przy wyznaczaniu smuklości λgr lub λt oraz wspólczynników we ֒ wzorach (11.41), (11.42), (11.43). 15 Tablice֒ opracowano na podstawie danych z pracy Arvo Ylinena: A Method of Determining ... 2005/6/16 page 559 559 11.3. UTRATA STATECZNOŚCI UKLADÓW PRȨTOWYCH Tabela 11.4. Material Drewno sosnowe Stop magnezowo-aluminiowy Stal St 37 Stal St52 Beton E σprop σo MPa 12500 46000 210000 210000 25000 MPa 16 50 192 288 50 MPa 45 100 240 360 280 σprop σo 0,36 0,5 0,8 0,8 0,18 11.3 Utrata stateczności ukladów prȩtowych 11.3.1 Prety z podatnymi podporami ֒ λgr 87,8 95,2 103,8 84,8 70,2 Idealnie sztywne zamocowanie ściskanego preta (np. idealnie sztywne utwier֒ dzenie) rzadko spotykane jest w konstrukcjach rzeczywistych. Bardzo czesto ֒ taki pret a֒ zlożonego ukladu ramowego i wtedy, przy oblicza֒ jest np. cześci ֒ niu sily krytycznej PKr , należy uwzglednić podatność polaczenia w punktach ֒ ֒ wez lowych lub podatność podpór. Przyk ladowo, na rysunku 11.28 przedsta֒ wiono osiowo ściskany pret B po wyboczeniu po֒ AB, dla którego w weźle ֒ 16 jawi sie֒ poprzeczna sila S wynikajaca z oddzia lywania rozci agliwego ciegna ֒ ֒ ֒ BC lub BD. Zakladajac, o przekroju poprzecznym A1 , wykonane sa֒ ֒ że ciegna ֒ z materialu liniowo spreżystego, możemy napisać: S = c1 ·wB (rysunek 11.28), ֒ gdzie wB = w(l) jest poziomym przemieszczeniem wez ֒ la B. Wspólczynnik podatności c1 może być wyznaczony ze wzoru na wydlużenie jednego ciegna ֒ (preta) ֒ ∆BC = wB = Sb E1 A1 ⇒ c1 = E1 A1 . b Uwzgledniaj ac i zamocowania preta AB możemy zapisać ֒ ֒ sposób obciażenia ֒ ֒ jego równanie różniczkowe linii ugiecia ֒ EJw′′ = P [wB − w(x)] − S(l − x), 16 Określenie ”ciegno” stosować bedziemy do bardzo cienkiego preta, drutu lub nici, a wiec ֒ ֒ ֒ ֒ elementów, które przenosić moga֒ duże sily rozciagaj ace; takie elementy nie moga֒ być ściskane ֒ ֒ ani zginane. # # 2005/6/16 page 560 560 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... albo w′′ = c1 wB P [wB − w(x)] − (l − x), EJ EJ oraz odpowiednie warunki brzegowe: w′ (0) = 0, w(0) = 0, w(l) = wB . Wprowadzajac ֒ takie samo oznaczenie jak (11.10) 0110 10 P E A E A 1 1 1 1 B D C b 0110 1 0 0 10 1 0 1 P c1 fsf1x1 P S= c wB 1 B’ B wB l f sf1x1 a) 11 00 00 11 A EJ x y 11 00 00 11 x A b) c) Rysunek 11.28 11 00 00 11 w(x) P , EJ oraz uwzgledniaj ac ֒ ֒ warunki brzegowe, po odpowiednich przeksztalceniach otrzymujemy nastepuj ace równanie przestepne ֒ ֒ ֒ k2 = α sin(kl) + (kl)2 − α cos(kl) = 0, kl (11.44) gdzie bezwymiarowy wspólczynnik α zależny jest od stalych materialowych oraz wymiarów ciegna i ściskanego preta: ֒ ֒ α= c1 l3 E1 A1 l3 = . EJ E J b Równanie (11.44), przy zalożeniu, że α 6= 0 oraz cos(kl) 6= 0, może też być zapisane w prostszej formie tg(kl) = kl − 1 (kl)3 , α 2005/6/16 page 561 11.3. UTRATA STATECZNOŚCI UKLADÓW PRȨTOWYCH 561 skad dowolna֒ metoda֒ przybliżona֒ obliczymy sile֒ eulerowska,֒ a wiec ֒ ֒ sile֒ krytyczna֒ odpowiadajac przez bifurkacje. ֒ a֒ utracie stateczności preta ֒ ֒ Przykladowo, dla α = 1 bedziemy mieli ֒ kl = l r P = 1, 809; EJ skad ֒ PKr = PE = EJ π 2 EJ 2 (1, 809) = . l2 (1, 736 l)2 Porównujac powyższy wzór z (11.19), określimy wartość wspólczynnika ֒ dlugości wyboczeniowej µ = 1, 736 (dla α = 1). Ogólne wzory na wspólczynnik µ, uwzgledniaj ace wiele typowych przypadków ֒ ֒ liniowej podatności podpór, podaje M. Życzkowski [11]. W zakresie wyboczenia niespreżystego (gdy λ < λgr ), dla pretów z pod֒ ֒ porami podatnymi, moga֒ być wykorzystywane podobne aproksymacje jak dla innych przypadków prostych. Stosujac ֒ jednak wzory aproksymacyjne (np. równanie Tetmajera—Jasińskiego (11.41) lub Johnsona—Ostenfelda (11.42)) należy wcześniej wyznaczyć sile֒ eulerowska֒ PE i wspólczynnik dlugości wyboczeniowej µ (11.20), a w dalszej kolejności smuklość λ (11.36) (zob. przyklad 11-5). W normach budowlanych podawana jest szacunkowa wartość wspólczynnika dlugości wyboczeniowej µ (zob. tabela 11.2) lub dokladniejsza metoda wyznaczania dlugości zredukowanej na podstawie odpowiednich nomogramów (np. w normie PN-90/B-03200). 11.3.2 Ramy, kraty Analityczne obliczenie sily krytycznej ukladów pretowych możliwe jest jedy֒ nie dla prostych konstrukcji ramowych lub kratowych. W obliczeniach bardziej zlożonych zagadnień (rozlegle konstrukcje mostowe, szkielety budynków, itp.) stosowane sa֒ dzisiaj powszechnie metody komputerowe, a w szczególności Metoda Elementów Skończonych. Rozważajac ֒ tego rodzaju przypadki należy mieć na uwadze dwa różne problemy: a) globalna֒ utrate֒ stateczności calej konstrukcji, # # 2005/6/16 page 562 562 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... P f s1x12 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 l h a) 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 h fs1x12 11111 00000 00000 11111 b) c) Rysunek 11.29 b) lokalne zjawisko utraty stateczności poszczególnych elementów tej konstrukcji. Przykladem może być kolumna wykonana z dwóch