Matematyka Dyskretna 11/2008 1. Udowodnić, że dla dowolnego
Transkrypt
Matematyka Dyskretna 11/2008 1. Udowodnić, że dla dowolnego
Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna 11/2008 1. Udowodnić, że dla dowolnego grafu G = (V, E) zachodzi nierówność: χe (G) > |E| b 21 |V |c . 2. Niech G będzie grafem, w którym każdy wierzchołek z wyjątkiem jednego ma stopień d. Pokazać, że jeżeli można pokolorować krawędzie grafu G za pomocą d kolorów, to a) G ma nieparzystą liczbę wierzchołków; b) G ma wierzchołek stopnia zero. 3. Niech G będzie grafem, w którym każdy wierzchołek ma stopień d. Załóżmy ponadto, że G ma wierzchołek, którego usunięcie (wraz ze wszystkimi dochodzącymi do niego krawędziami) rozspójnia G. Pokazać, że χe (G) = d + 1. 4. Niech G będzie grafem hamiltonowskim, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3. Pokazać, że χe (G) = 3. 5. Należy ułożyć plan zajęć. Ponieważ niektórzy studenci chcą uczęszczać na kilka wykładów, terminy pewnych wykładów nie mogą się pokrywać. Gwiazdki w poniższej tabeli wskazują, które pary wykładów nie mogą nakładać się na siebie. Ile terminów należy zarezerwować w planie zajęć dla tych siedmiu wykładów? a b c d e f g a b c d e f g − ∗ ∗ ∗ − − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ ∗ − − ∗ − − ∗ − − − − − − − ∗ ∗ − − ∗ ∗ ∗ − − − ∗ − 6. Wyznaczyć minimalną liczbę kolorów potrzebnych do pokolorowania ścian każdego z grafów platońskich, tak aby sąsiednie ściany miały różne kolory. 7. Jaka jest liczba chromatyczna: (a) Każdego z grafów platońskich? (b) Grafu Petersena? (c) Kostki Qn ? 8. Niech G będzie grafem planarnym prostym nie zawierającym trójkątów. Udowodnić, że (a) G zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej 3. (b) G jest 4-kolorowalny. 9. Niech G będzie grafem powstałym z grafu pełnego Kn przez usunięcie jednej krawędzi. Udowodnić, że χ(G) = n − 1. 10. Niech G będzie grafem. Pokazać, że ma on co najmniej χ(G) wierzchołków stopnia χ(G) − 1 lub większego. 11. Rozważmy mapę mającą mniej niż 12 regionów, w której stopień każdego wierzchołka jest co najmniej 3. Pokazać, że istnieje region ograniczony co najwyżej czterema krawędziami. Nie stosując twierdzenia o czterech barwach, pokazać, że mapa taka może być pokolorowana czterema kolorami. 1 Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne 12. Pokazać, że graf G = (V, E) jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy χ(G) 6 2. 13. Mając zadaną liczbę całkowitą d > 1, podać przykład grafu G o największym stopniu wierzchołka równym d, dla którego χ(G) = 2. Przygotował: Cz. Bagiński 2