C:\Users\Seven\Documents\Moje d
Transkrypt
C:\Users\Seven\Documents\Moje d
Matematyka ZLic - 1. Rachunek zdań, rachunek zbiorów, relacje, funkcje Rachunek zdań, kwantyfikatory, rachunek zbiorów Zdaniem (w logice " 0 − 1" ) nazywamy takie zdanie oznajmujące, o którym potrafimy jednoznacznie rozstrzygnąć na gruncie wiedzy jakiej to zdanie dotyczy, że jest albo prawdziwe (ma wartość logiczną 1), albo fałszywe (ma wartość logiczną 0). Przykłady - zdania: Kijów jest stolicą Ukrainy. (prawda 1) Każda iczba parzysta jest podzielna przez 3. (fałsz 0) - nie-zdania: Czy Kijów jest stolicą Ukrainy? Liczby parzyste są wesołe. To zdanie jest fałszywe. Ze zdań p, q można za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych) ∼, ∧, ∨, ⇒, , budować zdania złożone: negacja: ∼ p (albo ¬p) czytamy: "nieprawda, że p", koniunkcja: p ∧ q czytamy: "p i q", alternatywa: p ∨ q czytamy: "p lub q", implikacja: p q czytamy: "jeżeli p, to q", równoważność: p q czytamy: "p, wtedy i tylko wtedy gdy q". Wartości logiczne zdań złożonych w zależności od wartości logicznych zdań składowych: p q ∼ p p∧q p∨q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Tautologie (prawa rachunku zdań) to takie zdania złożone, które są prawdziwe przy wszystkich mozliwych wartościach logicznych zdań składowych, np.: 1) p ∨∼ p (prawo wyłączonego środka), 2) ∼ p ∧∼ p (prawo niesprzeczności), 1 3) p ⇒ q (prawo tożsamości) 4) p ∼ ∼ p (prawo podwójnego przeczenia), 5) prawa pochłaniania: p p ∨ q, p ∧ q p, 6) prawa rozdzielności: p ∧ q ∨ r p ∧ q ∨ p ∧ r p ∨ q ∧ r p ∨ q ∧ p ∨ r 7) prawa de Morgana: ∼ p ∧ q ∼ p ∨∼ q ∼ p ∨ q ∼ p ∧∼ q 8) prawo transpozycji: p q ∼ q ∼ p 9) prawo zaprzeczenia implikacji: ∼ p q p ∧∼ q p q ∼ p ∨ q Alternatywa rozłączna p ⊻ q (czytamy: "albo p, albo q") jest zdefiniowana tak: p ⊻ q p ∧∼ q ∨ ∼ p ∧ q p ∨ q ∧∼ p ∧ q. Funkcja (forma) zdaniowa ze zmiennymi x ∈ X, y ∈ Y to takie wyrażenie, które po wstawieniu za zmienne jakichkolwiek konkretnych elementów staje się zdaniem, np.; ϕx : x > 3 dla x ∈ N, po podstawieniu za x liczb 1, 2, 3 daje zdania fałszywe, a po podstawieniu 4, 5, 6, 7, . . . zdania prawdziwe, ψx, y : x + y < 3 dla x ∈ N, y ∈ N daje zdania prawdziwe po podstawieniu za x, y liczb 1 i 1, a dla wszystkich innych par liczb naturalnych daje zdania fałszywe Kwantyfikator ogólny ⋀ ("duża koniunkcja") to funktor zdaniotwórczy, który zamienia formę zdaniową ϕx w zdanie: ⋀ ϕx , które czytamy: "dla każdego x ∈ A zachodzi ϕx". x∈A Kwantyfikator szczegółowy ⋁ ("duża aternatywa") to funktor zdaniotwórczy, który zamienia formę zdaniową ϕx w zdanie: ⋁ ϕx , które czytamy: "istnieje x ∈ A, dla którego zachodzi ϕx". x∈A Np. dla A = a, b, c, d mamy: ⋀ ϕx ϕa ∧ ϕb ∧ ϕc ∧ ϕd, x∈A 2 ⋁ ϕx ϕa ∨ ϕb ∨ ϕc ∨ ϕd. x∈A Zdanie ⋀ ϕx oznacza. że x ∈ A : ϕx = A. x∈A Zdanie ⋁ ϕx oznacza. że