DFX 8

INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
Chapter 2 - Hydrostatic forces
FORCES EXERTED BY LIQUIDS ON WALLS OF VESSELS
Napory cieczy na ściany zbiornika
II
ATMOSPHERIC LOAD
napór atmosferyczny
III
RESULTANT HYDROSTATIC LOAD
napór cieczy - wypadkowy
( hydrostatyczny )
ATMOSPHERIC LOAD
napór atmosferyczny
I
LOAD EXERTED BY LIQUID ON FLAT HORIZONTAL WALL ( BOTTOM )
I Napór cieczy na płaskie ściany poziome ( dna )
pa
ρ
V
h
N
SURFACE
F (powierzchnia)
pa
N = (p a + ρ ⋅ g ⋅ h )F − p a F
144244
3
p
N = ρ⋅g⋅h⋅F
28
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
29
Chapter 2 - Hydrostatic forces
STEVIN’S PARADOX
Paradoks Stevina
a)
b)
V
c)
V
V
h
F
N1
F
N2
F
N3
N1 = N 2 = N 3 = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F
FORCE EXERTED BY LIQUID ON FLAT WALLS ( ARBITRARY ORIENTED )
Napór cieczy na powierzchnie płaskie dowolnie zorientowane
a)
b)
α
N
c)
N1
N2
N
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
Chapter 2 - Hydrostatic forces
x
α
dN
dF
y
A
x1
F
n
z
ELEMENTARY HYDROSTATIC FORCE
Napór elementarny:
→
n⋅ p ⋅ dF
→
→
→
d N = n⋅ p ⋅ dF = n⋅ ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dF
RESULTANT HYDROSTATIC FORCE
Napór całkowity:
→
→
→
N = ∫ n⋅ ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dF = ρ ⋅ g ⋅ n ∫ zdF
F
F
→
| N | = N = ρ ⋅ g ∫ zdF
F
COMPONENTS OF A RESULTANT HYDROSTATIC FORCE
Składowe naporu:
→ →

N x = ρ ⋅ g ∫ z cos  n ; i  dF


F
→ →

N y = ρ ⋅ g ∫ z cos  n ; j  dF


F
30
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
31
Chapter 2 - Hydrostatic forces
→ →

N z = ρ ⋅ g ∫ z cos  n ; k  dF


F
i
→ →


 = cos (90 + α ) = − sin α
cos
n
;
i






→ →


 = cos Π = 0
cos
n
;
j



2



→ →
cos  n ; k  = cos α

 

