1 Zadania
Transkrypt
1 Zadania
Matematyka 1 Matematyka Dyskretna Lista 4 Zadania 1. Pokazać, że krawędź e grafu G jest krawędzią rozspajającą wtedy i tylko wtedy, gdy e nie należy do żadnego cyklu. Czy taka teza jest prawdziwa dla wierzchołków? 2. Jaką największą liczbę wierzchołków rozspajających może mieć graf rzędu n? 3. Wyznaczyć κ(T ) i λ(T ) dla co najmniej 2-wierzchołkowego drzewa T . 4. Znaleźć κ(G) i λ(G) dla następujących grafów G: P4 , P5 , graf Petersena, K5 − e, K1,3 + K1 , W5 . 5. Pokazać, że dla dowolnego grafu G mamy δ(G) λ(G). 6. (a) Skonstruować graf G1 , dla którego zachodzi δ(G1 ) > λ(G1 ) > κ(G1 ). (b) Skonstruować graf G2 , dla którego zachodzi δ(G2 ) = λ(G2 ) = κ(G2 ). (c) Skonstruować graf G3 , dla którego zachodzi δ(G3 ) = 6, λ(G3 ) = 4, κ(G3 ) = 1. 7. Pokazać, że każdy k-spójny n wierzchołkowy graf ma co najmniej kn 2 krawędzi. 8. Niech G będzie grafem regularnym stopnia r oraz κ(G) = 1. Pokazać, że ⌊ 2r ⌋ λ(G). 9. Niech G będzie r-regularnym, r 2, grafem dwudzielnym. Pokazać, że G nie ma mostów. 10. Pokazać, że nie istnieje graf 3-spójny rozmiaru 7. 11. Pokazać, że κ(G) = λ(G) dla dowolnego 3-regularnego grafu G. 1.1 Wskazówki Ad. 6(a). Np. Bierzemy dwie kopie grafu K5 − e i łączymy odpowiednio wierzchołki, które są końcami usuniętych krawędzi w obu kopiach. Ad. 6(b). Np. Cn . Podać inne przykłady. Ad. 6(c). Np. Bierzemy dwie kopie K7 i jedną kopię K1 . Łączymy wierzchołek z K1 z czterema wierzchołkami każdej kopii. Podać inne przykłady. Ad. 7. Skorzystać ze wzoru Eulera na liczbę krawędzi grafu G (połowa sumy stopni wierzchołków) oraz zależności pomiędzy minimalnym stopniem wierzchołków grafu i spójnością. Ad. 8. Wykorzystać fakt, że w G istnieje wierzchołek rozspajajacy, a graf jest r-regularny. Ad. 9. Wykorzystać własności grafów dwudzielnych z Listy 1. Ad. 11. Rozpatrzmy najmniejszy zbiór rozspajający S grafu G. Ponieważ λ(G) κ(G), wystarczy znaleźć zbiór rozspajający krawędzi mocy |S|. Niech G1 i G2 będą dwoma komponentami grafu G − S. Ponieważ S jest najmniejszy, każdy wierzchołek u ∈ S ma sąsiada w G1 i G2 . Z powyższego i 3-regularności wynika, że u ma dokładnie jednego sąsiada w G1 lub w G2 . Teraz już łatwo wyznaczyć odpowiedni zbiór rozspajający krawędzi przez rozpatrzenie kilku przypadków. 1