ceowników polaczonych ֒ prostymi wzmocnieniami jak na rysunku 11.29a. Utrata stateczności może tu być zwiazana ze schematem wyboczenia preta jednostronnie utwierdzonego ֒ ֒ (zob. opis do rysunku 11.22, str. 545), lub też ze zjawiskiem lokalnego wyboczenia na odcinku miedzy laczeniami jak na rysunku 11.29c. ֒ ֒ W wielu przypadkach obciażenie krytyczne lub dopuszczalne calego ukladu ֒ pretowego daje si e latwo wyznaczyć przez rozdzielenie tego ukladu na ele֒ ֒ menty proste. Przykladowo, dla ukladu ramowego z rysunku 11.30a, rozważyć możemy osobno zginanie belki BD (rysunek 11.30d) oraz ściskanie (wyboczenie) preta (rysunek 11.30b) AB, dla którego w przegubie A uwzglednić ֒ ֒ należy podatność spreżystego polaczenia z elementem belkowym AC (zob. ֒ ֒ przyklad 11-4). Dopuszczalne obciażenie qdop może wiec być określone ֒ ֒ nastepuj aco ֒ ֒ qKr , qdop = min qwb ; xw gdzie qwb = q (BD) wb jest obciażeniem dopuszczalnym policzonym dla zgi֒ (AB) nanej belki BD z warunku bezpieczeństwa, qKr = qKr jest obciażeniem ֒ wywolujacym wyboczenie preta AB, xw – jest to przyjety wspólczynnik bez֒ ֒ ֒ pieczeństwa. 2005/6/16 page 563 563 11.4. KRYTERIA BEZPIECZEŃSTWA 01 10 10 q B 1 0 0 1 111 000 000 111 D fsf1x2 l 1 0 0 1 0 1 P=q .b/2 B f sf1x2 P RB ϕA l EJ 11 00 00 11 EJ2 A a) 11 00 00 11 b 11 00 00 11 b) c2 11 00 00 11 b A A e) w Mo= c2 ϕ ϕ D x c) q B d) 111 000 000 111 A C 11 00 00 11 A 11 00 00 11 Mo= c2 ϕ A 11 00 00 11 C b Rysunek 11.30 11.4 Kryteria bezpieczeństwa Uwzgledniaj ac osiowo ściskanego, warunek bez֒ ֒ możliwość wyboczenia preta ֒ pieczeństwa zapisany być może podobnie jak dla problemów czystego ściskania |σ|max = N 6 kw , A (11.45) gdzie kw = σdop jest napreżeniem dopuszczalnym z uwagi na wyboczenie, ֒ obliczanym jako iloraz napreżenia krytycznego Kw oraz wspólczynnika bezpie֒ czeństwa : kw = Kw . xw # # (11.46) Wspólczynnik bezpieczeństwa xw , który uwzglednia niedokladności ksztaltu ֒ preta, podatność podpór, nieosiowość obci ażenia i inne parametry imperfekcji ֒ ֒ — może być przyjmowany w przybliżeniu nastepuj aco ֒ ֒ # 2005/6/16 page 564 564 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... xw = 2 .. 4 - zadania statyczne xw = 6 .. 10 - zadania dynamiczne. # W przeciwieństwie do prostych przypadków rozciagania skrecania czy ֒ ֒ zginania, napreżenie krytyczne K nie jest sta l a materia low a i zależy od w ֒ ֒ ֒ smuklości preta λ, i tak: ֒ Kw = Kc , ∗ , Kw = σKr Kw = σE , 0 < λ 6 λo , – prety bardzo krótkie – zniszczenie ”materialowe”, ֒ λo 6 λ 6 λt , - prety krótkie (krepe) - wyboczenie niespreżyste, ֒ ֒ ֒ λ > λt , - prety d lugie (smuk le) wyboczenie spr eżyste, ֒ ֒ gdzie Kc jest napreżeniem krytycznym przy czystym ściskaniu (np.: Kc = |σo | ֒ lub Kc = |σu |), λo oznacza pewna֒ wartość smuklości, poniżej której można przyjać, że nie zachodzi niebezpieczeństwo wyboczenia, a pret ֒ ֒ ulega zniszczeniu gdy osiagni ete zostanie napreżenie na granicy plastyczności σo lub ֒ ֒ ֒ napreżenie σ ; dla metali można przyjmować λo ≈ 10 .. 20. Zniszczenie mau ֒ bardzo krótkie, λ 6 λ ) bywa niekiedy uwzgledniane gdy terialowe (prety o ֒ ֒ w zakresie wyboczenia niespreżystego wykorzystywany jest wzór Tetmajera– ֒ Jasińskiego (11.41) — rysunek 11.31a. W przypadku gdy stosujemy wzór Johnsona–Ostenfelda (11.42) lub Ylinena (11.43), odrebny opis zniszcze֒ nia materia lowego jest zb edny (ze wzgl edu na zerowanie si e֒ pochodnej ֒ ֒ ∗ ) — rysunek 11.31b. dσKr /dλ (λ→0) σ σ σ Kr σ o σ o TJ σ f 11x5nb t σ σ dop E λ λo σ (λ) t f11x5nb σ a) Kr λt b) λo Kr σ (λ) dop λ λt Rysunek 11.31 Warunek bezpieczeństwa (11.45), uwzgledniaj acy możliwość wyboczenia ֒ ֒ niespreżystego, stosowany jest w zasadzie tylko dla prostych przypadków ֒ osiowo ściskanych pretów pryzmatycznych. W bardziej zlożonych zagadnie֒ niach, np. dla obciażeń ciag niepryzmatycznych ֒ ֒ lych oraz dla dlugich pretów ֒ 2005/6/16 page 565 565 11.4. KRYTERIA BEZPIECZEŃSTWA czy ukladów pretowych, uogólnienie wzorów (11.41), (11.42), (11.43) może ֒ być obarczone dużym bledem. Obliczenia wykonywane sa֒ wtedy najcześciej ֒ ֒ w zakresie wyboczenia spreżystego, a obci ażenie dopuszczalne wyliczymy ֒ ֒ jako iloraz obciażenia krytycznego (eulerowskiego) i odpowiednio dobranego ֒ wspólczynnika bezpieczeństwa xw Pdop = PKr xw lub qdop = qKr xw . (11.47) Bardziej zlożone metody obliczeniowe (np. stosowane dla ściskanych elementów ram i krat) określane sa֒ empirycznie i opisywane w odpowiednich normach. 11.4.1 Metoda wspólczynnika zmniejszajacego ֒ Wg Polskiej Normy PN-90/B-03200 (Konstrukcje stalowe, obliczenia statyczne i projektowanie), w zakresie wyboczenia spreżystego i niespreżystego, sile֒ do֒ ֒ puszczalna֒ przy wyboczeniu, można obliczać ze wzoru σdop = N 6 ϕ kc , A (11.48) gdzie kc jest napreżeniem dopuszczalnym przy ściskaniu natomiast ֒ wspólczynnik zmniejszajacy ϕ nazywany jest w normie wspólczynnikiem nie֒ stateczności ogólnej (0 < ϕ 6 1). Wspólczynnik ϕ zależny jest od smuklości λ, oraz dodatkowo od parametru imperfekcji n ϕ = ϕ(λ, n) = 1 + λ gdzie smuklość wzgledna ֒ λ= 2n −1/n λ λp , # (11.49) # (11.50) odnoszona jest do smuklości porównawczej s π E λp = . 