incompressible ciśnienie płynu

Transkrypt

INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
1
Chapter 1 - Basic concepts
PROPERTIES OF FLUIDS
WŁASNOŚCI PŁYNÓW
SOLIDS
FLUIDS
Ciało stałe : τ ~ F
a)
Płyn : τ ~ dU
c)
F
F
φ
φ
dU =
φ
r
r
A
F
b)
F
d)
φ
φ
r
dU =
τ=
a)
F
= c s dφ
A
τ=
φ
F
dφ
= cp = µ
A
dt
b)
y
U+dU
dy
dy
U
dU
U(y)
dU dt
r
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
dφ =
Newton:
2
dU
dt
dy
⇒
dφ dU
=
dt dy
cp ≡ µ = idem (dla danego płynu w stałych warunkach)
τ=µ
dφ
dU
=µ
dt
dy
NON-NEWTONION FLUID
NEWTONION FLUID
SOLID
ENERGY
KINETIC
FLUID
HEAT
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
3
ciało stałe
F
deformacja
struktury (opór
materiału)
utrzymująca się w
obecności siły
płyn
ściana nieruchoma
prędkość
wypadkowa
opór
ściana ruchoma
opór (naprężenia
styczne) istnieją
tak długo jak
długo trwa ruch
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
4
PROPERTIES OF FLUIDS, SUMMARY
Własności płynów, podsumowanie:
cONTINOUS MEDIUM
1) ośrodek ciągły
NO TENDENCY TO PRESERVE SHAPE
2) brak tendencji do postaciowości
powierzchnia
swobodna
gaz
ciecz
LARGE DENSITY DIFFERENCES WHEN COMPARED WITH SOLIDS
3) duże różnice w gęstości w porównaniu z ciałem stałym
ρ ciala stalego
>> ρ plynu ( cieczy , gazu )
SOLID
ρ stali = 8000
STEEL
kg
m3
FLUID
>> ρ wody = 1000
WATER
LIQUID
kg
m3
GAS
>> ρ powietrza = 1,2
AIR
kg
m3
IMPOSSIBLE FOR FLUIDS TO MAINTAIN SHEAR FOR A FINITE TIME
4) niemożność utrzymania przez skończony czas naprężeń
stycznych
-
NO EQUILIBRIUM POSITION BETWEEN DEFORMATION FORCE AND THE RESISTANCE OF THE MATERIAL, IN FLUIDS THERE IS ONLY AN EQUILIBRIUM
IN MOTION WITH PROPER DEFORMATION VELOCITY
- brak położenia równowagi między siłą odkształcającą i oporem
ośrodka, w stanie równowagi w płynie istnieje jedynie stan płynnej
równowagi z odpowiednią prędkością deformacji
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
5
LIQUIDS
GASES
Ciecze :
Gazy :
TAKE THE SHAPE OF A CONTAINER
NO INTERFACE
- zachowują kształt naczynia
- brak powierzchni rozdziału
WITH INTERFACE
z powierzchnią rozdziału
INCOMPRESSIBLE
( LARGE RESISTANCE TO ATTEMPTS
COMPRESSIBLE
- nieściśliwe (stawiają znaczny opór
- ściśliwe
TO CHANGE THE VOLUME )
przy próbach zmiany objętości)
WITH WEIGHT
PRACTICALLY WEIGHTLESS
- ważkie
- praktycznie nieważkie
NON-VISCOUS
VISCOUS
- lepkie
- lepkie
Skutek – zmienność oporu płynu przy zmianie temperatury
ciecz - opór maleje przy podgrzewaniu cieczy
gaz - opór rośnie przy podgrzewaniu gazu
Dlaczego:
Opór ~ ν
µ
ν=
ρ
a)
b)
ν
µ
ν
µ
µ
µ
ν
ν
θ
θ
T ↑ µ ↓ ρ = idem
T↑ µ↓ ρ↓
⇓
⇓
ν↓
ν↑
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
