Wnioskowanie statystyczne

Wnioskowanie statystyczne
SPIS TREŚCI
SPIS TREŚCI
Spis treści
1 Teoria Gier
1.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Metody uporządkowania klas reguł decyzyjnych . . . . . . . . .
1.3 Zasada minimaksu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Klasy reguł decyzyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Istotna zupełność klas niezrandomizowanych reguł decyzyjnych
straty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Istotna klasy reguł opartych na statystyce dostatecznej . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
przy
. . .
. . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
wypukłej funkcji
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2 Estymacja
2.1 Estymacja bayesowska . . . . . . . . . . . .
2.2 Estymacja minimaksowa . . . . . . . . . . .
2.3 Dopuszczalność estymatorów bayesowskich i
2.4 Asymptotyczna efektywność estymatorów .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
minimaksowych
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
. 8
. 9
. 10
. 10
3 Testowanie hipotez statystycznych
3.1 Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lemat Neymana-Pearsona . . . . . . . . . .
3.3 Testy JMN dla rodzin z monotonicznym. . .
3.4 Testy JNM dla hipotez dwustronnych . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
4
5
.
.
5
6
13
13
14
15
15
4 Testy nieobciążone
18
4.1 Nieobciążoność w testowaniu hipotez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Testy o strukturze Neymana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 JNM testy nieobciążone dla nieparametryczny miar wykładniczych* . . . . . . . . . . . 19
1
1
1
1.1
TEORIA GIER
Teoria Gier
Wstęp
Niech A oznacza zbiór możliwych akcji (natomiast I σ-ciało jego podzbiorów), a Θ zbiór ”stanów
natury”. Niech dana będzie również funkcja L : Θ × A → R, nazywać ją będziemy funkcją straty.
Wówczas trójkę hΘ, A, Li nazywamy grą. Niech X będzie zbiorem wyników obserwacji, a A σ-ciałem
podzbiorów X . Niech wreszcie P = {Pθ | θ ∈ Θ} będzie rodziną miar probabilistycznych na X .
Definicja 1.1
Funkcję mierzalną d : (X , A) → (A, I) dla której istnieje i jest skończona dla każdego θ ∈ Θ wartość
oczekiwana
Z
R(θ, d) := Eθ [L(θ, d(X))] =
L(θ, d(x)) Pθ (dx)
X
nazywamy regułą decyzyjną a całkę R(θ, d) nazywamy funkcją ryzyka reguły decyzyjnej d.
Niech D oznacza zbiór wszystkich reguł decyzyjnych w danej grze hΘ, A, Li. Niech H będzie
najmniejszym σ-ciałem podzbiorów D, względem którego funkcje R(θ, ·) są mierzalne dla każdego
θ ∈ Θ oraz zawierającym wszystkie jednoelementowe podzbiory D.
Definicja 1.2
Miarę probabilistyczną δ na D dla której istnieje i skończona jest całka
Z
∗
R (θ, δ) =
R(θ, z) δ(dz)
D
nazywamy zrandomizowaną regułą decyzyjną. Całkę R∗ (θ, δ) nazywamy funkcją ryzyka zrandomizowanej reguły decyzyjnej.
Niech D∗ będzie zbiorem zrandomizowanych reguł decyzyjnych. Wtedy D wkłada się w D∗ . Mamy
nową grę hΘ, D∗ , R∗ i
Lemat 1.3
Zbiór D∗ jest wypukły.
Niech I będzie najmniejszym σ-ciałem podzbiorów A zawierającym jako swoje elementy wszystkie
jednoelementowe podzbiory zbioru A i względem którego wszystkie funkcje L(θ, ·) są mierzalne dla
każdego θ ∈ Θ. Niech A∗ będzie zbiorem wszystkich miar probabilistycznych α na A dla których
istnieje i skończona jest całka
Z
L∗ (θ, α) =
L(θ, a) α(da)
A
Definicja 1.4
Funkcję δ̃ : X → A∗ dla której istnieje i jest skończona całka
Z
R̃(θ, δ̃) = Eθ [L∗ (θ, δ̃(X)] =
L∗ (θ, δ̃(x)) Pθ (dx)
X
nazywamy behawiorystyczną regułą decyzyjną. Całkę R̃(θ, δ̃) nazywamy funkcją ryzyka behawiorystycznej reguły decyzyjnej δ̃.
Niech D̃ oznacza zbiór behawiorystycznych reguł decyzyjnych. Mamy kolejną grę: hΘ, D̃, R̃i behawiorystyczną grę decyzyjną.
2
1.2
Metody uporządkowania klas reguł decyzyjnych
1
TEORIA GIER
Lemat 1.5
Zbiór D̃ jest wypukły.
Twierdzenie 1.6 (Wald, Wolfowitz)
Niech A będzie podzbiorem ośrodkowej przestrzeni metrycznej. Wówczas gry statystyczne hΘ, D, R∗ i
i hΘ, D̃, R̃i są równoważne, czyli dla każdego δ ∗ ∈ D∗ istnieje δ̃ ∈ D̃ taka, że
∀θ ∈ Θ
R∗ (θ, δ ∗ ) = R̃(θ, δ̃)
i na odwrót, dla każdej δ̃ ∈ D̃ istnieje δ ∗ ∈ D∗ taka, że spełniona jest powyższa równość.