x ∈ A : ϕx ≠ . x∈A Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ∼ ⋀ ϕx ⋁ ∼ ϕx, x∈A x∈A x∈A x∈A ∼ ⋁ ϕx ⋀ ∼ ϕx. Dla zbiorów A i B mamy: A⊆B ⋀x ∈ A x ∈ B x Suma zbiorów A i B to zbiór A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B. Iloczyn mnogościowy (przekrój) zbiorów A i B to zbiór A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B. Różnica mnogościowa zbiorów A i B to zbiór A ∖ B = x : x ∈ A ∧ x ∉ B. Symetryczna różnica mnogościowa zbiorów A i B to zbiór A −̇ B = A ∖ B ∪ B ∖ A. Dla indeksowanej (”ponumerowanej”) elementami t ∈ T rodziny podzbiorów A t , t ∈ T pewnego zbioru X definiujemy sumę uogólnioną ⋃ t∈T A t = x ∈ X : ⋁ t∈T x ∈ A t i podobnie przekrój uogólniony ⋂ t∈T A t = x ∈ X : ⋀ t∈T x ∈ A t . Zbiory liczbowe Używać będziemy następujących oznaczeń dla zbiorów liczbowych: N = 1; 2; 3; 4; . . . - zbiór liczb naturalnych, Z = 0; 1 − 1; 2; −2; 3; −3; . . . - zbiór liczb całkowitych, Q = kl : k ∈ Z, l ∈ N - zbiór liczb wymiernych, R - zbiór liczb rzeczywistych, R ∖ Q - zbiór liczb niewymiernych. Mamy następujące inkluzje NZQR i wszystkie te zbiory są różne, gdyż np. −2 ∈ Z ∖ N, 23 ∈ Q ∖ Z, 2 ∈ R ∖ Q. 3 Iloczyn kartezjański zbiorów Defincja Parą uporządkowaną a, b elementów a ∈ X, b ∈ Y nazywamy dwuelementowy zbiór a, b, z wyróżnionym w nim elementem poprzedzającym. Formalnie: a, b = a, b, a Uwaga Mamy zawsze a, b = b, a, ale a, b ≠ b, a, gdy tylko a ≠ b, np.dla pary nazwisko, imię, mamy Bogdan, Marek ≠ Marek, Bogdan, Definicja Iloczynem kartezjańskim X × Y zbiorów X, Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych a, b takich, że a ∈ X, b ∈ Y, tj. X × Y = a, b : a ∈ X, b ∈ Y. Uwaga Jeśli X ≠ Y, to X × Y ≠ Y × X. Przykłady 1) x m N × R =m, x : m ∈ N, x ∈ R 2) 4 m x R × N =x, m : m ∈ N, x ∈ R 3) 10 y5 -10 -5 0 5x 10 -5 -10 R 2 = R × R płaszczyzna Uwaga Iloczyn kartezjański X 1 × X 2 ×. . . ×X n zbiorów X 1 , X 2 , . . . , X n to zbiór n −ek uporządkowanych x 1 , x 2 , . . . , x n , gdzie x 1 ∈ X 1 , x 2 ∈ X 2 , . . . , x n ∈ X n . Relacje Definicja Relacją ρ w iloczynie kartezjańskim X × Y, tj. relacją między elementami x ∈ X, a elementami y ∈ Y, nazywamy dowolny podzbiór tego iloczynu. Piszemy xρy gdy x, y ∈ ρ i mówimy, że element x jest w relacji ρ z elementem y. W sensie powyższej definicji relacja jest utożsamiana z wykresem. Przykład 1. Niech relacja ρ w X × Y = 〈 − 4; 4〉 × R będzie zdefiniowana warunkiem: xρy x 2 = y 4 5 3 2 y 1 -4 -2 0 2x 4 -1 -2 -3 xρy x 2 = y 4 Relacje równoważności i porządku Definicja Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy: 1) zwrotną gdy ⋀ xρx x∈X 2) symetryczną gdy ⋀ ⋀ xρy yρx x∈X y∈X 3) przechodnią gdy ⋀ ⋀ ⋀ xρy ∧ yρz xρz x∈X y∈X z∈X 4) antysymetryczną gdy ⋀ ⋀ xρy ∧ yρx x = y x∈X y∈X 5) liniową (spójną) gdy ⋀ ⋀ xρy ∨ yρx x∈X y∈X Przykłady 1. Relacja identyczności = w dowolnym zbiorze spełnia warunki 1),2),3) (także 4)) ale jeśli ten zbiór ma co najmniej dwa elementy, to relacja = nie spełnia warunku 5) tj. nie jest spójna. 