Zadania przygotowawcze do kolokwium z Elementów - e-WMP

Zadania przygotowawcze do kolokwium z
Elementów logiki i teorii mnogości
Zadanie 1. Sprawdzić, czy następujące wyrażenie jest tautologią
p ⇒ [(∼ q ∧ q) ⇒ r].
Zadanie 2. Niech x = y, x < y, x ¬ y będą funkcjami zdaniowymi określonymi dla
liczb naturalnych. Za ich pomocą, korzystając ze znanych operacji arytmetycznych,
takich jak x + y, x · y, symboli dla liczb oraz symboli logicznych zapisać funkcję
zdaniową:
” funkcja f (x) jest różnowartościowa ”.
Zadanie 3. Korzystając z prawa de Morgana napisz zaprzeczenia zdania:
∃M >0 ∀x
R |f (x1 ) − f (x2 )| < M.
1 ,x2 ∈
Zadanie 4. Udowodnij, że A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
Zadanie 5. Rozważmy zbiór X = {1, 2, 3} i jego zbiór potęgowy P(X) (czyli zbiór,
którego elementami są podzbiory zbioru X). Na zbiorze P(X) rozważmy relację R
zawiarania. Wypisz elementy zbioru R.
Zadanie 6. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze N następująco:
x∼y
⇐⇒
2|x + y
jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji.
Zadanie 7. Sprawdź czy relacja ∼ zdefiniowana na zbiorze X = {1, 2, 3, . . . , 16}
następująco:
x ∼ y ⇔ 4|x2 − y 2
jest relacją równoważności? Jeśli tak, to wyznacz jej klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy.
Zadanie 8. Narysuj diagram Hessego dla częściowo uporządkowego (przez relację
zawierania) zbioru
X = {{0, 2}, {0, 1}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4}}.
Wskaż element najmniejszy, największy, minimaly i maksymalny w zbiorze X.
Zadanie 9. Rozważmy zbiór T = {2, 3, . . . , 15} wraz z relacją podzielności ograniczoną do elementów tego zbioru. Narysuj diagram tej relacji. Wskaż (o ile istnieją)
elementy: najmniejszy, największy, maksymalny, minimalny. Wskaż wszystkie łańcuchy długości 3.
Zadanie 10. Znajdź obraz f [A] i przeciwobraz f −1 [B] dla funkcji f (x) = x2 + 2
i zbiorów A = [−1, 2) oraz B = (1, 3].
Zadanie 11. Określ moc zbioru
1. {A ⊆ N : ∀n ∈ N
n ∈ A},
2. {x ∈ N : ∃y ∈ R x = y 2 },
3. Zbiór wszystkich odcinków na płaszczyźnie o obu końcach w punktach o
współrzędnych wymiernych.
Zadanie 12. Udowodnij że odcinek (−π, π) jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.