Podróże po Imperium Liczb 05 Funkcje Arytmetyczne

Olsztyn, Toruń, 2008
Podróże po Imperium Liczb
05 Funkcje Arytmetyczne
Andrzej Nowicki
1 Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta
1.1 Splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funkcje multyplikatywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funkcje w pełni multyplikatywne . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Algebraiczne własności pierścienia funkcji arytmetycznych
1.5 Różne fakty i zadania o funkcjach arytmetycznych . . . . .
1.6 Splot Dirichleta i klasyczne funkcje arytmetyczne . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6
8
10
11
12
14
2 Funkcja Möbiusa
2.1 Definicja i podstawowe własności . . . . . . . . .
2.2 Własności splotowe funkcji Möbiusa . . . . . . .
2.3 Funkcja Möbiusa i funkcje z warunkiem n | f (n)
2.4 Funkcja Möbiusa i część całkowita . . . . . . . .
2.5 Funkcja Möbiusa i kolejne liczby naturalne . . .
2.6 Różne fakty dotyczące funkcji Möbiusa . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
16
18
20
21
21
3 Funkcja Eulera
3.1 Wzór na obliczanie wartości funkcji ϕ i multyplikatywność
3.2 Funkcja ϕ i splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Własności funkcji ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Równanie ϕ(x) = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Równania z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Podzielność n − 1 przez ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Funkcja ϕ i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Nierówności z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Iteracje funkcji ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Liczby postaci ϕ(n)/n lub n/ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Różne fakty i zadania z funkcją ϕ . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Funkcja ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
24
25
27
28
31
35
36
37
39
39
40
41
42
4 Liczba dzielników naturalnych
4.1 Podstawowe fakty o funkcji τ . . . . . . .
4.2 Przykłady i własności . . . . . . . . . . .
4.3 Funkcja τ i splot Dirichleta . . . . . . . .
4.4 Liczby τ (n2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Liczby τ (n)s . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Kolejne liczby naturalne . . . . . . . . . .
4.7 Nierówności i funkcja τ . . . . . . . . . .
4.8 Ciągi rekurencyjne z funkcją τ . . . . . .
4.9 Suma sześcianów i kwadrat sumy . . . .
4.10 Liczba dzielników i szeregi . . . . . . . .
4.11 Różne fakty i zadania dotyczące funkcji τ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
45
45
47
48
49
49
50
51
54
56
56
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Liczby dzielników szczególnej postaci
5.1 Funkcje d4,1 i d4,3 . . . . . . . . . . . . .
5.2 Funkcje d3,1 i d3,2 . . . . . . . . . . . . .
5.3 Funkcje d6,1 i d6,5 . . . . . . . . . . . . .
5.4 Liczba dzielników pierwszych . . . . . . .
5.5 Inne liczby dzielników szczególnej postaci
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
58
58
60
61
62
64
6 Suma dzielników naturalnych
6.1 Własności funkcji σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Funkcja σ i splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Równanie σ(x) = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Liczby postaci σ(n) − n . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Równanie σ(n) = n + k . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Funkcja σ i kolejne liczby naturalne . . . . . . . . . .
6.7 Funkcja σ i podzielność . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Nierówności z funkcją σ . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Liczby potęgowe postaci σ(n) . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Liczby postaci σ(n)/n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Różne fakty i zadania o sumie dzielników naturalnych
6.12 Funkcja σs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13 Iloczyn naturalnych dzielników . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
66
66
67
67
68
68
68
69
70
71
72
72
73
7 Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne
7.1 Liczby doskonałe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Liczby nadmierne i deficytowe . . . . . . . . . .
7.3 Równość σ(n) = sn . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Równość σ(n) = sn±r . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Równości postaci aσ(n) = bn . . . . . . . . . . .
7.6 Liczby zaprzyjaźnione . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Liczby praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
74
74
76
77
78
79
80
80
8 Różne funkcje arytmetyczne
8.1 Funkcje arytmetyczne zerowe od pewnego miejsca . . .
8.2 Funkcja odwrotna do funkcji g(n) = (−1)n−1 . . . . . .
8.3 Funkcja Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z nwd i nww .
8.5 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z wielomianami
8.6 Iloczyn dzielników pierwszych . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
83
83
84
85
86
87
88
9 Inne
9.1
9.2
9.3
9.4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
90
90
90
92
92
sploty
Splot Abela . . . .
Dzielniki unitarne
Splot unitarny . .
Splot i nww . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, Toruń
Olsztyńska Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania, Olsztyn
e-mail: [email protected]
2