1, 15 σprop Wystepuj acy we wzorze (11.49) uogólniony parametr imperfekcji preta n ֒ ֒ ֒ uzależniony jest w normie od ksztaltu przekroju poprzecznego, technologii wytwarzania (spawanie, walcowanie) i obróbki cieplnej (wyżarzanie odpreżaj ace ֒ ֒ # 2005/6/16 page 566 566 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Tabela 11.5. ϕ λ = λ/λp n = 2.0 n = 1.2 0.00 1.000 1.000 0.20 0.999 0.983 0.40 0.987 0.916 0.60 0.941 0.807 0.80 0.842 0.681 1.00 0.707 0.561 1.20 0.570 0.459 1.40 0.454 0.375 ϕ λ = λ/λp n = 2.0 n = 1.2 1.60 0.364 0.309 1.80 0.295 0.257 2.00 0.243 0.216 2.20 0.202 0.184 2.40 0.171 0.158 2.60 0.146 0.137 2.80 0.127 0.119 3.00 0.110 0.105 element rurowy okrag ֒ ly lub prostokatny bez ֒ napreżeń spawalniczych ֒ 22 xw 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 ff1xw21 000 111 000 111 1111 0000 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 0000 1111 000 111 000 111 0000 1111 0000 1111 000 0000111 1111 000 111 n = 1.2 ff1 n = 2.0 elementy o przekroju pelnym lub otwartym po spawaniu). W tablicy 11.5 podano cytowane w normie wybrane wartości wspólczynnika ϕ dla dwóch różnych parametrów imperfekcji: n = 2, 0 oraz n = 1, 2. 11.5 Przyklady PRZYKLAD 11-1(S,SN). Jednostronnie utwierdzony pret ֒ o przekroju prostokata o wymiarach b × h i d lugości l jest ściskany si l a osiow a֒ P — ry֒ ֒ sunek 11.32. Obliczyć sile֒ krytyczna֒ PKr dla dwóch różnych dlugości preta ֒ l = l1 oraz l = l2 . Obliczenia wykonać dla danych: b = 10 mm, h = 20 mm, l1 = 20 cm, l2 = 10 cm, E = 2 · 105 MPa, σo = 250 MPa, σprop = 195 MPa. ROZWIAZANIE ֒ Obliczajac ֒ sile֒ krytyczna֒ PKr należy wcześniej sprawdzić w jakim zakresie pret ֒ utraci stateczność. Wyznaczmy wiec ֒ smuklość pierwszego i drugiego preta oraz smuk lość graniczn a (11.38). Przyjmuj ac ֒ ֒ ֒ wspólczynnik wyboczeniowy µ = 2 (wg tablicy 11.2), bedziemy mieli ֒ 2005/6/16 page 567 567 11.5. PRZYKLADY P fsf2x1 h l x a) λ1 = 111 000 000 111 f sf2x1 y b) 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 z y b Rysunek 11.32 µl1 2 · 0, 2 µl2 2 · 0, 1 = = 138, 6; λ2 = = = 69, 3; imin 0, 0029 imin 0, 0029 r s E 2 · 1011 = 100, 6 , = λgr = π σprop 1.95 · 108 gdzie promień bezwladności imin obliczono ze wzoru (11.35): A = b · h = 0, 01 · 0, 02 = 2 · 10−4 [m2 ], 0, 01 · (0, 02)3 hb3 = = 1, 7 · 10−9 [m4 ], 12 12 r r Jmin 1, 7 · 10−9 imin = = = 0, 0029 [m]. A 2 · 10−4 Jak widzimy, tylko smuklość pierwszego preta λ1 jest wieksza od smuklości ֒ ֒ granicznej λgr , a wiec tylko dla pierwszego pr eta możemy zastosować wzór ֒ ֒ Eulera Jmin = PE1 = PKr1 = π 2 · 2 · 1011 · 1, 67 · 10−9 π 2 EJmin = = 20562 [N]. lr2 (2 · 0, 2)2 (11.51) Sila krytyczna drugiego preta PKr2 może być wyznaczona ze wzorów stosowa֒ nych w zakresie wyboczenia niespreżystego (λ2 < λgr ), np. wzoru Tetmajera ֒ – Jasińskiego (11.41) σ = σ∗ = Kr PKr A = a − bλ. 2005/6/16 page 568 568 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Wspólczynniki materialowe a, b dobierzemy tak aby spelnione byly nastepuj ace warunki (zob. rysunek 11.27): ֒ ֒ σ(0) = σo oraz σ(λgr ) = σprop , skad ֒ a − b · 0 = σo a = σo = 250 [MPa] oraz a − bλgr = σprop , b= σo − σprop λgr = 0, 547 [MPa]. Po odpowiednich podstawieniach otrzymujemy PKr2 = A(a−bλ2 ) = 2·10−4 (250·106 −0, 547·106 ·69, 3) = 42425 [N]. (11.52) PRZYKLAD 11-2(S,SN). W zadaniu z przykladu 11-1 obliczyć dodatkowo sile֒ dopuszczalna֒ Pdop . Wyniki porównać z sila֒ dopuszczalna֒ obliczona֒ metoda֒ wspólczynnika zmniejszajacego (11.50) — wg PN-90/B-03200. Do ֒ obliczeń przyjać ֒ wspólczynnik bezpieczeństwa xw = 2, 5. ROZWIAZANIE ֒ Uwzgledniaj ac wspólczynnik bezpieczeństwa, sile֒ dopuszczalna֒ ֒ przyjety ֒ ֒ wyznaczymy ze wzoru (11.47) Pdop = PKr xw , gdzie PKr jest obliczona֒ wcześniej sila֒ krytyczna֒ (11.51) lub (11.52). Tak wiec ֒ dla pretów o dlugościach l1 = 20 cm i l2 = 10 cm bedziemy odpowiednio mieli: ֒ ֒ PKr1 20562 = 8224,8 [N] - ze wzoru Eulera, xw 2, 5 P 42425 = 16970, 0 [N] - ze wzoru Tetmajera–Jasińskiego. Pdop2 = Kr2 = xw 2, 5 (11.53) Sile֒ dopuszczalna֒ Pdop można też obliczyć metoda֒ wspólczynnika wyboczeniowego, a wiec ֒ metoda֒ określona֒ np. w polskiej normie PN-90/B-03200. Pdop1 = = 2005/6/16 page 569 569 11.5. PRZYKLADY Dla preta pierwszego (dluższego) i drugiego (krótszego) zastosujemy wtedy ֒ ten sam wzór (11.48) Pdop 6 ϕkc ⇒ Pdop = ϕkc A, (11.54) A gdzie wspólczynnik wyboczeniowy (zmniejszajacy) ϕ jest określony wzorem ֒ (11.49) ϕ = ϕ(λ, n) = 1 1+λ 2n 1/n , (11.55) Uogólniony parametr imperfekcji n przyjmiemy dla preta o przekroju pelnego ֒ prostokata: n = 1, 2 (zob. tabela 11.5). Napreżenie dopuszczalne kc obli֒ ֒ czymy jako iloraz granicy plastyczności σo = 250 MPa i wspólczynnika bezpieczeństwa xw = 2, 5 kc = 250 σo = 100 [MPa]. = xw 