2. Relacja nieostrej nierówności (oznaczana też symbolem ≤) w zbiorze liczb rzeczywistych R spełnia warunki 1),3),4),5). Definicja Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy preporządkiem (quasi-porządkiem) w zbiorze X, gdy jest zwrotna i przechodnia. Przykład Porządkujemy samochody ze względu na dwa kryteria "wyścigowe": k 1 x − prędkość maksymalna, k 2 x − czas rozpędzenia do prędkości 100 km/h, dla samochodu x. Powiemy, że samochód x jest "nie szybszy" niż y i napiszemy x ≲ y gdy: 6 k 1 x ≤ k 1 y oraz k 2 x ≥ k 2 y. Relacja ≲ jest preporządkiem, lecz nie jest symetryczna, ani antysymetryczna, ani liniowa. Definicja Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy relacją równoważności (równoważnością) w zbiorze X, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Uwaga Każda relacja równoważności jest preporządkiem. Przykłady 1. Relacja identyczności = w dowolnym zbiorze jest relacją równoważności. 2. Relacja ρ w N × N zdefiniowana warunkiem mρn 3 ∣ m − n ⋁ m − n = k 3 k∈Z jest równoważnością, gdyż (ćwiczenia): 1) m − m = 0 = 3 ⋅ 0 2) m − n = 3k n − m = 3−k 3) m − n = 3k ∧ n − p = 3l m − p = m − n + n − p = 3k + l Relacja równoważności ρ w zbiorze X określa jednoznacznie rozbicie tego zbioru na rozłączne klasy abstrakcji elementów względem tej relacji, tzn. podzbiory x ρ = y ∈ X : xρy, których sumą jest cały zbiór X : ⋃x ρ = X. x∈X Np. Dla przykładu powyżej 1 ρ = 1; 4; 7; 10; . . . = 4 ρ = 7 ρ =, 2 ρ = 2; 5; 8; 11; . . . = 5 ρ = 8 ρ =, 3 ρ = 3; 6; 9; 12; . . . = 6 ρ = 9 ρ = Definicja Relację ρ w iloczynie kartezjańskim X × X nazywamy porządkiem częściowym (porządkiem) w zbiorze X, gdy jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Jeśli ponadto 7 jest to relacja liniowa, to nazywamy ją porządkiem liniowym. Każdy porządek częściowy jest preporządkiem. Każdy porządek liniowy jest porządkiem częściowym, ale nie na odwrót. Przykłady. 1. Relacja nieostrej nierówności (oznaczana też symbolem ≤) jest porządkiem liniowym w zbiorze R. 2. Relacja określona warunkiem n ∈Z mnm∣n m jest porządkiem częściowym w zbiorze N, ale nie liniowym, bo np. ∼ 2 ∣ 3 ∨ 3 ∣ 2 3. Relacja ≤ między parami liczb (punktami na płaszczyźnie) zdefiniowana warunkiem x, y ≤ u, v x ≤ u ∧ y ≤ v jest porządkiem częściowym w zbiorze R 2 , ale nie liniowym. 