Własności DFT

Dodatek 7
Własności DFT

Liniowość
y  n  Y  k  ,  ,  
x  n  X  k  ,
 x  n   y  n   X  k    Y  k 

Periodyczność
n  , x  n  x  n  N 
k  , X  k   X  k  N 

Symetria dualna
X  n  N1 x  k 

Inwersja czasowa
x  N  n  X  N  k 

Przesunięcie cykliczne w dziedzinie czasu o n0
x  n  n0  N   X  k  wkn0 ,
gdzie x  n  n0  N  oznacza sygnał otrzymany z x[n] ( n  0,1, 2,
przesunięcia cyklicznego o n0:
 w prawo, jeżeli n0  0 i wtedy
x  n  n0  N   x  N  n0  , x  N  n0  1 ,
x  n  n0  N   x  n0  , x  n0  1 ,

, x  N  n0  1 ,
, x  N  1 , x 0 , x 1 ,
 w lewo, jeżeli n0  0 i wtedy
, x  N  1 , x 0 , x 1 ,
N 1 ) w wyniku
, x  n0  1
Przesunięcie cykliczne w dziedzinie częstotliwości
x  n w nk0  X  k  k0  N  ,
gdzie X  k  k0  N  oznacza widmo otrzymane z X[k] ( k  0,1, 2,
przesunięcia cyklicznego o k0:
 w prawo , jeżeli k0  0 i wtedy
X  k  k0  N    X  N  k0  , X  N  k0  1 ,
 w lewo, jeżeli n0  0 i wtedy
, X  N  1 , X 0 , X 1 ,
N 1) w wyniku
, X  N  k0  1
X  k  k0  N    X  k0  , X  k0  1 ,

, X  N  1 , X 0 , X 1 ,
, X  k0  1
Sprzężenie
x  n   X   N  k 

Sprzężenie zespolone
Jeżeli x[n] jest sygnałem rzeczywistym oraz N/2 jest liczbą naturalną, to:
X  N2  k   X *  N2  k , k  0,1, , N2

Splot kołowy (cykliczny)
1
x  n  y  n  X  k   Y  k  ,
N
gdzie symbolem  oznaczono splot kołowy zdefiniowany następująco:
N 1
x  n  y  n   x  m y  n  m  N , n  0,1, 2,
m 0
N 1

n0
 y  0 dla
y  n  N   

 y  N  n dla n  0,1, 2, , N  1

Iloczyn sygnałów
x  n  y  n  X  k   Y   k 

Twierdzenie Parsevala
1
N
N 1

n 0
x  n 
2
N 1
 X k 
k 0
2