2, 5 λ (11.50), wspólczynnik wyboczeniowy ϕ (11.55) oraz sila Smuklość wzgledna ֒ dopuszczalna Pdop (11.54) pierwszego i drugiego preta bed ֒ ֒ a֒ wiec ֒ odpowiednio równe: 138, 6 λ1 = = 1, 58; λp 87, 49 ϕ1 = 0, 314; 69, 3 = 0, 79; 87, 49 ϕ2 = 0, 686; Pdop1 = 6 280, 0 [N]; Pdop2 = 13 724, 5 [N]. λ1 = λ2 = Znaczne różnice w wartościach sil dopuszczalnych Pdop1 , Pdop2 , w stosunku to sil obliczonych ze wzoru Eulera czy Tetmajera–Jasińskiego (11.53), wynikaja֒ z niekorzystnego wspólczynnika imperfekcji n = 1, 2. W przypadku, gdyby przekrój poprzeczny preta byl pierścieniowy, walcowany, wtedy ֒ można przyjać ֒ n = 2 (zob. tabela 11.5), a po odpowiednich przeliczeniach (zakladajac, że przekrój A i moment bezwladności Jmin jest taki sam jak dla ֒ preta o przekroju prostokata) mielibyśmy: ֒ ֒ λ1 = 1, 58; λ2 = 0, 79; ϕ1 = 0, 37; ϕ2 = 0, 85; Pdop1 = 7 406, 0 [N]; Pdop2 = 16 944, 0 [N]. 2005/6/16 page 570 570 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... PRZYKLAD 11-3(S). Wyznaczyć pokrytyczna֒ charakterystyke֒ wmax = wmax (P ) preta ściskanego zamocowanego dwuprzegubowo, jak na ry֒ sunku 11.33. Material preta jest liniowo spreżysty. W obliczeniach ֒ ֒ uwzglednić przemieszczenie górnej podpory δ zwi azane z wygi eciem preta (nie ֒ ֒ ֒ ֒ uwzgledniamy skrócenia osi pr eta na skutek ściskania si l a P ). Zastosować ֒ ֒ ֒ ′′ EJw = −M uproszczone równanie różniczkowe linii ugiecia: g. ֒ 01 1010 P B δ ff11x19 l w(x) EJ fsf2x2 ds x ff11x19 A 111 000 000 111 w dx x y y w max Rysunek 11.33 dw Rysunek 11.34 ROZWIAZANIE ֒ Wyprowadzajac zamocowanego ֒ wcześniej wzór na sile֒ krytyczna֒ preta ֒ dwuprzegubowo — rysunek 11.17 — analizowano równanie różniczkowe linii ugiecia (11.9) (str. 541). W tej samej formie zapiszemy równanie i odpowied֒ nie rozwiazanie dla preta z rysunku 11.33: ֒ ֒ ′′ w + k2 w = 0, w = w(x) = C1 sin kx + C2 cos kx, gdzie k2 = P . EJ (11.56) 2005/6/16 page 571 571 11.5. PRZYKLADY Stale calkowania C1 , C2 należy jednak tak dobrać aby uwzglednia ly pionowe ֒ przemieszczenie δBx = δ wez la podpory przesuwnej — rysunek 11.33. Warunki ֒ brzegowe zapiszemy wiec aco ֒ nastepuj ֒ ֒ 1. w(0) = 0, ⇒ 2. w(l − δBx ) = 0 ⇒ C2 = 0, C1 sin[k(l − δ)] = 0. Z drugiego warunku, przy C1 6= 0 mamy k(l − δ) = nπ, (11.57) gdzie przyjmiemy n = 1 (dla pierwszej formy wyboczenia), a wtedy π . (11.58) k Podstawiajac ֒ tu: δ = 0, otrzymamy wzór na sile֒ krytyczna֒ (Eulerowska) ֒ (11.15), natomiast dla zmiennej sily P bedzie ֒ δ =l− δ=0 δ =l−π r EJ P dla P 6 PKr , dla P > PKr . Zakladajac, że dlugość wygietej w luk belki nie zmienia sie֒ (belka nie ֒ ֒ ulega skróceniu na skutek dzialania ściskajacej sily wewnetrznej N = −P ), ֒ ֒ przemieszczenie δ wyliczymy z równania (11.21) 1 δ= 2 Zl−δ (w′ )2 dx. 0 Podstawiajac ֒ dalej w′ = d [C1 sin(kx)] = C1 k cos(kx), dx dostajemy 1 δ= 2 Zl−δh 0 i2 1 l−δ 1 2 2 1 C1 k cos(kx) dx = C1 k sin(2kx) + x , 2 4k 2 0 1 δ = C12 k 2 1 1 sin[2k(l − δ)] + k(l − δ) . 4 2 2005/6/16 page 572 572 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Uwzgledniaj ac ֒ (11.58), podstawimy tu: δ = l − π/k ֒ 1 2 1 1 π sin(2π) + π = l − = C1 k k 2 4 2 oraz (l − δ) = π/k 1 2 C kπ, 4 1 skad ֒ C1 = wmax 2 = k r kl − 1. π Majac ֒ na uwadze definicje֒ wspólczynnika k (11.56) oraz wzór na sile֒ krytyczna֒ PKr (11.15), bezwymiarowe ugiecie maksymalne zapiszemy nastepuj aco ֒ ֒ ֒ vs r u 2 PKr u P wmax t = − 1. l π P PKr Wykres wmax = wmax (P ) przedstawiono na rysunku 11.35a. w ’’ f 11x5 = 3/ P P (1+w’ 2 ) 2 C1=0 C =0 / =w’’ 1 P P E f11x5 E wmax a) δ Bx =0 / b) C1=0 wmax δ Bx =0 Rysunek 11.35 Należy tu dodać, że otrzymane wyniki sa֒ jedynie rozwiazaniem przy֒ bliżonym. W przypadku gdy krzywizne֒ osi preta κ = κ(x) opiszemy ścislym ֒ wzorem (11.17), wtedy rozwiazanie odpowiedniego równania różniczkowego ֒ wyraża sie֒ przez calki eliptyczne (takie rozwiazanie omówiono w monografii ֒ [4]), a maksymalne ugiecie w jest dwukrotnie wi eksze (rysunek 11.35a). max ֒ ֒ PRZYKLAD 11-4(S). Spreżysta rama ABC jest zamocowana dwuprzegu֒ bowo i obciażona sila֒ P jak na rysunku 11.36. Obliczyć sile֒ krytyczna֒ PKr . ֒ Dane: wymiar l, sztywność zginana ramion ramy: EJ1 , EJ2 . Uwaga: zalożyć, że spelniony jest warunek λ > λgr . 2005/6/16 page 573 573 11.5. PRZYKLADY P f 11x8a y A’ A x EJ 2 l f11x8a 00 11 EJ 1 B 00 11 Rysunek 11.36 C 11 00 ROZWIAZANIE ֒ Sile֒ krytyczna֒ PKr obliczymy rozdzielajac ֒ rame֒ na dwa uklady belkowe jak na rysunku 11.37, tj. na belke֒ ściskana֒ sila֒ osiowa, zamocowana֒ na podatnej podporze B (rysunek 11.37a), oraz belke֒ dwuprzegubowa֒ obciażon a֒ ֒ momentem skupionym Mo (rysunek 11.37b). Po przekroczeniu sily krytycznej, gdy nastapi wyboczenie calego ukladu, kat ֒ ֒ obrotu na podporze B jest taki sam dla pierwszej i drugiej belki, ϕB = ϕB1 = ϕB2 i zależy od momentu Mo = P · fA , gdzie fA jest poziomym przemieszczeniem w miejscu przylożenia P f 11x8b A f11x8b Mo l a) B b) S B 1111 0000 11 00 00 11 C l 111 000 Rysunek 11.37 sily P - rysunek 11.38a. Zależność pomiedzy momentem Mo oraz katem ϕB ֒ ֒ latwo jest wyprowadzić rozwiazuj ac równanie różniczkowe linii ugi ecia belki ֒ ֒ ֒ dwuprzegubowej (rysunek 11.38b). Funkcje linii ugiecia w(x ) i k ata ugiecia 2 ֒ ֒ ֒ w′ (x2 ) = ϕ(x2 ) moga֒ być zapisane nastepuj aco ֒ ֒ 1 Mo l2 w2 (x2 ) = 6 EJ2 x32 x − 2 l3 l ! , 1 Mo l ϕ2 (x2 ) = 6 EJ2 3 x22 l2 ! −1 . 