Definicja 1.7
Regułę decyzyjną d ∈ D nazywamy nieobciążoną ze względu na funkcję straty L, gdy
Eθ [L(θ0 , d(X))] ≥ Eθ [L(θ, d(X))] θ, θ0 ∈ Θ
1.2
Metody uporządkowania klas reguł decyzyjnych
Niech Ξ będzie najmniejszym σ-ciałem podzbiorów Θ zawierającym jako swoje elementy wszystkie
jednoelementowe podzbiory zbioru Θ i względem którego wszystkie funkcje R∗ (·, δ) są mierzalne dla
każdego δ ∈ D∗ . Niech Θ∗ będzie zbiorem wszystkich miar probabilistycznych na Θ
Definicja 1.8
Ryzykiem bayesowskim zrandomizowanej reguły δ ∈ D∗ względem rozkładu a priori τ ∈ Θ∗ nazywamy
całkę
Z
r(τ, δ) =
R∗ (θ, δ) dτ (θ)
Θ
Definicja 1.9
Ryzykiem bayesowskim niezrandomizowanej reguły d ∈ D względem rozkładu a priori τ ∈ Θ∗ nazywamy całkę
Z
r(τ, d) =
R(θ, d) dτ (θ)
Θ
Definicja 1.10
Reguła decyzyjna δ0 ∈ D∗ nazywa się regułą bayesowską względem rozkładu a priori τ ∈ Θ∗ , gdy
r(τ, δ0 ) = inf ∗ r(τ, δ)
δ∈D
Definicja 1.11
Niech ε > 0. Reguła δ0 ∈ D∗ nazywa się regułą ε-bayesowską względem τ ∈ Θ, gdy
r(τ, δ0 ) ≤ inf ∗ r(τ, δ) + ε
δ∈D
Definicja 1.12
Reguła decyzyjna d0 ∈ D nazywa się regułą bayesowską względem rozkładu a priori τ ∈ Θ∗ , gdy
r(τ, d0 ) = inf r(τ, d)
d∈D
Definicja 1.13
Niech ε > 0. Reguła d0 ∈ D nazywa się regułą ε-bayesowską względem τ ∈ Θ, gdy
r(τ, d0 ) ≤ inf r(τ, d) + ε
d∈D
3
1.3
Zasada minimaksu
1
TEORIA GIER
Twierdzenie 1.14
Jeżeli istnieje zrandomizowana reguła bayesowska δ0 ∈ D∗ ze względu na rozkład a priori τ ∈ Θ∗ , to
istnieje niezrandomizowana reguła decyzyjna d0 ∈ D, która jest bayesowska ze względu na τ
1.3
Zasada minimaksu
Definicja 1.15
Reguła decyzyjna δ0 ∈ D∗ nazywa się minimaksowa, gdy
sup R∗ (θ, δ0 ) = inf ∗ sup R∗ (θ, δ)
δ∈D θ∈Θ
θ∈Θ
Definicja 1.16
Niech ε > 0. Reguła decyzyjna δ0 ∈ D∗ nazywa się ε-minimaksowa, gdy
sup R∗ (θ, δ0 ) ≤ inf ∗ sup R∗ (θ, δ) + ε
δ∈D θ∈Θ
θ∈Θ
Lemat 1.17
Dla każdego δ ∈ D∗
sup r(τ, δ) = sup R∗ (θ, δ)
τ ∈Θ∗
θ∈Θ
Wniosek 1.18
Jeśli δ0 jest minimaksowa w grze hΘ, D∗ , R∗ i, to jest również minimaksowa w grze hΘ∗ , D∗ , ri, czyli
sup r(τ, δ0 ) = inf ∗ sup r(τ, δ)
τ ∈Θ∗
δ∈D τ ∈Θ∗
Definicja 1.19
Rozkład a priori τ0 ∈ Θ∗ nazywa się rozkładem najmniej korzystnym, gdy
inf r(τ0 , δ) = sup inf ∗ r(τ, δ)
δ∈D ∗
τ ∈Θ∗ δ∈D
Lemat 1.20
Mamy
sup inf r(τ, δ) = v ≤ v = inf ∗ sup r(τ, δ)
∗
τ ∈Θ∗ δ∈D
δ∈D τ ∈Θ∗
W przypadku, gdy v = v = v, mówimy, że gra hΘ∗ , D∗ , ri ma wartość v. Jeżeli ponadto istnieją
τ0 ∈ Θ∗ oraz δ0 ∈ D∗ dla których r(τ0 , δ0 ) = v, to minimaksowa reguła δ0 jest bayesowska względem
rozkładu najmniej korzystnego.
Definicja 1.21
Funkcja f : (X, T ) → R jest półciągła z dołu, gdy dla dowolnego c ∈ R zbiór {x | f (x) > c} jest otwarty
w X.
Twierdzenie 1.22 (minimaksowe)
Niech będzie dana gra hΘ, D∗ , R∗ i. Jeżeli D jest przestrzenią zwartą, a funkcja R∗ (θ, ·) : D∗ → R jest
półciągła z dołu dla dowolnego θ ∈ Θ, to istnieje wartość gry hΘ, D∗ , R∗ i oraz istnieje minimaksowa
reguła decyzyjna.
4
1.4
1.4
Klasy reguł decyzyjnych
1
TEORIA GIER
Klasy reguł decyzyjnych
Definicja 1.23
Reguła δ1 nazywa jest nie gorszą niż reguła δ2 , gdy R∗ (θ, δ1 ) ≤ R∗ (θ, δ2 ) dla θ ∈ Θ
Definicja 1.24
Reguła δ1 jest równoważna regule δ2 , gdy dla dowolnego θ ∈ Θ mamy R∗ (θ, δ1 ) = R∗ (θ, δ2 ).
Definicja 1.25
Reguła decyzyjna δ ∈ D∗ nazywa się dopuszczalna, gdy nie istnieje reguła decyzyjna lepsza od niej.
W przeciwnym wypadku δ nazywamy regułą niedopuszczalną.
Definicja 1.26
Klasa C ⊆ D∗ reguł decyzyjnych jest zupełna, gdy dla każdej reguły δ ∈ D∗ \ C istnieje reguła δ0 ∈ C
lepsza niż δ.
Definicja 1.27
Klasa C ⊆ D∗ reguł decyzyjnych jest istotnie zupełna, gdy dla każdej reguły δ ∈ D∗ \ C istnieje reguła
δ0 ∈ C nie gorsza niż δ.
Lemat 1.28
Jeżeli klasa C jest zupełna, to C zawiera wszystkie reguły dopuszczalne.
Lemat 1.29
Jeżeli klasa C jest klasą istotnie zupełną i istnieje reguła dopuszczalna δ ∈
/ C, to istnieje reguła δ0 ∈ C
równoważna regule δ.
Definicja 1.30
Klasa C ⊆ D∗ reguł reguł decyzyjnych nazywa się minimalną klasą (istotnie) zupełną, gdy jest klasą
(istotnie) zupełną i nie istnieje właściwa (istotnie) zupełna podklasa C.