BASIC ASSUMPTIONS OF FLUIDS ANALYSIS
Podstawowe założenia analizy płynów
MOLECULAR STRUCTURE VERSUS CONTINUITY ASSUMPTION
1) Struktura cząsteczkowa a ciągłość płynu
FLUID ELEMENT
Element płynu !
L
L
>>1
λ
p = 10 5 [Pa ] ; T = 273 K ; powietrze
⇓
λ = 9,2 ⋅ 10 −8 [m]
L ≅ 10 −4 [m]
λ
Kn = ≅ 10 − 3
L
W. Prosnak - jeżeli Kn < 0,1 ⇒ ośrodek ciągły
EXTERNAL AND INTERNAL FORCES
2) Siły wewnętrzne i zewnętrzne
METHOD OF CROSS-SECTIONS
Metoda przekrojów
a)
b)
6
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
FLUID DENSITY
7
FLUID MASS
3) Gęstość płynu, masa płynu
ρ = lim
∆V → 0
OR
∆m dm
=
∆V dV
lub
m = ∫ ρdV
ρ=
m
V
m = ρV
V
HOMOGENEOUS, INCOMPRESSIBLE FLUID
→ płyn jednorodny, nieściśliwy
MASS FORCES
Siły masowe
∆m
∆V
A
m
V
MASS FORCE
∆ F'
ADS WITHOUT A DIRECT CONTACT
∆F’ – siła masowa – działa na odległość
TO MASS
- ~ do masy
→
→
F = lim
∆m → 0
UNIT MASS FORCE
→
→
∆ F′ 1
∆ F′ 1 d F′
= lim
=
∆
V
→
0
∆m ρ
∆V ρ dV
( PROPORTIONALITY COEFFICIENT FOR GRAVITY FORCE )
→
F – jednostkowa siła masowa (wsp. proporcjonalności dla sił
ciężkości – g)
→
→
∆ F ′ = F dV ρ
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
SURFACE FORCES
Siły powierzchniowe
∆m
m
∆S
rr
rn
A
r
∆ p'
S
→
→
→
∆ p′ d p′
=
∆S → 0 ∆ S
dS
p = lim
→
→
dp′ = p dS
DIFFERENCE
Różnica ?
UNIQUE FUNCTION OF POSITION AND TIME
→
- F - jednoznaczna funkcja położenia i czasu
DEPENDS ON MUTUAL ORIENTATION OF
→
→
→
- p - zależy od wzajemnej orientacji r i n
Podsumowanie
EXTERNAL FORCES
Siły zewnętrzne:
MASS FORCES
- siły masowe
PRESSURE FORCES
- siły ciśnieniowe
INTERNAL FORCES
Siły wewnętrzne:
VISCOSITY FORCES ( ALSO SURFACE RELATED )
- siły lepkości (także powierzchniowe)
8
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
MODELS OF FLUID
Modele płynu
FORCES
Siły:
VISCOSITY
- lepkości
GRAVITY
REAL
- ciężkości
rzeczywisty
COMPRESSIBILITY
- ściśliwości
INERTIA
- bezwładności
LIQUID
GAS
Ciecz
Gaz
FLUID
FLUID
płyn:
płyn:
VISCOUS
VISCOUS
- lepki
- lepki
WITH WEIGHT
WEIGHTLESS
- ważki
- nieważki
COMPRESSIBLE
INCOMPRESSIBLE
- nieściśliwy
- ściśliwy
STATICS
Statyka
LIQUID
GAS
Ciecz
Gaz
FLUID
FLUID
płyn:
płyn:
NON-VISCOUS
NON-VISCOUS
- nielepki
- nielepki
COMPRESSIBLE
- nieściśliwy
WIGHT WEIGHT
- ważki
COMPRESSIBLE
- nieściśliwy
WEIGHTLESS
- nieważki
9
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
BASIC EQUATION OF STATIC EQUILIBRIUM
Podstawowe równanie stanu naprężeń
dS
dSy
dz
r
z
py
r r
p
px
dSx
dy
dx
y
x
r
pz
dSz
→
→
→
→
F = X i + Y j+ Zk
→
p x =| p x |
→
p y =| p y |
→
p z =| p z |
→
p =| p |
CONDITION OF EQUILIBRIUM
warunek równowagi:
ALL THE FORCES IN A GIVEN DIRECTION
Σ wszystkich sił na dany kierunek = 0
→ →
1