2005/6/16 page 574 574 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... Na podporze B, a wiec ֒ dla x2 = l, mamy 1 l · Mo = d · Mo , 3 EJ2 gdzie d oznacza wspólczynnik podatności ϕB = |ϕ2 (l)| = d= l . 3EJ2 f A f 11x8c P w(x ) 1 x 1 a) f11x8c ϕ x 1111 0000 0000 1111 1 Mo w(x ) 2 B y b) 1 R y 2 x 2 B2 R C2 Rysunek 11.38 Zapisujac AB w polożeniu wychylonym ֒ teraz równanie równowagi preta ֒ (rysunek 11.38a) otrzymujemy h i ′′ EJw = P f − w(x1 ) , A albo f P w= A, EJ EJ gdzie fA jest przemieszczeniem poziomym swobodnego końca preta. ֒ Rozwiazaniem tego równania jest funkcja ugi ecia ֒ ֒ ′′ w + w = w(x1 ) = C1 sin(kx1 ) + C2 cos(kx1 ) + fA , gdzie k zdefiniujemy tak samo jak (11.10) P . EJ1 Wykorzystujac ֒ dalej trzy warunki brzegowe k2 = 2005/6/16 page 575 575 11.5. PRZYKLADY a) w(0) = 0, c) w′ (0) b) w(l) = fA , 1 l · P · fA , = ϕB = d · Mo = 3 EJ2 dostajemy: C1 = P · fA l 1 · , 3EJ2 k C2 = −fA , oraz 3EJ2 3EJ2 k = p . Pl l P EJ1 tg(kl) = Zakladajac ֒ np., że J1 = J2 = J, ostatnie równanie może być sprowadzone do postaci kl tg(kl) = 3, skad ֒ dowolna֒ metoda֒ przybliżona֒ wyliczymy sile֒ krytyczna֒ kl = 1, 192 = π 2, 634 ⇒ PKr = PE = π 2 EJ . (2, 634l)2 (11.59) PRZYKLAD 11-5(SN). W zadaniu z przykladu 11-4 obliczyć sile֒ krytyczna֒ PKr , przy zalożeniu, że pret ֒ jest krótki (λ < λgr ); zastosować dowolna֒ ∗ (λ). Dane: jak w przykladzie 11-4 oraz funkcje֒ aproksymacyjna֒ σKr = σKr przekrój poprzeczny A1 preta AB, EJ1 = EJ2 = EJ, granica plastyczności ֒ σo , granica proporcjonalności σprop . ROZWIAZANIE ֒ Sile֒ krytyczna֒ krótkiego preta zamocowanego i obciażonego jak ֒ ֒ na rysunku 11.36 wyznaczyć możemy stosujac np. wzór Johnsona– ֒ Ostenfelda (11.42) PKr = a2 − b2 λ2 . A Stale materialowe a2 , b2 wyznaczymy z warunków: σKr = σKr (0) = 0, oraz σKr (λgr ) = σprop , 2005/6/16 page 576 576 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... skad ֒ a2 = σo , σo − σprop b2 = λ2 . gr Smuklość preta oraz smuklość graniczna֒ określaja֒ wzory (11.36) oraz (11.40). ֒ Wspólczynnik dlugości wyboczeniowej µ, oraz dlugość zredukowana lr wynika z wyprowadzonego wcześniej wzoru na sile֒ Eulerowska֒ (11.59) µ = 2, 634, lr = 2, 634 l. Tak wiec ֒ λgr = 2π s E σprop , λ = lr r A1 , J oraz PKr σ − σ A1 o prop = A1 σo − (2, 634 l)2 . J λ2 gr PRZYKLAD 11-6(S). Obliczyć sile֒ krytyczna PKr pryzmatycznego preta ֒ zamocowanego dwuprzegubowo i obciażonego sila֒ przylożona֒ w polowie jego ֒ dlugości jak na rysunku 11.39a. Dane: dlugość l, sztywność zginana EJ. Obliczenia wykonać w zakresie deformacji spreżystej. ֒ B l/2 0110 10 RB f sf3x4ab w x1 f x2 P C P l/2 fsf3x4ab 00 11 R A a) 00 11 b) Rysunek 11.39 Ay R Ax 2005/6/16 page 577 577 11.5. PRZYKLADY ROZWIAZANIE ֒ Na rysunku 11.39b przedstawiono linie֒ ugiecia preta po wyboczeniu. Za֒ ֒ znaczone reakcje bed ֒ a֒ odpowiednio równe f f , RBx = P · . l l Równanie różniczkowe linii ugiecia należy zapisać w dwóch przedzialach ֒ RAx = P, RAy = P · EJw1” = −Mg1 , oraz EJw2” = −Mg2 , gdzie funkcje momentów zginajacych moga֒ być określone nastepuj aco ֒ ֒ ֒ Mg1 = RB x1 = P fl x1 dla 0 6 x1 6 2l , Mg2 = RB ( 2l + x2 ) − P (f − w2 ) dla 0 6 x2 6 2l . 2 Wprowadzajac ֒ dodatkowo oznaczenie k = różniczkowe: w1” = − P EJ , otrzymujemy dwa równania k2 f x1 , l k2 f x2 − 12 l , l a po ich przecalkowaniu dwie funkcje przemieszczenia: w2” + k2 w2 = − k2 f x31 + C 1 x1 + C 2 , l 6 f l w2 = C3 sin(kx2 ) + C4 cos(kx2 ) − x2 − . l 2 w1 = − Cztery stale calkowania C1 ..C4 wyznaczymy z nastepuj acych warunków brze֒ ֒ gowych 1. w1 (0) = 0 2. w1 ( 2l ) = f 3. w2 (0) = f 4. w2 ( 2l ) = 0 ⇒ C2 = 0, 2f k2 f l ⇒ C1 = + , l 24 1 ⇒ C4 = f, 2 1 f ⇒ C3 = − 2 kl . tg 2 Sile֒ krytyczna֒ PKr obliczyć można z warunku ciag ugiecia ϕ = w′ ֒ lości kata ֒ ֒ na granicy przedzialów (w miejscu przylożenia sily skupionej P ) 2005/6/16 page 578 578 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... w1′ ( 2l ) = w2′ (0), k2 f 1 − l 2 2 f l + C1 = C3 k cos(0) − C4 k sin(0) − , 2 l skad ֒ 3 kl kl 2 tg = 2 2 9 − ( kl 2) ⇒ oraz P = PKr = 18, 7 kl l = 2 2 r P = 2, 16, EJ π 2 EJ EJ = . 2 l (0, 73 l)2 Wspólczynnik dlugości wyboczeniowej wynosi wiec ֒ µ = 0, 73. PRZYKLAD 11-7(S). W zadaniu z przykladu 11-5 obliczyć przybliżona֒ ∗ metoda energetyczna. wartość sily krytycznej PKr ֒ ֒ l/2 0110 10 x C l/2 ROZWIAZANIE ֒ Metode֒ energetyczna֒ wyznaczania sily krytycznej opisano na stronach 548 - 552. Funkcje֒ aproksymacyjna֒ wo przyjmiemy jako pólfale֒ sinusoidy w fsf2x3 B f x , wo = f sin π l P gdzie f jest maksymalnym przemieszczeniem: f = wmax = wo (l/2) — rysunek 11.40. Prace֒ sil zewnetrznych Lz i wewnetrznych Lw obli֒ ֒ czymy ze wzorów (11.23), (11.25)b: 11 00 00 11 A Rysunek 11.40 1 Lz = P 2 Zl l/2 (wo′ )2 dx 1 π2 = P 2 f2 2 l Zl l/2 x cos2 π dx, l 1 π2 2 l x 1 l Lz = P 2 f sin(2π ) + x = 2 l 4π l 2 l/2 π2f 2P , 8l 2005/6/16 page 579 579 11.6. ZADANIA 1 Lw = 2 Zl EJ(wo′′ )2 dx 1 π4 = EJf 2 4 2 l Zl 0 l Lw = x dx = sin π l 2 π 4 EJf 2 . 