4. Relacja ≼ między parami liczb zdefiniowana warunkiem x, y ≼ u, v 2x + 5y ≤ 2u + 5v nie jest porządkiem w zbiorze R 2 (bo nie jest antysymetryczna) ale jest spójna (jest to preporządek liniowy). Porządek i kresy zbiorów Rozważmy dowolny zbiór X z (nieostrym) porządkiem częściowym . Piszemy x ≺ y gdy x y ∧ x ≠ y. Definicja Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym z góry (odpowiednio: ograniczonym z dołu) gdy ⋁ ⋀a M (odp.: ⋁ ⋀ m a) M∈X a∈A m∈X a∈A Przykłady 1. Zbiór N z porządkiem liniowym ≤ jest ograniczony z dołu, np. przez −2; 0; ograniczony z góry, gdyż ⋀ ⋁ M < a ∼ ⋁ ⋀a ≤ M . M∈R a∈N M∈R a∈N 9 10 ale nie jest 2. Przedział 0; 7〉 jest ograniczony, tj ograniczony z dołu i z góry. n 3. Zbiór A = n+2 : n ∈ N jest ograniczony. 8 Definicja Kresem górnym ograniczonego z góry zbioru A ⊂ X nazywamy element u ∈ X taki, że 1 ⋀ a u (u jest ograniczeniem zbioru A z góry) a∈A 2 ⋀ ⋀ a r u r r∈X (każde inne ograniczenie z góry r jest nie mniejsze niż u). a∈A Kres górny u zbioru A oznaczamy u = sup A. Gdy zbiór A ⊂ R nie jest ograniczony z góry w relacji porządku liniowego ≤, piszemy sup A = +∞. Analogicznie definiujemy kres dolny. Definicja Kresem dolnym ograniczonego z dołu zbioru A ⊂ X nazywamy element l ∈ X taki, że 1 ⋀ l a (l jest ograniczeniem zbioru A z dołu) a∈A 2 ⋀ ⋀ r a r l r∈X (każde inne ograniczenie z dołu r jest nie większe niż l). a∈A Kres dolny l zbioru A oznaczamy l = inf A. Gdy zbiór A ⊂ R nie jest ograniczony z dołu w relacji porządku liniowego ≤, piszemy inf A = −∞. Przykłady Dla porządku liniowego ≤ w zbiorach liczbowych 1. sup N = +∞, inf N = 1 2. sup−∞; 7 = 7 inf−∞; 7 = −∞. 3. sup−∞; 7〉 = 7 Uwaga. Gdy sup A ∈ A, to sup A = max A, gdzie: Definicja M = max A wtedy i tylko wtedy gdy: 1) M ∈ A 2) ⋀ a M a∈A (Analogicznie inf A = min A Własności porządku ≤ w zbiorach liczbowych 1. Relacja ≤ porządkuje zbiory Q oraz R na gęsto, tzn. 9 ⋀ x,y∈QR (inaczej: ⋀ x<y ⋁ x<z<y z∈QR ⋁ x < z < y) x<y∈QR z∈QR x+y ). 2 (np. z = Dla zbiorów N, Z relacja ≤ takiej własności nie ma. Twierdzenie. Niech A ⊂ R, R z porządkiem ≤. 1. u = sup A wtedy i tylko wtedy gdy: 1 ⋀ a ≤ u , a∈A 2 ⋀ ⋁ u − < a . >0 a ∈A 2. l = inf A wtedy i tylko wtedy gdy: 1 ⋀ l ≤ a , a∈A 2 ⋀ ⋁ a < l + . >0 a ∈A Relacja ≤ w zbiorze R ma ponadto ważną własność zupełności: Każdy ograniczony z góry podzbiór A ⊂ R ma kres górny sup A ∈ R i każdy ograniczony z dołu podzbiór A ⊂ R ma kres dolny inf A ∈ R. Własność taka nie jest prawdziwa dla zbioru Q, np. jego podzbiór A = 3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; . . . , którego elementami są przybliżenia dziesiętne (z niedomiarem) liczby niewymiernej π ma kres górny sup A = π ∉ Q. Funkcje Definicja Funkcją o dziedzinie D f = X i wartościach w zbiorze Y nazywamy taką relację f ⊂ X × Y, że: 1) ⋀ ⋁ xfy x∈X y∈Y (tzn. dla każdego elementu x należącego do zbioru X istnieje element y należący do zbioru Y taki, że x jest w relacji z y) 2) ⋀ ⋀ xfy 1 ∧ xfy 2 y 1 = y 2 . x∈X y 1 ,y 2 ∈Y Każdemu x ∈ X odpowiada dokładnie jeden y ∈ Y. 10 Piszemy y = fx zamiast xfy, mówimy, że y = fx jest wartością funkcji f w punkcie x, x - zmienna niezależna, y - zmienna zależna. Oznaczenia funkcji: f:X→Y f : x ↦ fx y = fx Przykład -4 -2 3 3 2 y 1 2 y 1 0 2x 4 -4 -2 2x -1 -1 -2 -2 -3 -3 xρy x 2 = y 4 xfy − 4 x 2 = y nie funkcja funkcja ρ ⊂ 〈−4; 4〉 × R f ⊂ 〈−4; 4〉 × R Pionowa prosta przez każdy x 4 ∈ X przecina dokładnie raz wykres funkcji Uwaga Gdy dany jest tylko wzór określający zależność zmiennych x ∈ R, y ∈ R, to domyślnie przyjmujemy, że dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich x ∈ R, dla których wzór ma sens. Np. 1 y = fx = x + 2x − 1 ma dziedzinę D f = R ∖ −2; 1 = −∞; −2 ∪ −2; 1 ∪ 1; +∞ 11 4 2 -4 -2 2 x 4 -2 -4 fx = 1 x+2x−1 , x ∈ R ∖ −2; 1 Definicja Dla funkcji f : X → Y 1) obrazem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór fA = fx : x ∈ A = y ∈ Y : ⋁ y = fx x∈A 2) przeciwobrazem zbioru B ⊂ Y nazywamy zbiór f −1 B = x : fx ∈ B = x ∈ X : ⋁ y = fx y∈B 3) przeciwdziedziną nazywamy obraz dziedziny, (tj. zbiór fX = y ∈ Y : ⋁ y = fx, x∈X Definicja Funkcję f : X → Y nazywamy 1) surjekcją (funkcją ”na Y”) gdy Y = fX, tj. ⋀ ⋁ y = fx y∈Y x∈X ∈ Y przecina wykres funkcji) 2) injekcją (funkcją różnowartościową ”1-1”) gdy (Pozioma prosta przez każdy y ⋀ x 1 ≠ x 2 fx 1 ≠ fx 2 x 1 ,x 2 ∈X ∈ Y przecina nie więcej niż raz wykres funkcji) 3) bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną) gdy jest ”1-1” oraz ”na Y” Pozioma prosta przez każdy y ∈ Y przecina dokładnie raz wykres funkcji) Przykład (Pozioma prosta przez każdy y 12 2 1 1 2 3x 4 5 6 0 -1 -2 -3 -4 fx = log 2 x f : 0; +∞ → R ”na” i ”1-1” 5 4 3 2 1 0 -1 2 4 6 8 10 -2 -3 -4 fn = −1 n entier n2 f : N → Z”na” i”1 − 1” Superpozycja (złożenie) funkcji Definicja Superpozycją (złożeniem) g ∘ f funkcji f : X → Y oraz g : Y → Z nazywamy funcję g ∘ f : X → Z zdefiniowaną równością g ∘ fx = gfx dla x ∈ X Przykład f : R → R; g : R → R; fx = x 2 − 1 gx = 2x + 3 g ∘ fx = gfx = gx 2 − 1 = 2x 2 − 1 + 3 = 2x 2 + 1 13 f ∘ gx = fgx = f2x + 3 = 2x + 3 2 − 1 = 4x 2 + 12x + 8 Definicja Funkcją odwrotną do bijekcji f : X → Y nazywamy funcję f −1 : Y → X zdefiniowaną warunkiem x = f −1 y y = fx Uwaga Funkcja odwrotna do bijekcji jest też bijekcją, złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją Przykład Dla x ∈ R, y ∈ 0; +∞ x = f −1 y = log 2 y y = fx = 2 x 8 6 y4 2 -4 -2 0 2 4x 6 8 -2 -4 y = 2x x = log 2 y y = log 2 x Gdy f −1 : Y → X jest funkcją odwrotną do f : X → Y to ⋀ f −1 fx =x ⋀ ff −1 y ∧ x∈X =y y∈Y f −1 ∘ f = id X ∧ f ∘ f −1 = id Y Uwaga Jeśli istnieje bijekcja f : X → Y to zbiory X, Y nazywamy równolicznymi. Równoliczność zbiorów jest relacją równoważności. Na przykład wszystkie zbiory 7-elementowe są równoliczne zbiory N, Z, Q są równoliczne (zbiory równoliczne ze zbiorem N nazywamy przeliczalnymi) Działania na funkcjach o wartościach liczbowych Dla funkcji f : A R, g : B R można zdefiniować na wspólnej