Twierdzenie 1.31
Jeśli dla gry hΘ, D∗ , R∗ i istnieje minimalna klasa zupełna, to jest ona równa klasie wszystkich reguł
dopuszczalnych.
1.5
Istotna zupełność klas niezrandomizowanych reguł decyzyjnych przy
wypukłej funkcji straty
Lemat 1.32
Niech S będzie wypukłym podzbiorem Rk , a Z-k-wymiarowym wektorem losowym o wartościach w S.
Jeżeli wektor E[Z] istnieje, to E[Z] ∈ S.
Twierdzenie 1.33 (Nierówność Jensena)
Niech S będzie wypukłym podzbiorem Rk , a Z-k-wymiarowym wektorem losowym o wartościach w S
takim, że wektor E[Z] istnieje. Wówczas jeśli f : S → R jest wypukła i jeśli f (Z) jest P -całkowalną
zmienną losową, to
f (E[Z]) ≤ E[f (Z)]
Twierdzenie 1.34 (Warunkowa nierówność Jensena)
Niech S będzie wypukłym podzbiorem Rk , a Z-k-wymiarowym P -całkowalnym wektorem losowym o
5
1.6
Istotna klasy reguł opartych na statystyce dostatecznej
1
TEORIA GIER
wartościach w S. Wówczas jeśli f : S → R jest wypukła i jeśli f (Z) jest P -całkowalną zmienną losową,
to
f (E[Z|E]) ≤ E[f (Z)|E] p.w.
dla dowolnego σ-ciała E ⊆ F.
Twierdzenie 1.35
Rozpatrzmy grę hΘ, A, Li, gdzie A ⊆ Rk jest wypukły i dla dowolnego θ ∈ Θ funkcja L(θ, ·) : A → R
jest wypukła. Wówczas jeśli dla pewnego θ0 ∈ Θ istnieją liczby ε > 0 oraz c ∈ R takie, że
∀a ∈ A
L(θ0 , a) ≥ ε||a|| + c
to dla dowolnej α ∈ A∗ istnieje a ∈ A dla którego
∀θ ∈ Θ
L(θ, a) ≤ L∗ (θ, α)
Wniosek 1.36
Jeśli A jest wypukłym podzbiorem Rk i dla każdego θ ∈ Θ funkcja straty L(θ, ·) : A → R jest wypukła
oraz taka, że dla dowolnego θ0 ∈ Θ
εE[||Z||] + c ≤ E[L(θ0 , Z)]
dla pewnych ε > 0 i c, gdzie Z przyjmuje wartości z A, to klasa niezrandomizowanych reguł decyzyjnych
D jest iststnie zupełna dla gry hΘ, D̃, R̃i.
1.6
Istotna zupełność klasy reguł decyzyjnych opartych na statystyce dostatecznej
Rozważmy (X , A, P) gdzie P = {Pθ | θ ∈ Θ}. Załóżmy, że istnieje statystyka dostateczna dla P:
T = T (X) : (X , A) → (T , C). Rozpatrzmy grę hΘ, D̃, R̃i, δ̃ : X → A∗ i niech δ̃x = δ̃(x).
Definicja 1.37
Reguła decyzyjna δ̃ : (X , A) → (A∗ , J ∗ ) nazywa się regułą opartą na statystyce T , gdy istnieje Cmierzalna funkcja ψ : T → A∗ taka, że
δ̃x = ψ(T (x)) x ∈ X
Załóżmy, że X jest borelowskim podzbiorem Rk oraz że dla dowolnych θ ∈ Θ oraz A ∈ A istnieje
wersja prawdopodobieństwa warunkowego Pθ [A | T = t] taka, że P [· | T = t] jest miarą probabilistyczną
na (X , A) dla dowolnego t ∈ T .
Ponieważ T jest statystyką dostateczną dla P, to rozkład warunkowy nie zależy od θ. Niech δ̃ ∈ D̃ i
niech
Z
δ̃t0 (B) =
δ̃x (B) dP (x|T = t)
X
Wtedy δ̃t0 nie zależy od θ i jest rozkładem z A∗ i jest funkcją statystyki T (jest na niej oparta).
Lemat 1.38
Niech f będzie J mierzalną i δ̃x całkowalną dla każdego x ∈ X funkcją rzeczywistą określoną na A.
Jeśli całka
Z Z
f (a) dδ̃x (a) dP (x|T = t)
X
A
istnieje i jest skończona dla każdego t ∈ T , to funkcja f jest δ̃t0 -całkowalna dla każdego t ∈ T i zachodzi
równość
Z
Z Z
f (a) dδ̃t0 (a) =
f (a) dδ̃x (a) dP (x|T = t)
A
X
A
6
1.6
Istotna klasy reguł opartych na statystyce dostatecznej
1
TEORIA GIER
Twierdzenie 1.39
Jeżeli T jest statystyką dostateczną dla P = {Pθ | θ ∈ Θ} na (X , A), to zbiór D̃0 ⊆ D̃ reguł opartych
na statystyce T jest klasą istotnie zupełną dla gry hΘ, D̃, R̃i.
Twierdzenie 1.40
Niech A będzie wypukłym podzbiorem Rk , a funkcja L(θ, a) wypukłą funkcją zmiennej a ∈ A dla
każdego θ ∈ Θ. Niech T będzie statystyką dostateczną dla Θ. Wówczas jeżeli dla pewnego θ0 ∈ Θ
istnieją stałe ε > 0 oraz c ∈ R takie, że L(θ0 , a) ≥ ε||a|| + c, to klasa D̃0 niezrandomizowanych reguł
decyzyjnych opartych na T jest klasą istotnie zupełną dla gry hΘ, D̃, R̃i
Twierdzenie 1.41 (Rao, Blackwell)
Niech A będzie wypukłym podzbiorem Rk , a funkcja L(θ, a) wypukłą funkcją zmiennej a ∈ A dla
każdego θ ∈ Θ. Niech T będzie statystyką dostateczną dla Θ. Jeżeli d ∈ D jest niezrandomizowaną
reguła decyzyjną, to reguła d0 ∈ D dana wzorem
d0 (t) = E[d(X) | T = t]
jest nie gorsza niż reguła d.