X ρ dS xd x + p xdS x − pdS cos  p , i  = 0
3


→ →
1
Y ρ dS y d y + p y dS y − pdS cos  p , j  = 0
3


→ →
1
Z ρ dS z d z + p z dS z − pdS cos  p , k  = 0
3


→ →

dS x = dS cos  p , i 


→ →
dS y = dS cos  p , j 


→ →
dS z = dS cos  p , k 


10
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
px − p = 0
py − p = 0
pz − p = 0
⇓
px = py = pz = p
EULER’S LAW
INDEPENDENCE OF PRESSURE IN A GIVEN POINT ON THE SURFACE ORIENTATION
Prawo Eulera – o niezależności ciśnienia w danym punkcie od
orientacji powierzchni
SCALAR FIELD
Pole skalarne
PRESSURE
Ciśnienie:
NORMAL TO THE SURFACE
- prostopadłe do powierzchni
ACTS EQUALLY IN ALL DIRECTIONS
- działa jednakowo we wszystkich kierunkach
11
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
12
EQUATION OF HYDROSTATIC EQUILIBRIUM IN CARTESIAN COORDINATES
Równanie równowagi hydrostatycznej we współrzędnych
prostokątnych
HOMOGENEOUS FLUID
ρ(x, y , z ) ⇒ ρ
- płyn jednorodny:
p
(p + z dz)dxdy
pdzdy
z
dz
x
p
(p + y dy)dxdz
y
dy
pdxdz
A
dx
pdxdy
p
(p + x dx)dydz
→
→
→
→
F = X i + Y j+ Zk
dm = ρ dx dy dz
CONDITION OF EQUILIBRIUM
Warunek równowagi:
ALL FORCES ACTING IN A GIVEN DIRECTION
Σ wszystkich sił na dany kierunek = 0
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
13
IN DIRECTION
na kierunek x:
∂p 

X ρ dx dy dz + p dy dz −  p + dx  dy dz = 0
∂x 

IN DIRECTION
na kierunek y:

∂p 
Y ρ dx dy dz + p dx dz −  p + dy  dx dz = 0
∂y 

IN DIRECTION
na kierunek z:
∂p 

Z ρ dx dy dz + p dx dy −  p + dz  dx dy = 0
∂z 

1
ρ
1
Y=
ρ
1
Z=
ρ
X=
→
→
→
1
X i + Y j+ Zk =
ρ
→
F=
Xdx + Ydy + Zdz =
∂p 
∂x 

∂p 

∂y 
∂p 
∂z 
(1)
 ∂p → ∂p → ∂p → 
i+
j+
k

x
y
z
∂
∂
∂


1
grad p
ρ
1
ρ
(2)
 ∂p
∂p
∂p 
 dx + dy + dz 
∂y
∂z 
 ∂x
Xdx + Ydy + Zdz =
1
dp
ρ
(3)
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
CONDITIONS OF POTENTIAL OF GRAVITY FORCES
Warunki potencjalności sił masowych
∂p 
∂x 
∂p 
ρY = 
∂y 
∂p
ρZ = 
∂z 
ρX =
∂ (ρX ) ∂ (ρY ) ∂ 2 p
=
=
∂y
∂x
∂x∂y
∂ (ρY ) ∂ (ρZ ) ∂ 2 p
=
=
∂z
∂y
∂z ∂y
∂ (ρZ ) ∂ (ρX ) ∂ 2 p
=
=
∂x
∂z
∂x∂z
∂ (ρX ) ∂ (ρY )
−
=0
∂y
∂x
∂ (ρY ) ∂ (ρZ )
−
=0
∂z
∂y
∂ (ρZ ) ∂ (ρX )
−
=0
∂x
∂z
→

rot  ρ F  = 0
 
GRAVITATIONAL FIELD IS A POTENTIAL ( NONROTATIONAL ) FIELD
pole sił masowych jest polem potencjalnym (bezwirowym)
14
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
15
FUNCTION OF FORCES
φ(x, y , z ) - funkcja sił
X=
∂φ
∂φ
∂φ
; Y=
; Z=
∂x
∂y
∂z
U p = −φ
FUNCTION OF POTENTIAL
U p – funkcja potencjału
X=−
∂U p
∂x
; Y=−
Xdx + Ydy + Zdz = −
∂U p
∂x
∂U p
; Z=−
∂y
⇓
dx −
∂U p
∂y
dy −
∂U p
∂z
∂U p
∂z
dz = −dU p
EQUATION
równanie (3):
dU p = −
dp
ρ
p = −ρU p + C
IN
w
A(x 0 , y 0 , z 0 )
(4)
p = p 0 ; U p = U p0
p 0 = −ρ U p 0 + C ⇒ C = p 0 + ρ U p 0
p = −ρ U p + p 0 + ρ U p 0
⇓
p − p 0 = −ρ (U p − U p 0 )
(5)
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
16
pa
z
H
h
A
z
y
x
X = 0 ; Y = 0 ; Z = −g
Z=−
∂U p
∂Z
= −g
U p = gz
PRESSURE IN POINT A
ciśnienie w punkcie A:
(wz. 4)
p = −ρgz + C
DETERMINATION OF CONSTANT C
wyznaczanie stałej C:
FOR
z=H
dla
p a = −ρgH + C
⇒
⇒
p = pa
C = p a + ρgH
AFTER SUBTITATION
po podstawieniu:
p = p a + ρgH − ρgz
p = p a + ρg (H − z ) = p a + ρgh
p = p a + ρgh
ATMOSPHERIC PRESSURE
HYDROSTATIC PRESSURE
ciśnienie atmosferyczne
PRESSURE HEAD
Wysokość ciśnienia:
p pa
=
+h
ρg ρg
ciśnienie hydrostatyczne
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
ANALYSIS OF DIFFERENTID EQUATION OF HYDROSTATIC PRESSURE
Analiza równania różniczkowego hydrostatyki:
PHYSICAL INTERPRETATION OF DIFFERENTIAL EQUATION OF STATIC EQUILIBRIUM
I.
fizyczna interpretacja równań różniczkowych hydrostatyki
1
ρ
1
Y=
ρ
1
Z=
ρ
X=
∂p 
∂x 

