3. Warstwy grupy wzgle dem podgrupy, twierdzenie Lagrange`a

15
3. Warstwy grupy wzgle,dem podgrupy, twierdzenie Lagrange’a
Stwierdzenie, że rza,d podgrupy jest dzielnikiem rze,du grupy, które już udowodniliśmy dla grup cyklicznych, jest prawdziwe dla wszystkich grup skończonych i nosi
nazwe, twierdzenia Lagrange’a.
Niech G be,dzie dowolna, (niekoniecznie skończona,) grupa,, a H 6 G jej podgrupa,.
Dla dowolnego g ∈ G rozpatrzmy podzbiór gH = {gh; h ∈ H} ⊆ G. Latwo
zauważyć, że:
1) zbiór gH jest klasa, abstrakcji zawieraja,ca, g naste,puja,cej relacji równoważności
w zbiorze elementów G: x ∼ y ⇐⇒ x−1 y ∈ H. Zbiór gH nazywamy warstwa,
lewostronna, elementu g wzgle,dem podgrupy H.
2) 1H = H
3) Dowolne dwie warstwy lewostronne sa, równoliczne, w szczególności każda warstwa jest równoliczna ze zbiorem H (przyporza,dkowanie h 7→ gh ustala bijekcje,
zbioru H i warstwy gH).
Zbiór warstw lewostronnych oznaczamy symbolem G/H, a jego moc nazywamy
indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy [G: H]. (Uwaga: analogicznie można
zdefiniować warstwy prawostronne grupy G wzgle,dem podgrupy H — sa, to podzbiory postaci Hg = {hg : h ∈ H} ⊆ G).
Z faktu, że każda warstwa lewostronna ma tyle samo elementów, co podgrupa
H wynika natychmiast naste,puja,ce twierdzenie.
3.1. Twierdzenie Lagrange’a. Jeżeli G jest grupa, skończona, i H 6 G, to |G| =
|H| · [G: H].
To proste twierdzenie ma szereg oczywistych, ale ważnych, konsekwencji:
3.2. Wniosek. Rza,d elementu jest dzielnikiem rze,du grupy.
3.3. Wniosek. Każda grupa rze,du p, gdzie p jest liczba, pierwsza,, jest izomorficzna
z Zp .
Dowód. Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że podgrupa cykliczna generowana przez
dowolny element różny od neutralnego musi być rze,du p, a wie,c musi być równa
calej rozpatrywanej grupie.
3.4. Stwierdzenie. Grupa skończona G rze,du n jest cykliczna wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego k | n zawiera co najwyżej jedna, podgrupe, rze,du k.
Dowód. Wystarczy pokazać, że w grupie G istnieje element rze,du n. Niech ν(k)
oznacza liczbe, elementów rze,du k w grupie G. Z zalożenia wynika, że
ν(k) ≤ ϕ(k),
gdzie ϕ jest funkcja, Eulera.Z twierdzenia Lagrange’a wnioskujemy że ν(k) ma szanse,
być niezerowe tylko wtedy, gdy k | n. Zatem
n=
X
k|n
ν(k) ≤
X
ϕ(k) = n,
k|n
a wie,c dla każdego k | n zachodzi równość ν(k) = ϕ(k). W szczególności
ν(n) = ϕ(n) > 0, co kończy dowód.
16
W zwia,zku z twierdzeniem Lagrange’a nasuwa sie, pytanie o możliwość jego
odwrócenia. Zalóżmy, że k jest dzielnikiem |G|. Czy istnieje podgrupa rze,du k
grupy G i ile jest takich podgrup? Cze,ściowa, odpowiedzia, na to pytanie be,dzie
twierdzenie Cauchy’ego, które mówi, że jeżeli liczba pierwsza p jest dzielnikiem |G|,
to w G istnieje element rze,du p, a wie,c i cykliczna podgrupa rze,du p. Udowodnimy
je w naste,pnym rozdziale.