4l3 Porównujac i wewnetrznych (11.27), znajdujemy sile֒ ֒ prace֒ sil zewnetrznych ֒ ֒ krytyczna֒ ∗ P = PKr = 11.6 2π 2 EJ EJ = 19, 7 2 . l2 l Zadania 11-1 (S) Nieodksztalcalny pret jest ze spreżyst a֒ belka֒ BC ֒ ֒ AB polaczony ֒ i obciażony osiow a si l a P — jak na rysunku 11.41. Obliczyć si l e ֒ ֒ ֒ ֒ krytyczna֒ PKr (porównaj temat przykladu 11-4). Dane: sztywność zginania EJ2 belki BC, wymiar l. P A f 11x13a 8 EJ 1 l f11x13a 11 00 00 11 B EJ2 l 11 00 00 11 C Rysunek 11.41 11-2 (S) Wyznaczyć sile֒ krytyczna֒ w zadaniu 11-1 dla trzech różnych sposobów obciażenia dźwigni AB, przedstawionych na rysunku 11.42. Dane: ֒ wymiary a, r, l. 11-3 (S-N) Nieodksztalcalny pret sila֒ osiowa֒ P . Dolny ֒ AB jest obciażony ֒ koniec preta jest przegubowo zamocowany do podloża i polaczony ze spreżyn a֒ ֒ ֒ ֒ 2005/6/16 page 580 580 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 01 10 10 P a A l r P f 11x13b a A P A’ Q l l f11x13b 0000 1111 1111 0000 1111 0000 0000 1111 S 0000 1111 B a) 0000 1111 B b) c) Rysunek 11.42 S — rysunek 11.43. Wyznaczyć sile֒ krytyczna֒ PKr oraz zależność kata wy֒ chylenia preta ϕ od sily P po utracie stateczności. Rozważyć nastepuj ace ֒ ֒ ֒ charakterystyki spreżyny: ֒ a) charakterystyka liniowa: M = cϕ, (porównaj 11-1), zadanie M n M + ; n > 1, b) charakterystyka potegowa typu: ϕ = ֒ c c1 c) charakterystyka potegowa typu: M = cϕ + c2 ϕn ; n > 1, ֒ gdzie: M jest momentem dzialajacym na spreżyn e, ֒ ֒ ֒ c, c1 , c2 , n - stale wspólczynniki. Narysować zależność P = P (ϕ). Zadanie rozwiazać dla malych ֒ katów wychylenia dr ażka ϕ. ֒ ֒ l 11 00 00 11 S 1 0 A Rysunek 11.43 f f11x15 P Q 1B 0 l ff11x15 EJ 8 ff11x14 P f f11x14 1 B 0 1 0 0 1 0 1 1 0 00 11 00 11 C S A Rysunek 11.44 11-4 (S) Nieodksztalcalny pret ֒ o dlugości l jest zamocowany przegubowo w punkcie A — rysunek 11.44 — i obciażony silami P i Q w punkcie B, przy ֒ czym sila Q jest znana i niezależna od sily P . Obrót preta w przegubie jest ֒ 2005/6/16 page 581 581 11.6. ZADANIA zwiazany z odksztalceniem liniowej spreżyny S o sztywności c (M = cϕ). Przy ֒ ֒ obciażeniu pr eta niewielk a si l a P jest on utrzymywany w równowadze przez ֒ ֒ ֒ ֒ zderzak C. Badajac ֒ równowage֒ ukladu w polożeniu wychylonym, wyznaczyć charakterystyke֒ P = P (ϕ), gdzie ϕ oznacza kat Przepro֒ wychylenia preta. ֒ wadzić analize֒ otrzymanych wyników pod katem oszacowania si ly krytycznej ֒ ukladu PKr . 11-5 (S) Wyznaczyć sile֒ krytyczna֒ PKr ukladów pretowych, zlożonych ֒ z elementów odksztalcalnych o sztywności zginania EJ oraz nieodksztalcalnych (E → ∞), przedstawionych na rysunku 11.45. D0 1 00B 11 a a) P l 11 00 1 0 00 11 a 11 00 00 11 1 0 EJ l A 00 ff11x161 11 00 11 11 00 00 11 1 0 EJ 11 00 EJ 8 EJ 1B 0 8 C f f11x161 C P E A b) D 00 11 Rysunek 11.45 0110 10 P 1 0 l f f11x162 P EJ ff11x162 00 11 11 00 00 11 11 00 l EJ 1 0 a) 1 0 8 11-6 (S) Wyznaczyć wartość sily krytycznej spreżystych pretów ֒ ֒ obciażonych jak na rysunku 11.46. Sztywność EJ oraz d lugość l s a dane. ֒ ֒ 00 11 00 11 11111 00000 a=l EJ 11 00 b) 00 11 00 11 1111 0000 a=l Rysunek 11.46 11-7 (S) Wyznaczyć wartość sily krytycznej spreżystych pretów ֒ ֒ obciażonych jak na rysunku 11.47. Sztywność EJ oraz wymiary pr etów a, l ֒ ֒ sa֒ dane. 11-8 (S) Rozwiazać zadanie 11-7 metoda֒ różnic skończonych. ֒ 2005/6/16 page 582 582 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 1A 0 a A’ 1 0 11 00 00 11 00 11 P C’ C x A’ ff11x171 0000 1111 0000 1111 11 00 00 11 1B 0 a) P 0000 1111 0 1 0 1 0 A 1 0 1 0 1 l 0 1 0 1 0 1 0 B 1 0 1 111 b)000 0 1 P Py l r f f11x171 Rysunek 11.47 11-9 (S) Rozwiazać zadanie 11-7 metoda֒ energetyczna.֒ ֒ 11-10 (S) Pret sila֒ osiowa֒ P ֒ AB zamocowany przegubowo i obciażony ֒ podtrzymywany jest w środku przez nieodksztalcalna֒ belke֒ CD jak na rysunku 11.48. Obliczyć wartość sily krytycznej PKr , jeśli przekrój poprzeczny preta AB jest prostokatem o wymiarach b × h — rysunek 11.48b. Pret ֒ ֒ ֒ wykonany jest z materialu idealnie spreżystego, którego modu l Younga jest równy ֒ E. P b f f11x20 B 0110 10 ff11x20 0 1 0 1 EJ C 111 000 000 111 l/2 0 1 C h 8 l/2 D EJ b) A a) Rysunek 11.48 11-11 (S) Wyprowadzić równanie przestepne określajace obciażenie ֒ ֒ ֒ krytyczne PKr , dla preta obci ażonego si l a skierowan a do bieguna — rysu֒ ֒ ֒ ֒ nek 11.49a, oraz preta obci ażonego dwiema si lami jak na rysunku 11.49b. ֒ ֒ Dane: wymiary c, l oraz sztywność zginania pretów EJ. ֒ 11-12 (S) Wyznaczyć z warunku stateczności dopuszczalna֒ sile֒ Pdop , dla preta obciażonego jak na rysunku 11.50. Dane: wymiary l = 1 m, a = 1 cm, ֒ ֒ 2005/6/16 page 583 583 11.6. ZADANIA P ff1x3 000 111 111 000 EJ l c 000 111 a) 000 111 EJ 000 111 111 000 000 000 111 111 l f f1x3 P P l b) Rysunek 11.49 modul spreżystości E = 2 · 105 MPa, granica plstyczności σo = 250 MPA, ֒ granica proporcjonalności σprop = 200 MPa, wspólczynnik bezpieczeństwa xw = 3. 