7
2
2
2.1
ESTYMACJA
Estymacja
Estymacja bayesowska
Niech Θ będzie otwartym podzbiorem Rk i niech Ξ będzie najmniejszym σ-ciałem podzbiorów zbioru Θ
zawierającego jako swoje elementy wszystkie jednoelementowe podzbiory zbiory Θ i względem którego
wszystkie funkcje R(·, d) dla d ∈ D są mierzalne.
θ
Załóżmy, że P µ dla pewnej σ-skończonej miary µ. Niech f (x, θ) = dP
dµ (x). Ponadto, niech f (x, θ)
będzie A ⊗ Ξ - mierzalną funkcją. Niech τ będzie ustalonym rozkładem a priori na (Θ, Ξ), absolutnie
ciągłym względem σ-skończonej miary ζ i niech h(θ) = dτ
dζ (θ). Wówczas
g(x, θ) = f (x, θ)h(θ)
jest gęstością łącznego rozkładu wektora losowego (X, θ) względem miary µ ⊗ ζ. Z twierdzenia Bayesa
wynika, że dla µ-prawie każdego x ∈ X gęstość warunkowa rozkładu τ (θ|x) zmiennej losowej θ pod
warunkiem X = x, zwanego rozkładem a posteriori parametru θ wyraża się wzorem
f (x, ϑ)h(ϑ)
f (x, ϑ)h(ϑ)
=
f
(x,
θ)h(θ)
ζ(dθ)
f (x)
Θ
h(ϑ|x) = R
Twierdzenie 2.1
Jeśli istnieje reguła decyzyjna d0 ∈ D taka, że dla µ-prawie każdego x ∈ X zachodzi
Z
Z
L(θ, d(x))h(θ|x) ζ(dθ)
L(θ, d0 (x))h(θ|x) ζ(dθ) = inf
Θ
d∈D
Θ
oraz r(τ, d0 ) < ∞, to d0 jest bayesowską reguła decyzyjną względem rozkładu a priori τ
Rozważmy grę statystyczną hΘ, G, Ri, gdzie G jest zbiorem niezrandomizowanych reguł decyzyjnych
γ̂ : X → A = R, estymatorów funkcji γ, dla których R(θ, γ̂) < ∞
Definicja 2.2
Estymatorem bayesowskim funkcji γ : Θ → R względem rozkładu a priori τ nazywamy regułę decyzyjną
γ̂0 ∈ G, dla której
r(τ, γ̂0 ) = inf r(τ, γ̂)
γ̂∈G
Twierdzenie 2.3
Niech γ : Θ → R i niechR L(θ, a) = χ(θ)[γ(θ) − a]2 , a rozkład a priori τ będzie taki, że Rτ (γ̂, x) =
Eτ [L(θ, γ̂(X)|X = x] = Θ L(θ, γ̂(x))h(θ|x) ζ(dθ) < ∞ dla µ-prawie każdego x ∈ X i każdego γ̂ ∈ G.
Wówczas statystyka postaci
Eτ [χ(θ)γ(θ)|X = x]
γ̂0 (x) =
Eτ [χ(θ)|X = x]
jest estymatorem bayesowskim funkcji γ względem rozkładu a priori τ , przy założeniu, że r(τ, γ̂0 ) < ∞.
Twierdzenie 2.4
Niech L(θ, a) = |θ − a| i γ(θ) = θ. Niech τ będzie rozkładem a priori dla którego Rτ (γ̂, x) < ∞ dla
µ-prawie każdego x ∈ X i każdego γ̂ ∈ G. Wówczas statystyka
θ̂(x) = meτ (θ|X = x)
jest estymatorem bayesowskim parametru θ względem rozkładu a priori τ .
8
2.2
Estymacja minimaksowa
2
ESTYMACJA
Definicja 2.5
Rodzinę Θ∗0 rozkładów a priori parametru θ nazywamy sprzężoną rodziną rozkładów a priori dla
P = {Pθ | θ ∈ Θ}, gdy dla każdego Pθ ∈ P i każdego τ ∈ Θ∗0 rozkład a posteriori τ (θ|x) ∈ Θ∗0 .
Definicja 2.6
Reguła δ ∈ D∗ nazywa się granicą reguł bayesowskich δn ∈ D∗ względem rozkładów a priori τn
odpowiednio, gdy δn (x) zbiega słabo do δ(x) dla µ- prawie wszystkich x.
Definicja 2.7
Reguła decyzyjna δ0 ∈ D0 nazywa się uogólnioną reguła bayesowską, gdy istnieje σ-skończona miara
τ na (Θ, Ξ) taka, że całka
Z Z
L(θ, z(x)) δ(dz) f (x, θ) τ (dθ)
Θ
X
osiąga skończone minimum dla δ = δ0 .
Definicja 2.8
Reguła δ0 ∈ D nazywa się rozszerzoną regułą bayesowską, gdy dla każdego ε > 0 istnieje rozkład a
priori τε taki, że δ0 jest regułą ε-bayesowską względem τε .
2.2
Estymacja minimaksowa
Definicja 2.9
Reguła decyzyjna δ0 ∈ D∗ jest minimaksowa
• w grze hΘ, D∗ , R∗ i, gdy
sup R∗ (θ, δ0 ) = inf ∗ sup R∗ (θ, δ)
(1)
sup r(τ, δ0 ) = inf ∗ sup r(τ, δ)
(2)
δ∈D θ∈Θ
θ∈Θ
• w grze hΘ∗ , D∗ , ri, gdy
δ∈D τ ∈Θ∗
τ ∈Θ∗
Twierdzenie 2.10
Niech τ będzie rozkładem a priori dla reguły decyzyjnej d0 , bayesowskiej względem τ . Jeśli zachodzi
Z
r(τ, d0 ) =
R(θ, d0 ) τ (dθ) = sup R(θ, d0 )
θ∈Θ
Θ
Wówczas
(a) d0 jest minimaksowa
(b) Jeśli d0 jest jedyną regułą bayesowską względem danego rozkładu a priori τ , to d0 jest jedyną
regułą minimaksową
(c) rozkład τ jest rozkładem najmniej korzystnym.