∂p  → 1
 F = grad p
ρ
∂y 
∂p 
∂z 
PRESSURE GROWS TOWARDS THE DIRECTION OF MASS FORCE
ciśnienie rośnie w kierunku działania sił masowych
THE WORK WHICH MUST BE PERFORMED WHEN MOVING ALONG THE CONSTANT-PRESSURE SURFACE
II. jaką pracę należy wykonać przy przemieszczaniu się po
powierzchni stałego ciśnienia ?
1
Xdx + Ydy + Zdz = dp
ρ
p=const
⇒ dp=0
Xdx + Ydy + Zdz = 0
MASS FORCE
siły masowe
EQUIPOTENTIAL SURFACE
powierzchni ekwipotencjalnej
17
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
IS IT POSSIBLE TO HAVE THE NONHOMOGENEITY OF THE FLUID BETWEEN THE SURFACES OF CONSTANT PRESSURE
III. czy możliwe jest istnienie niejednorodnego płynu między
powierzchniami jednakowego ciśnienia
1
p1
ρ1
ρ2
∆h
2
p2
p 2 − p 1 = ρ 1 g ∆h
p 2 − p 1 = ρ 2 g ∆h
∆p = ρ 1 g ∆h = ρ 2 g ∆h
⇓
ρ1 = ρ 2
WHAT IS THE SHAPE OF INTERFACE BETWEEN LIQUIDS OF DIFFERENT DENSITY
IV. jaki jest kształt powierzchni styku dwóch cieczy o różnych
gęstościach ?
ρ1
ρ2
↓
dp = ρ 1 (Xdx + Ydy + Zdz )
↑
dp = ρ 2 (Xdx + Ydy + Zdz )
ρ1 ≠ ρ 2
ONLY IF
tylko wówczas gdy:
Xdx + Ydy + Zdz = 0
⇓
dp = 0
18
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
a)
b)
pa
za
19
z
za
ρ1
h1
p1
1
h2
2
z1
h3
z2
ρ2
3
h4
5
h5
4
z3
z4
ρ3
z5
p1
p2
p3
p4
p5
p 1 = p a + ρ 1 gh 1
p 2 = p a + ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 2 = p1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 2
p 3 = p a + ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 3 = p1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 3
p 4 = p a + ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 4 = p1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 4
p 5 = p a + ρ1 ⋅ g ⋅ h1 + ρ 2 ⋅ g ⋅ h 4 + ρ 3 ⋅ g ⋅ h 5 = p 4 + ρ 3 ⋅ g ⋅ h 5
p 3 − p 2 = ρ 2 ⋅ g ⋅ (h 3 − h 2 )
p - pa
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
20
STEVIN’S THEOREM AND CONCLUSIONS
Postulat Stevina i wnioski zeń wypływające
a)
pa
h1
1
2
h2
p1
p2
p1 = p a + ρ g h1
p2 = pa + ρ g h2
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
21
b)
pa
h1
1
2
p1
pL
pP
p2
= pL = pP
CONNECTED VESSELS PRINCIPLE
Zasada naczyń połączonych
h2
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
ρ2
ρ1
h1
22
h2
pP
pL
LEFT BRANCH
w lewej gałęzi:
p L = p a + ρ1 g h1
RIGHT BRANCH
w prawej gałęzi:
pP = pa + ρ2 g h2
pL = pP
p a + ρ1 g h1 = p a + ρ 2 g h 2
h1 ρ 2
=
h 2 ρ1
p L = p a + ρ 1 g h 1 + ρ 1 g ∆h =
ρ2
ρ1
h2
h1
1
2
3
pL
pP
= p a + ρ 1 g (h 1 + ∆h )
p P = p a + ρ 2 g h 2 + ρ 1 g ∆h
pL = pP