części ich dziedzin A ∩ B 14 sumę f + g, różnicę f − g, iloczyn fg, a na zbiorze x ∈ A ∩ B : gx ≠ 0 także iloraz potęgę g f jako funkcje określone wzorami: ● f + gx = fx + gx ● f − gx = fx − gx ● fgx = fxgx fx f ● g x = gx ● g f x = gx fx f g oraz Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej (f : D R , D ⊂ R ) Definicja Funkcję f : D R , gdzie D ⊂ R nazywamy rosnącą (odp. niemalejącą, nierosnącą, malejacą) na D, gdy ⋀ x 1 < x 2 fx 1 < fx 2 (odp.: ≤, ≥, > ) x 1 ,x 2 ∈D Przykłady 1 -4 0 -2 2 4 x -1 y= 3 x rosnąca 2 1 -3 -2 -1 0 1 x 2 3 -1 -2 y = sgn x niemalejąca Definicja 15 Funkcję f : D R , gdzie D ⊂ R nazywamy ograniczoną z góry (odp.: z dołu) gdy jej przeciwdziedzina, tj. zbiór fD jest ograniczony z góry (odp.: z dołu),czyli ⋁ ⋀ fx ≤ M (odp.: ⋁ ⋀ m ≤ fx) M∈R x∈D m∈R x∈D Przykłady 2 1 -1 1 2 x 3 4 5 0 -1 -3 -4 y= x 1+x , x > −1 ogr. z góry 4 3 2 1 -4 0 -2 2 4 x -1 y= x 4 3 ogr. z dołu 3 2 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2 a n = fn = −1 n + 1 n ,n ∈ N ciąg ograniczony 16 Ciągi liczbowe Definicja Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nieskończonym nazywamy funkcję f : N R , tj. funkcję której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a wartości są liczbami rzeczywistymi . Wyrazy (elementy) ciągu, to wartości tej funkcji: a 1 = f1, a 2 = f2, ..., a n = fn. Oznaczenia ciągu: a n ; a n n∈N ; a n ∞n=1 (lub a n ; a n ∞n=1 . ) Przykłady Ciąg Fibonacciego f n jest zdefiniowany rekurencyjnie przez warunki: f 2 = 1, f n = f n−1 + f n−2 dla n ≥ 3 f 1 = 1, Kilka pierwszych wyrazów tego ciągu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . Dla ciągu a n definiujemy sumy częściowe S m , dla m ∈ N : S1 = a1 S2 = a1 + a2 ... m Sm = ∑ a n = a 1 + a 2 +. . . +a m n=1 Ciąg a n nazywamy ciągiem arytmetycznym gdy ⋀ a n+1 − a n = a n − a n−1 , n∈N∖1 czyli ⋁ ⋀ r = a n+1 − a n . r∈R n∈N Dla ciągu arytmetycznego mamy: 1) a n = a n−1 + r = a n−2 + r + r =. . . = a 1 + n − 1r n+1 2) a n = a n−1 +a (średnia arytmetyczna); 2 2) mm − 1 S m = a 1 + a m m = ma 1 + r 2 2 dla m ∈ N. Ciąg a n nazywamy ciągiem geometrycznym gdy ⋀ aan+1n = aan−1n , n∈N∖1 17 czyli ⋁ ⋀ q = q∈R n∈N a n+1 an . Dla ciągu geometrycznego mamy: 1) a n = a n−1 q = a n−2 qq =. . . = a 1 q n−1 2) a n = 2 a n−1 ⋅ a n+1 , (średnia geometryczna) 3) S m = a 1 1 + q +. . . +q m−1 = a1 1−q m 1−q ma 1 gdy q ≠ 1 gdy q = 1 dla m ∈ N. Zadanie 1 Dla a 1 ≥ 0, a 2 ≥ 0, . . . , a n ≥ 0, udowodnić że : 2 1) 2 a 1 a 2 ≤ a 1 +a 2 2) n a 1 a 2 . . . a n ≤ a 1 +a 2n+...+a n Zadanie 2 Wpłacamy kwotę P co miesiąc z góry, przez t lat t ∈ N na rachunek oszczędnościowy o stałym nominalnym oprocentowaniu rocznym r. Jaką sumę uzbieramy po t latach, jeśli odsetki dopisywane są do rachunku: a) raz na koniec okresu t lat? b) co miesiąc przez t lat? c) co roku? 18