Wniosek 2.11
Jeśli reguła bayesowska ma stałe ryzyko, to jest minimaksowa
Wniosek 2.12 (twierdzenie Hodgesa-Lehmanna)
Niech Θτ będzie zbiorem punktów parametru θ na którym funkcja ryzyka R(θ, d) reguły bayesowskiej
względem rozkładu a priori τ osiąga swoje maksimum. Jeżeli τ (Θτ ) = 1, to d jest minimaksowa.
9
2.3
Dopuszczalność estymatorów bayesowskich i minimaksowych
2
ESTYMACJA
Twierdzenie 2.13
Jeżeli reguła decyzyjna dn jest bayesowska względem rozkładu a priori τn oraz jeżeli limn→∞ r(τn , dn ) ≤ c
i istnieje reguła d0 dla której dla dowolnego θ ∈ Θ R(θ, d0 ) ≤ c, to istnieje wartośc gry i reguła d0 jest
minimaksowa.
Wniosek 2.14
Jeżeli d0 jest rozszerzoną reguła bayesowską oraz dla dowolnego θ ∈ Θ R(θ, d0 ) = c, to d0 jest minimaksowa.
Twierdzenie 2.15
Jeżeli d0 jest bayeswoska względem rozkładu a priori τ0 i
∀θ ∈ Θ
R(θ, d0 ) ≤ r(τ0 , d0 )
to istnieje wartość gry, d0 jest minimaksowa, a τ0 jest rozkładem najmniej korzystnym.
2.3
Dopuszczalność estymatorów bayesowskich i minimaksowych
Twierdzenie 2.16
Jeżeli istnieje jedyna (z dokładnością do równoważności) reguła bayesowska względem rozkładu a
priori, to jest ona dopuszczalna.
Twierdzenie 2.17
Niech dana będzie gra hΘ, D, Ri gdzie Θ jest otwartym podzbiorem R. Załóżmy, że funkcja ryzyka
R(θ, d) jest ciągłą funkcją zmiennej θ dla każdej d ∈ D. Jeżeli d0 ∈ D jest regułą bayesowską względem
rozkładu a priori τ takiego, że suppτ = clΘ i jeżeli r(τ, d0 ) < ∞, to d0 jest dopuszczalna.
Twierdzenie 2.18
Zachodzi
(a) Jeżeli d0 jest minimaksowa wyznaczona jednoznacznie, to d0 jest dopuszczalna
(b) Jeżeli d0 jest dopuszczalna i ma stałe ryzyko, to jest minimaksowa
Twierdzenie 2.19 (Girshick, Savage)
Jeżeli statystyka T ma rozkład o gęstości względem σ-skończonej miary µ postaci f (t; θ) = C(θ)eθt h(t)
oraz γ(θ) = Eθ [T ], to T jest estymatorem dopuszczalnym i minimaksowym funkcji γ(θ) przy założeniu,
2
2
2
że funkcja straty ma postać L(θ, a) = (γ(θ)−a)
σ 2 (θ) , gdzie σ (θ) = Dθ [T ].
2.4
Asymptotyczna efektywność estymatorów
Niech P = {Pθ | θ ∈ Θ}, gdzie Θ = R każde Pθ jest rozkładem na (X , A) absolutnie ciągłym względem
σ-skończonej miary µ z gęstością f (x, θ).
Definicja 2.20 (Warunki regularności)
Mówimy, że rodzina P spełnia warunki regularności
1. Θ jest otwartym podzbiorem R oraz {x | f (x, θ) > 0} nie zależy od θ
2. Dla każdej θ ∈ Θ oraz prawie każdego x istnieją pochodne
∂
log(f (x, θ))
∂θ
∂2
log(f (x, θ))
∂θ2
10
∂3
log(f (x, θ))
∂θ3
2.4
Asymptotyczna efektywność estymatorów
2
ESTYMACJA
3. Dla każdej θ0 ∈ Θ istnieją funkcje gθ0 , hθ0 oraz Hθ0 , takie że na pewnym otoczeniu θ0 dla prawie
wszystkich x zachodzi
3
2
∂
log(f (x, θ)) ≤ gθ0 (x) ∂ log(f (x, θ)) ≤ hθ0 (x) ∂ log(f (x, θ)) ≤ Hθ0 (x)
∂θ3
∂θ2
∂θ
R
R
R
przy czym gθ0 (x) µ(dx) < ∞, hθ0 (x) µ(dx) < ∞ i Hθ0 (x) Pθ (dx) < ∞ na pewnym otoczeniu
θ0
4. Dla każdej θ istnieje wartość oczekiwana
0 < I(θ) = Eθ
∂
log(f (X, θ)) < ∞
∂θ
Twierdzenie 2.21 (Rao-Cramér-Fréchet)
Niech X = (X1 , . . . Xn ) będzie próbą z rozkładu z gęstością f (x, θ), spełniającą warunki (1)−(4). Niech
T (X) będzie estymatorem różniczkowalnej funkcji γ(θ) i niech b(θ) = Eθ [T (X) − γ(θ)]. Wówczas
1. Dla każdej θ
[γ 0 (θ) + b0 (θ)]2
Eθ (T (X) − γ(θ))2 ≥
nI(θ)
2. Jeżeli T jest estymatorem nieobciążonym funkcji γ, to
[γ 0 (θ)]2
Dθ (T (X) − γ(θ))2 ≥
nI(θ)
Wniosek 2.22
Równość w nierówności C-R zachodzi tylko wtedy, gdy
n
Y
f (xk , θ) = Cn (x) exp[Qn (θ)T (x)]h(x)
k=1
Definicja 2.23
√
Estymator θ̂n , dla którego ciąg { n(θ̂n − θ)} przy n → ∞ jest asymptotycznie normalny N (0, J 2 (θ))
dla pewnej nieujemnej funkcji J 2 , nazywamy estymatorem zgodnym asymptotycznie normalnym (estymatorem CAN).