11-13 (S) Dobrać z warunku stateczności wymiar a, dla preta ֒ obciażonego jak na rysunku 11.51. Dane: wymiar l = 150 cm si la P = 100 kN, ֒ modul spreżystości E = 2 · 105 MPa, granica plstyczności σo = 200 MPA, ֒ granica proporcjonalności σprop = 150 MPa, wspólczynnik bezpieczeństwa xw = 2. P l a) 0110 10 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 f f1x6 ff1x6 11 00 00 11 a b) P 5a Rysunek 11.50 a 5a a a) 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 f f1x6b 5a a 5a 00 11 ff1x6b 00 11 b) a Rysunek 11.51 11-14 (S) Wyznaczyć sile֒ krytyczna֒ PKr pretów zamocowanych ֒ i obciażonych jak na rysunku 11.52. Dane: sztywność zginania EJ, wymiar ֒ preta l oraz parametr β = a/l. ֒ 11-15 (S) Obliczyć metoda֒ różnic skończonych sile֒ krytyczna֒ PKr preta ֒ o liniowo zmiennej średnicy, zamocowanego i obciażonego jak na rysunku ֒ 11.53. Dane sa:֒ średnice na końcach preta d , d , modu l spr eżystości E oraz 1 2 ֒ ֒ dlugość preta l. ֒ 2005/6/16 page 584 584 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... 01 10 10 1 0 11 1 00 0 0 1 0 1 P P B B 10 0 01 1 0 1 0 1 f f11x22a l 0 1 0 EJ 1 0 1 l 0 1 11 00 0 1 0 1 a 00 0 00 1 EJ 2EJ 11 0 11 1 A 11 00 00 1 A 01 1 a) P P 1 0 C a 11 00 10 0 01 1 0 1 a 0 1 11 0 1 000 1 0 B 1 0 1 0 1 l 0 1 1 EJ 0 0 1 0 1 11 00 0 A 1 C 1 0 0 1 0 1 ff11x22a 11 00 00 11 11 00 00 11 b) B l c) 00 EJ 11 1A 0 11 00 00 11 1 0 0 1 0 1 111 000 000 111 d) Rysunek 11.52 11-16 (S) Pryzmatyczny pret ֒ przegubowo zamocowany na swych końcach jest równomiernie nagrzewany — rysunek 11.54. Przyjmujac, iż podpory ֒ sa֒ niepodatne, obliczyć krytyczny przyrost temperatury ∆tKr , przy którym nastapi utrata stateczności preta. Pret ֒ ֒ ֒ wykonany jest z materialu idealnie spreżystego; sta le materia lowe nie zależ a ֒ ֒ od temperatury. Dane: wspólczynnik rozszerzalności liniowej µ, moment bezwladności Jmin oraz wymiary preta. ֒ x 111 000 000 111 B Rysunek 11.53 A ∆t l f f11x24a l 11 00 00 11 ff11x24a A f f11x23 EJy (x) 0110 10 ff11x23 P EJ 11 00 00 11 B Rysunek 11.54 11-17 (S) Dwa prety AB i CB o średnicy d polaczone sa֒ przegu֒ ֒ bowo i obciażone si l a P jak na rysunku 11.55. Uwzgl edniaj ac warunek wy֒ ֒ ֒ ֒ trzymalości dla preta rozci aganego i stateczności dla pr eta ściskanego, dobrać ֒ ֒ ֒ średnice֒ pretów d. Dane: wymiar l, k at α, si la P , modu l spreżystości E, ֒ ֒ ֒ granica plastyczności σo , wspólczynnik bezpieczeństwa xw . Uwaga: Zalożyć, że wyboczenie preta CB nastapi w zakresie deformacji liniowo spreżystych. ֒ ֒ ֒ 2005/6/16 page 585 585 11.6. ZADANIA 11-18 (S) Dwie belki AC oraz DE, o przekroju kolowym o średnicy d1 polaczone sa֒ lacznikiem BE o średnicy d2 — rysunek 11.56. Swobodny koniec ֒ ֒ belki AC obciażono sila֒ skupiona֒ P . Uwzgledniaj ac ֒ ֒ ֒ warunek bezpieczeństwa zginanych belek i warunek utraty stateczności lacznika, wyznaczyć sile֒ do֒ puszczalna֒ Pdop . Dane: wymiary l, d1 , d2 , modul spreżystości E, taki sam dla ֒ belek i lacznika, napreżenie dopuszczalne zginanych belek kg , wspólczynnik ֒ ֒ bezpieczeństwa xw . Uwaga: w obliczeniach zalożyć, że wyboczenie lacznika ֒ odbywa sie֒ w zakresie deformacji spreżystych. ֒ 01 1010 1010fsf3x5 10 P A C α f sf3x5 l B P Rysunek 11.55 A l B 11 00 00 11 00 11 C 1 0 ff11x25 0 1 0 1 0 1 D E f f11x25 l l Rysunek 11.56 ff11x26 11-19 (S) Dla spreżystych ram przedstawionych na rysunkach 11.57, 11.58 ֒ wyznaczyć obciażenie krytyczne PKr . Dane: wymiar l, sztywność zginania ֒ EJ. Uwaga: dla każdej ramy należy rozważyć dwie różne postaci utraty stateczności. P P P P 3l EJ f f11x26 EJ l 11 11 00 00 00 11 00 11 Rysunek 11.57 B C EJ 3 l 2 ff11x27 l 11 00 00 11 11 00 00 11 A D f f11x27 Rysunek 11.58 11-20 (S) Na rysunku 11.59 przedstawiono uklad pretowy obciażony ֒ ֒ równomiernym obciażeniem ci ag lym q. Wyznaczyć wartość obci ażenia do֒ ֒ ֒ puszczalnego qdop , uwzgledniaj ac warunek wytrzymalości dla belki, sta֒ ֒ 2005/6/16 page 586 586 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... teczności dla preta BC oraz warunek dopuszczalnego przemieszczenia ֒ środkowego punktu belki. Dane sa:֒ wymiar l, średnica belki d1 = 2d, średnica preta d2 = d, napreżenie dopuszczalne przy zginaniu kg , krytyczne przemiesz֒ ֒ czenie pionowe punktu D - δKD , modul spreżystości E, wspólczynnik bezpie֒ czeństwa xw . 