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
pa
pa
IS THE EQUILIBRIUM EQUATION TRUE FOR THIS PLANE
2
1
ρ2
ρ1
pL
pP
PRACTICAL APPLICATIONS OF CONNECTED VESSELS PRINCIPLE
Praktyczne zastosowania zasady naczyń połączonych
PRESSURE MEASUREMENT
pomiar ciśnienia
GAS
a) gazu
px= ?
ρ
pL = px
pa
px
p P = p a + ρ g ∆h
pL = pP
∆h
?
Czy prawdziwym będzie
równanie równowagi dla
takiej płaszczyzny?
p L ≠ p P !!!
I.
23
⇓
ρ
px = pa + ρ g h
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
ρc
p1
p2
h1
∆h
ρm
FLOW RATE
natężenie przepływu ~ ∆p = p 1 − p 2
p L = ρc h1 g + p1
p P = p 2 + ρ c g (h 1 − ∆h ) + ρ m g ∆h
pL = pP
p 1 + ρ c g h 1 = p 2 + ρ c g (h 1 − ∆h ) + ρ m g ∆h
∆p = p 1 − p 2 = ρ m g ∆h − ρ c g ∆h
∆p = (ρ m − ρ c ) g ∆h
IN GAS
w gazie:
ρ c << ρ m
∆p = ρ m g ∆h
24
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
25
REFERENCE LEVEL IN PRESSURE MEASUREMENT
Poziom odniesienia przy pomiarze ciśnienia
b)
p0
p0
h
pa
h 0,76 [m]
pa
ρr
pL = pa
ρr
; pp = p 0 + ρr ⋅ g ⋅ H
=0
p a = ρ r ⋅ g ⋅ 0,76
ρ r ≅ 13600 [kg m 3 ]
p a = 101366 [Pa ] = 1013 [hpa ]
PRESSURE
VACUUM
podciśnienie
ATMOSPHERIC PRESSURE
p2
ciśnienie absolutne
poziom próżni
ciśnienie atmosferyczne
PERFECT VACUUM
ciśnienie absolutne
poziom ciśnienia
atmosferycznego
ABSOLUTE PRESSURE
nadciśnienie
LEVEL OF ATMOSPHERIC PRESSURE
GAGE PRESSURE
p1
ciśnienie
ABSOLUTE PRESSURE
a)
Torricelli
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
26
PASCAL’S LAW
Prawo Pascala
p +δp
A
z
Up
p0 +δ p0
Up0
B
z1
z0
x
IN THE INITIAL MOMENT
w chwili początkowej:
p − p 0 = ρ (U p − U p 0 )
WHEN FORCE IS APPLIED
→
po przyłożeniu siły P
PRESSURE IN POINT
A
- ciśnienie w punkcie A:
p + δp
PRESSURE IN POINT
B
- ciśnienie w punkcie B:
p + δ p0
RELATION BETWEEN
jakie są δ p i δ p 0 ?
(p + δ ) − (p
p
0
+ δ p0 ) = ρ(U p − U p 0 )
(p − p 0 ) + (δ p − δ p ) = ρ(U p − U p 0 )
0
||
0 = δ p = δ p0
s
y
P
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
27
PASCAL’S LOW
Prawo Pascala:
δp A = δp B
FA
xA
CROSS-SECTION
CROSS-SECTION
Przekrój SB
Przekrój SA
xB
FB
skutek:
FB S B
=
FA S A
BUT
ale:
FB ⋅ x B = FA ⋅ x A
xA SB
=
xB S A

incompressible ciśnienie płynu

Transkrypt

Podobne dokumenty

HANDE-DES Fluid Art. nr 2773

temp bonding fluid

Plik PDF - art of BEAUTY

Narty Dynastar CHAM WOMAN 87 FLUID +

Medic Fluid Care Foundation 01 35.90 zł

Pharmaceris F fluid matujący zwężający pory SPF25

CHRYSO Fluid 122

fluid desk library manager - Chemo-Went

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

DFX 8