Definicja 2.24
Niech T1 oraz T2 będą estymatorami CAN parametru θ z asymptotycznymi wariancjami J12 oraz J22
odpowiednio. Estymator T1 jest estymatorem asymptotycznie efektywniejszym niż T2 , gdy
∀θ ∈ Θ
J12 (θ) ≤ J22 (θ)
oraz
∃θ0 ∈ Θ
J12 (θ0 ) < J22 (θ0 )
Niech T1,n = T1,n (X n ) oraz T2,n = T2,n (X n ). Załóżmy, że
√
oraz
√
D
n(T1,n − θ) → N (0, J 2 (θ))
D
n(T1,n0 − θ) → N (0, J 2 (θ))
gdzie n0 = n0 (n) i n0 → ∞, gdy n → ∞.
11
(3)
2.4
Asymptotyczna efektywność estymatorów
2
ESTYMACJA
Definicja 2.25
Asymptotyczną efektywnością względną estymatora T1,n względem T2,n nazywamy granicę
n0 (n)
n→∞
n
ARE(T1 : T2 ) = lim
przy założeniu, że ona istnieje i nie zależy od wyboru ciągu n0 (n) przy którym zachodzi (3)
Twierdzenie
2.26
√
D
Jeżeli n(Tk,n − θ) → N (0, Jk2 (θ)) i granica (4) istnieje, to jest równa J12 (θ)/J22 (θ)
12
(4)
3
3
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Testowanie hipotez statystycznych
3.1
Podstawowe pojęcia
Niech (X , A, P), gdzie P = {Pθ | θ ∈ Θ}, będzie przestrzenią statystyczną. Niech P = P0 ∪ P1 ,
P0 ∩ P1 = ∅. Wówczas P0 = {Pθ | θ ∈ Θ0 } oraz P1 = {Pθ | θ ∈ Θ1 }, przy czym Θ0 ∪ Θ1 = Θ i
Θ0 ∩ Θ1 = ∅.
Niech X będzie obserwowaną zmienną losową o nieznanym rozkładzie Pθ .
Definicja 3.1
Przyjmujemy następujące definicje
1. Hipotezą statystyczną nazywamy przypuszczenie, że Pθ ∈ P0 lub Pθ ∈ P1 .
2. Przypuszczenie H0 : Pθ ∈ P0 nazywamy hipotezą zerową. Natomiast przypuszczenie H1 : Pθ ∈ P1
nazywamy hipotezą alternatywną
3. Sprawdzanie hipotez statystycznych nazywamy testowaniem lub weryfikacją hipotez statystycznych
Niech X = {x1 , . . . , xn } będzie próbą. Zbiór akcji statystyka A = {a0 , a1 }, gdzie a0 -”przyjąć
hipotezę H0 ” a a1 -”odrzucić hipotezę H0 ” (”przyjąć hipotezę H1 ”).
Każda niezrandomizowana reguła decyzyjną d : X → A rozbija przestrzeń X na rozłączne podzbiory
S0 = {x | d(x) = a0 },
S1 = {x | d(x) = a1 }
Definicja 3.2
Zbiór S1 nazywamy niezrandomizowanym testem statystycznym hipotezy H0 przeciwko H1 . Zbiór S0
nazywamy obszarem przyjęcia hipotezy H0 .
Uwaga 3.3
Zbiór S1 nazywamy również obszarem odrzucenia hipotezy H0
Niech L : Θ × A → R+ będzie funkcją starty. Wtedy funkcja ryzyka testu S1 ma postać
R(θ, S1 ) = [1 − Pθ [S1 ]]L(θ, a0 ) + Pθ [S1 ]L(θ, a1 )
i zależy tylko od testu S1 poprzez prawdopodobieństwo Pθ [S1 ].
Definicja 3.4
Funkcję βS1 : Θ → [0, 1] określoną wzorem βS1 (θ) = Pθ [S1 ] nazywamy funkcją mocy testu niezrandomizowanego S1 . Wartość funkcji βs1 w punkcie θ ∈ Θ nazywamy mocą testu S1 przy alternatywie
θ.
Zbiór A∗ możemy utożsamić z odcinkiem [0, 1], gdzie a∗ ∈ A∗ oznacza prawdopodobieństwo podjęcia
akcji a1 .
Definicja 3.5
Testem zrandomizowanym hipotezy H0 przy hipotezie alternatywnej H1 nazywamy behawiorystyczną
regułę decyzyjną ϕ : X → A∗ , gdzie ϕ(x) ∈ A∗ jest prawdopodobieństwem podjęcia akcji a1 , gdy
zaobserwowano x.
13
3.2
Lemat Neymana-Pearsona
3
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Funkcja ryzyka niezrandomizowanego testu ϕ ma postać
R̃(θ, ϕ) = (1 − Eθ [ϕ(X)])L(θ, a0 ) + Eθ [ϕ(X)]L(θ, a1 ) = L(θ, a0 ) + Eθ [ϕ(X)](L(θ, a1 ) − L(θ, a0 ))
Definicja 3.6
Funkcję βϕ : Θ → [0, 1] określoną wzorem βϕ (θ) = Eθ [ϕ(X)] nazywamy funkcją mocy testu zrandomizowanego ϕ. Wartość funkcji βϕ w punkcie θ nazywamy mocą testu ϕ przy alternatywie θ.
Definicja 3.7
Test ϕ hipotezy H0 : θ ∈ Θ0 przeciwko alternatywie H1 : θ ∈ Θ1 nazywamy testem na poziomie
istotności α, α ∈ (0, 1), jeżeli
Eθ [ϕ(X)] ≤ α
θ ∈ Θ0
(prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju nie przekracza α)
Definicja 3.8
Rozmiarem testu ϕ nazywamy liczbę supθ∈Θ0 {Eθ [ϕ(X)]}
Definicja 3.9
Test ϕ0 na poziomie istotności α jest nazywamy testem jednostajnie najmocniejszym (JNM) w klasie
testów na poziomie istotności α jeżeli dla każdego testu ϕ na poziomie istotności α zachodzi
Eθ [ϕ(X)] ≤ Eθ [ϕ0 (X)]
3.2
θ ∈ Θ1
Lemat Neymana-Pearsona
Twierdzenie 3.10 (Lemat Naymana-Pearsona)
Niech P0 i P1 będą rozkładami prawdopodobieństwa o gęstościach odpowiednio f0 i f1 ze względu na
pewną σ-skończoną miarę µ na przestrzeni mierzalnej (X , A). Wówczas
(a) Dla testowania hipotezy H0 : f0 = f1 przeciwko H1 : f0 6= f1 dla każdego α ∈ (0, 1) istnieje test
ϕ i taka stała k, że
Eθ [ϕ(X)] = α
(5)
gdzie
ϕ(x) = 1{f1 >kf0 } (x)
(6)
(b) Jeżeli test ϕ spełnia warunki (5) i (6) dla pewnego k, to jest on testem jednostajnie najmocniejszym dla testowania H0 przeciwko H1
(c) Jeżeli ϕ jest testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności α dla testowania hipotezy
H0 przeciwko H1 , to dla pewnego k spełnia on warunek (6) µ-p.w., a ponadto spełnia on warunek
(5), chyba że istnieje test o rozmiarze mniejszym od α o mocy równej 1.