11-21 (S) Idealnie sztywna belka o cieżarze Q jest podtrzymywana przez ֒ pret jak na rysunku 11.60. Wyznaczyć wymiary ֒ ֒ o przekroju prostokata, prostokata, jeśli dane s a: obci ażenie Q, wymiar l, modul spreżystości E, ֒ ֒ ֒ ֒ wspólczynnik bezpieczeństwa xw , h/b = 2. Uwaga: zalożyć, że wyboczenie preta ściskanego nastapi w zakresie deformacji spreżystych. ֒ ֒ ֒ q 0111111111111 00000000000 00 11 00 11 D l A l ff11x28 l 2l 11 00 00 11 f f11x28 C Rysunek 11.59 11.7 11-1 PKr = 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 l/2 ff11x29 B A l B C 0 1 111 000 h 0 1 1 000 111 0 000 111 0 1 000 111 0 1 0 1 0 1 000 111 f f11x29 0 1 0 1 0 1 000 111 01 1 0b Rysunek 11.60 Odpowiedzi 3EJ2 c = 2 , gdzie l l c= 3EJ2 . l 11-2 Oznaczajac S (c = 3EJ2 /l — zob. odpowiedź do ֒ przez c sztywność spreżyny ֒ zad. 11-1), bedziemy mieli: ֒ c ac , b) PKr = , a) PKr = l(a + l) (l + R) c) c a − Q(l − ) l l c = (l + αa) PKr = PKr dla Q = const, P dla = α = const. Q 11-3 W każdym z rozważanych przypadków, gdy ϕ → 0, charakterystyki wszystkich 2005/6/16 page 587 587 11.7. ODPOWIEDZI spreżyn daja֒ dM /dϕ → c. Sila krytyczna bedzie wiec ֒ ֒ ֒ w każdym przypadku równa PKr = c/l. W zakresie obciażeń pokrytycznych zależność kata ϕ od sily ֒ ֒ P wyznaczymy nastepuj aco: ֒ ֒ P P 1<n<2 P f22x2 1<n<2 n>2 P Kr n=2 P Kr ϕ a) n=2 f 22x2 b) n>2 ϕ ϕ c) Rysunek 11.61 a) dla charakterystyki liniowej warunek równowagi drażka w polożeniu wy֒ chylonym daje P ϕl = cϕ, ⇒ P = c/l, co oznacza, że dla P = PKr = c/l kat ֒ ϕ jest nieokreślony — rysunek 11.61a. b) warunek równowagi przybiera tu postać P ϕl ϕ= + c P ϕl c1 n , ⇒ ϕ= P 1− PKr PKr c1 Pc n 1/(n−1) . c) z warunku równowagi mamy P ϕl = cϕ + c2 ϕn , skad ֒ c2 P = PKr l + ϕn−1 . c 11-4 Uwzgledniaj ac ֒ duże przemieszczenia otrzymujemy ֒ P = c ϕ Q + . l sin ϕ tan ϕ Przy malych przemieszczeniach, gdy sin ϕ ≈ ϕ, mamy P = c Q + . l ϕ Na rysunku 11.62 przedstawiono obie charakterystyki, zaznaczone odpowiednio lina֒ ciag ֒ la֒ i przerywana. ֒ Jak widać, klasycznie definiowana sila krytyczna 2005/6/16 page 588 588 ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOŚCI ... tutaj nie wystepuje (PKr → ∞), jednak dla dostatecznie dużej i skończonej ֒ sily osiowej nawet niewielkie zaburzenie (np. nie osiowe przylożenie sily P ) może spowodować ”wejście” na krzywa֒ P = P (f ) (rysunek 11.62), co z kolei wywola charakterystyczny ”przeskok” zaznaczony punktami M-N. Przy Q = 0 otrzymujemy wykres z typowym punktem bifurkacji (rozdwojenie postaci równowagi) — na rysunku jest to punkt K. 3EJa 3EJ , b)PKr = . la l3 µAl2 . 11-16 ∆tKr = 2 π Jmin ( r ) r 2 4 P xw 4 P l xw 64 11-17 d > max . ; π σo tgα π 3 E sin α 3 πd1 kg π 3 Ed42 11-18 Pdop = min ; . 64l 128lxw 11-5 a)PKr = P M f 22x4 N K f22x4 Rysunek 11.62 ϕ 2005/6/16 page 589 Bibliografia [1] Gawedzki A.: Podstawy Mechaniki Konstrukcji pretowych, Wydawnictwo ֒ ֒ Politechniki Poznańskiej 1985. [2] Eschenauer H., Olhoff N., Schell W.: Applied Structural Mechanics, Fundamental of Elasticity, Load-Bearing Structures, Structural Optimization, Including Exercises, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997. [3] Lubiński M., Filipowicz A., Żóltowski W.: Konstrukcje metalowe, Arkady, Warszawa 2000. [4] Ponomariew P.D. i inni: Wspólczesne metody obliczeń wytrzymalościowych w budowie maszyn. PWN, Warszawa 1958. [5] Skrzypek J.: Plasticity and Creep, Theory, Examples and Problems, Ed. R.B.Hetnarski, Begell House – CRC Press, 1993. [6] Skrzypek J.: Plastyczność i pelzanie. PWN, Warszawa 1986. [7] Timoshenko S.P., Gere J.M.: Teoria stateczności spreżystej Arkady, W֒ wa 1963. [8] Walczak J.: Wytrzymalość materialów oraz podstawy teorii spreżystości ֒ i plastyczności. T I, II. PWN, Warszawa-Kraków 1978. [9] Życzkowski M.: Obciażenia zlożone w teorii plastyczności. PWN, War֒ szawa 1973. [10] Życzkowski M.: Combined loadings in the theory of plasticity, PWN, Warszawa 1978. [11] Życzkowski M. (red.): Mechanika techniczna. Wytrzymalość elementów konstrukcyjnych, t.IX. PWN, Warszawawa 1988. 2005/6/16 page 590 Indeks bifurkacja, 527, 538 punkt bifurkacji, 530 ciegno, 559 ֒ rozdwojenie stanu równowagi, 530 równowaga trwala, 525 dlugość zredukowana niowa), 546 (wybocze- sila eulerowska, 542, 543 krytyczna, 530, 534, 539, 542, 543, 553, 559, 561 smuklość graniczna, 556 porównawcza, 565 preta, 555 ֒ wzgledna, 565 ֒ stabilność, 525 stateczność, 525 statyczne kryterium równowagi, 525 warunki brzegowe, 551 efekty imperfekcji, 533 hiperbola Eulera, 556 kinematyczne warunki brzegowe, 550 kinetyczne kryterium równowagi, 525 krata Misesa, 535 kryterium równowagi trwalej, 525 metoda elementów skończonych, 546, 561 metoda różnic skończonych, 553 teoria katastrof, 536 napreżenie ֒ dopuszczalne, 563 eulerowskie, 555 krytyczne, 555, 556, 563, 564 warunek bezpieczeństwa, 563 wspólczynnik bezpieczeństwa, 563 dlugości wyboczeniowej, 546 niestateczności ogólnej, 565 zmniejszajacy, 565 ֒ wyboczenie, 539 wyboczenie niespreżyste, 556 ֒ wzór Eulera, 555, 556 pokrytyczny stan równowagi, 544 prety ֒ krepe, 564 ֒ smukle, 564 promień bezwladności, 555 przeskok, 534, 536, 538 590 2005/6/16 page 591 INDEKS wzór różnicowy, 553 591 2005/6/16 page 592 592 INDEKS *** 16.06.2005