Wniosek 3.11
Niech β oznacza moc testu najmocniejszego na poziomie istotności α ∈ (0, 1) dla testowania hipotezy
H0 : P0 = P1 przeciwko H1 : P0 6= P 1. Wówczas α < β, chyba, że P0 = P1 .
Uwaga 3.12
Testy JMN są funkcjami minimalnej statystyki dostatecznej.
14
3.3
3.3
Testy JMN dla rodzin z monotonicznym. . .3
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
Testy jednostajnie najmocniejsze dla rodzin z monotonicznym ilorazem
wiarygodności
Definicja 3.13
Niech P będzie rodziną rozkładów na (X , A) dominowaną przez σ-skończoną miarę µ, a f (x; θ)- gęstością Pθ ∈ P względem µ. Mówimy, że rodzina P jest rodziną z monotonicznym ilorazem wiarygodności
0
)
(względem funkcji T ), jeżeli dla θ > θ0 funkcja ff(x;θ
(x;θ) jest niemalejącą funkcją (statystyki) T (x).
Twierdzenie 3.14 (Karlina, Rubina)
Niech P = {Pθ | θ ∈ Θ} będzie rodziną z monotonicznym ilorazem wiarygodności względem funkcji T .
Wówczas
(a) W problemie testowania H0 : θ ≤ θ0 , H1 : θ > θ0 , test określony wzorem

 1 gdy T (x) > C
ζ gdy T (x) = C
ϕ(x)

0 gdy T (x) < C
(7)
gdzie stałe C i ζ są wyznaczone z warunku
Eθ0 [ϕ(X)] = α
(8)
jest testem JNM na poziomie istotności α.
(b) Funkcja mocy testu ϕ, βϕ (θ) = Eθ [ϕ(X)] jest rosnącą funkcją parametru θ, dla każdego θ takiego,
że βϕ (θ) < 1.
(c) Dla każdego θ0 test określony przez (7) i (8) jest testem JNM dla testowania hipotezy H00 : θ ≤ θ0 ,
H10 : θ > θ0 na poziomie istotności α0 = βϕ (θ0 ).
(d) Dla każdego θ < θ0 test ϕ minimalizuje βϕ (θ) wśród wszystkich testów spełniających (8).
Wniosek 3.15
Niech θ ∈ Θ ⊆ R oraz niech rodzina rozkładów P będzie dominowana przez σ-skończoną miarę µ z
gęstościami postaci
f (x; θ) = C(θ)h(x) exp{Q(θ)T (x)}
(9)
gdzie Q jest ściśle monotoniczna. Wówczas istnieje JNM test ϕ na poziomie istotności α dla testowania
H0 : θ ≤ θ0 przeciwko H1 : θ > θ0 . Dodatkowo, jeżeli Q jest rosnąca, to ϕ jest postaci (7) przy
zachowaniu warunku (8).
3.4
Testy jednostajnie najmocniejsze dla hipotez dwustronnych
Weryfikujemy hipotezę H : θ ∈
/ (θ1 , θ2 ) przeciwko A : θ ∈ (θ1 , θ2 ).
Twierdzenie 3.16 (uogólniony lemat Neymanna-Pearsona)
Niech f1 , f2 , . . . , fr+1 będą mierzalnymi funkcjami rzeczywistymi określonymi na przestrzeni euklidesowej X i całkowalnych względem σ-skończonej miary µ. Załóżmy, że dla ustalonych stałych
C1 , C2 , . . . , Cr istnieje funkcja krytyczna ϕ spełniająca warunek
Z
ϕ(x)fi (x) dµ(x) = Ci
i ∈ [r]
(10)
X
Niech R oznacza zbiór funkcji krytycznych spełniających (10). Wówczas
15
?
3.4
Testy JNM dla hipotez dwustronnych
3
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
(a) W zbiorze R istnieje element maksymalizujący całkę
Z
ϕ(x)fr+1 (x) dµ(x)
(11)
X
(b) Warunkiem dostatecznym na to, aby ϕ ∈ R maksymalizowało całkę (11) jest istnienie stałych
k1 , k2 , . . . , kr takich, że
Pr
1 gdy fr+1 (x) > Pi=1 ki fi (x)
ϕ(x) =
(12)
r
0 gdy fr+1 (x) ≤ i=1 ki fi (x)
(c) Jeżeli funkcja ϕ ∈ R spełnia warunek (12) przy nieujemnych stałych k1 , k2 , . . . , kr , to ϕ maksymalizuje całkę (11) w zbiorze wszystkich funkcji spełniających
Z
ϕ(x)fi (x) dµ(x) ≤ Ci
i ∈ [r]
X
(d) Zbiór M punktów z r-wymiarowej przestrzeni, których współrzędne dla pewnej funkcji krytycznej
są postaci
Z
Z
ϕ(x)f1 (x) dµ(x), . . . ,
X
ϕ(x)fr (x) dµ(x)
X
jest wypukły i domknięty. Jeżeli (C1 , C2 , . . . , Cr ) jest punktem wewnętrznym zbioru M to istnieją
stałe k1 , k2 , . . . kr i funkcja krytyczna ϕ spełniająca warunki (10) i (12). Warunkiem koniecznym
na to, aby funkcja ϕ ∈ R maksymalizowała całkę (11) jest zachodzenie warunku (12) µ-p.w.
Wniosek 3.17
Niech f1 , f2 , . . . , fr+1 będą gęstościami ze względu na σ-skończoną miarę µ i niech 0 < α < 1. Jeżeli
nie zachodzi
r
X
fr+1 =
ri fi
µ-p.w.
i=1
to nie istnieje test ϕ taki, że
Ei [ϕ(X)] = α
i ∈ [r]
oraz
Er+1 [ϕ(X)] < α
Twierdzenie 3.18
Niech P = {Pθ |θ ∈ Θ = R} będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonymi na przestrzeni
prób (X , A) mających gęstości względem miary µ postaci
f (x; θ) = C(θ)h(x) exp{Q(θ)T (x)}
gdzie Q jest funkcją rosnącą. Wówczas
(a) Dla testowania hipotezy H : θ ∈
/ [θ1 , θ2 ], K : θ ∈ [θ1 , θ2 ] istnieje test JNM na poziomie istotności
α ∈ (0, 1) postaci

 1 gdy C1 < T (x) < C2
ζi gdy T (x) = Ci
ϕ(x) =
(13)

0
poza tym
gdzie stałe C1 , C2 , ζ1 , ζ2 są wyznaczone z warunków
Eθ1 [ϕ(X)] = Eθ2 [ϕ(X)] = α
16
(14)
3.4
Testy JNM dla hipotez dwustronnych
3
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
(b) Test ϕ minimalizuje funkcję mocy β(θ) = Eθ [ϕ(X)] przy warunku (14) dla wszystkich θ ∈
/ [θ1 , θ2 ]
(c) Dla α ∈ (0, 1) funkcja mocy tego testu osiąga maksimum w punkcie θ0 zawartym między θ1 i θ2 i
ściśle maleje zarówno przy θ rosnącym jak i przy θ malejącym od punktu θ0 . Jedynym wyjątkiem
jest przypadek, w którym istnieją wartości t1 i t2 takie, że
Pθ [T (x) = t1 ] = Pθ [T (x) = t2 ] = 1
17
θ∈Θ
4
4
TESTY NIEOBCIĄŻONE
Testy nieobciążone
4.1
Nieobciążoność w testowaniu hipotez
Definicja 4.1
Test hipotezy H : θ ∈ ΘH przeciwko K : θ ∈ ΘK , którego funkcja mocy βθ (theta) = Eθ [ϕ(X)] spełnia
warunek
βϕ (θ) ≤ α
θ ∈ ΘH
oraz
βϕ (θ) ≥ α
θ ∈ ΘK
nazywamy testem nieobciążonym na poziomie istotności α.
Wniosek 4.2
Jeżeli istnieje test JNM na poziomie istotności α dla testowania hipotezy H : θ ∈ ΘH przeciwko
K : θ ∈ ΘK to jest on testem nieobciążonym na poziomie istotności α.
Niech ΘB = ΘH ∩ ΘK
Wniosek 4.3
Jeżeli funkcja mocy testu nieobciążonego na poziomie istotności α jest ciągła, to
θ ∈ ΘB
β(θ) = α
(15)
Definicja 4.4
Test ϕ nazywamy α-podobnym na brzegu ΘB wtedy i tylko wtedy, gdy jego funkcja mocy spełnia
warunek (15).
Lemat 4.5
Jeżeli rodzina rozkładów P = {Pθ | θ ∈ Θ} ma tę własność, że moc wszystkich testów jest ciągła i
jeżeli ϕ0 jest testem JNM wśród wszystkich testów α-podobnych na brzegu hipotezy H na poziomie
istotności α, to ϕ0 jest testem nieobciążonym na poziomie istotności α.
Twierdzenie 4.6
Niech P = {Pθ | θ ∈ Θ} będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa na (X , A) o gęstościach
względem σ-skończonej miary µ postaci
f (x; θ) = C(θ)h(x) exp{θT (x)}
(16)
Wtedy
(a) Dla testowania H : θ ∈ [θ1 , θ2 ], K : θ ∈
/ [θ1 , θ2 ] istnieje JNM test nieobciążony na poziomie
istotności α postaci

 1 gdy C1 < T (x) < C2
ζi gdy T (x) = Ci
ϕ(x) =
(17)

0
poza tym
gdzie stałe C1 , C2 , ζ1 , ζ2 są wyznaczone z warunków
Eθ1 [ϕ(X)] = Eθ2 [ϕ(X)] = α
(18)
(b) Dla testowania H 0 : θ = θ0 , K 0 : θ 6= θ0 istnieje JNM test nieobciążony na poziomie istotności α
postaci (17) gdzie Ci , ζi są dobrane, by
Eθ0 [ϕ(X)] = α
18
(19)
4.2
Testy o strukturze Neymana
4
TESTY NIEOBCIĄŻONE
oraz
Eθ0 [T (X)ϕ(X)] = Eθ0 [T (X)]α
4.2
(20)
Testy o strukturze Neymana
Rozważmy rodzinę PB = {Pθ | θ ∈ ΘB } ⊆ P gdzie ΘB = ΘH ∩ ΘK . Niech T będzie statystyką
T
dostateczną dla PB , a PB
= {PθT | θ ∈ ΘB } będzie rodziną jej rozkładów. Wtedy każdy test ϕ
spełniający warunek
T
Eθ [ϕ(X) | T = t] = α
PB
-p.w
(21)
jest α-podobny na brzegu ΘB .
Definicja 4.7
Test ϕ spełniający warunek (21) nazywamy testem o strukturze Neymana ze względu na statystykę T .
Twierdzenie 4.8
Niech T będzie statystyką dostateczną dla PB . Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by test
α-podobny na brzegu ΘB dla testowanie hipotezy H : θ ∈ ΘH przy alternatywie K : θ ∈ ΘK miał
T
była ograniczenie
strukturę Neymana ze względu na statystykę T jest, aby rodzina rozkładów PB
zupełna.
4.3
JNM testy nieobciążone dla nieparametryczny miar wykładniczych*
www.math.uni.wroc.pl/∼s232966/
data kompilacji: 10 lutego 2013