α
n
n
α
α
k
N x = − ρ ⋅ g ⋅ sin α ∫ zdF
F
Ny = 0
N z = ρ ⋅ g ⋅ cos α ∫ zdF
F
MOMENT OF INERTIA OF AREA
∫ zdF
F ABOUT THE LIQUID SURFACE
- moment statyczny pola F względem płaszczyzny x0y
F
(zwierciadła cieczy)
∫ zdF = z c F
F
DISTANCE FROM CENTROID TO LIQUID SURFACE
z c - odległość od zwierciadła cieczy środka geometrycznego
pola F
(głębokość zanurzenia środka ciężkości pola F)
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
32
Chapter 2 - Hydrostatic forces
N x = − ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ z c F
Ny = 0
N z = ρ ⋅ g ⋅ cos α ⋅ z c F
RESULTANT FORCE
Napór całkowity:
N = N 2x + N 2y + N 2z = ρ 2 g 2 z c2 F 2 (sin 2 α + cos 2 α )
N = ρ ⋅ g ⋅ zcF
a)
b)
N
V
N
zc
zc zN
N
∆z ?
SC
F
F
SC
SN
V = F zc
N = G = ρ ⋅ g ⋅ zcF
∆z
SN
zN
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
33
Chapter 2 - Hydrostatic forces
LOCATION OF THE CENTER OF HYDROSTATIC FORCE
W którym punkcie przyłożony jest napór ?
MOMENTUM BALANCE ABOUT Y AXIS
Warunek równowagi momentów względem osi y:
α
z
x1
z = x 1 sin α
N ⋅ x 1N = ∫ ρ ⋅ g ⋅ x 1 ⋅ z ⋅ dF
F
N = ρ ⋅ g ∫ zdF
F
x 1n ⋅ ρ ⋅ g sin α
∫ x1dF = ρ ⋅ g ⋅ sin α ∫ x1 dF
2
F
F
x 1n =
2
x
1
∫ dF
F
∫ x 1dF
F
AREA MOMENT AT INERTIA ABOUT Y AXIS
∫x
2
1
dF = I y - geometryczny moment bezwładności względem osi y
F
STATIC MOMENT OF AREA
∫ x1dF = M y
F ABOUT Y AXIS
- moment statyczny pola F względem osi y
F
xN =
Iy
My
=
Iy
F x 1c
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
Chapter 2 - Hydrostatic forces
I y = I s + F ⋅ x 12c
I s = F ⋅ i s2
AREA MOMENT OF INERTIA ABOUT ITS CENTROIDAL AXIS
i s - ramię bezwładności
I y = F ⋅ i s2 + F ⋅ x 12c
x 1N
F ⋅ i s2 + F ⋅ x 12c
=
F ⋅ x 1c
x 1N
i s2
= x 1c +
x 1c
CONCLUSION
wniosek:
x 1 N > x 1c
z N = x 1N sin α = x 1c
i s2
sin α +
sin α
x 1c
i s2
i s2
zN = zc +
sin α = z c +
sin 2 α
x 1c
zc
FOR HORIZONTAL WALL
dla ściany poziomej (α = 0):
zN = zc
FOR VERTICAL WALL
dla ściany pionowej (α = Π/2):
i s2
i s2
zN = zc +
= zc +
x 1c
zc
34
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
35
Chapter 2 - Hydrostatic forces
HYDROSTATIC FORCE ON CURVED SURFACES
Napór cieczy na powierzchnie krzywoliniowe
SPATIAL SET OF FORCES
Przestrzenny układ sił
⇓
RESULTANT FORCE
① Wypadkowa sił:
→
→
N = ρ ⋅ g ∫ n zdF
F
⊕
RESULTANT MOMENT
② Moment wypadkowy:
→
→
→
M = ρ ⋅ g ∫ r x n zdF
F
0
x
zcy
cy
z cx
y
cx
Fx
F
z
Fy
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
36
Chapter 2 - Hydrostatic forces
N x = ρ ⋅ g ⋅ z cx Fx
N y = ρ ⋅ g ⋅ z cy Fy
CENTRES OF PRESSURE OF RESULTANT HYDROSTATIC FORCES
Punkty przyłożenia wypadkowych naporów:
z Ni
i s2
i s2
= z ci +
sin α = z ci +
sin 2 α
x 1c
z ci
α=
Π
2
⇓
z Nx
i sx2
= z cx +
z cx
z Ny = z cy +
i sy2
z cy
z Nx > z cx
z Ny > z cy
VERTICAL COMPONENT OF HYDROSTATIC FORCE
Składowa naporu na osi z:
0
Sz x
Nz = ρ ⋅ g ⋅ V
y
C
DIRECTION OF FORCE PZ
V
Linia działania Pz przechodzi przez
CROSSES THE CENTRE OF WEIGHT OF SLUG
V – POINT C
środek ciężkości bryły V – punkt C
z
S
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
37
Chapter 2 - Hydrostatic forces
x
S
Zcx
y
C
z
Sx
V
HORIZONTAL COMPONENTS
Składowe poziome
a)
S x1
Nx1
N x1 = ρ ⋅ g ⋅ z cx1S x1
x
y
b)
z
S x2
N x2
x
y
N x 2 = ρ ⋅ g ⋅ z cx 2 S x 2
z
z cx1 = z cx 2
S x1 = S x 2
⇓
∑ Nx = 0
; N x1 = N x 2
AND BY ANALOGY
oraz przez analogię:
N y1 = N y 2 ;
∑ Ny = 0
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
38
Chapter 2 - Hydrostatic forces
VERTICAL COMPONENTS
składowe pionowe:
a)
Sz
y
x
V1
C1
S1
Nz1
z
N z 1 = ρ ⋅ g ⋅ V1 = ρ ⋅ g ⋅ ∫ zdS z
S
b)
Sz
x
V2
y
Nz2
C2
z
S2
N z 2 = −ρ ⋅ g ⋅ V2 = −ρ ⋅ g ⋅ ∫ zdS z
S
V1
Nz
V
V2
V2 = V1 + V
N z = N z1 − N z 2 = ρ ⋅ g (V1 − V2 )
C
N z = −ρ ⋅ g ⋅ V
VERTICAL BUOYANT FORCE COMES THROUGH THE CENTRE OF GRAVITY OF DISPLACED VOLUME
N z = W - wypór, linia działania przez środek ciężkości wypieranej
objętości cieczy
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
39
Chapter 2 - Hydrostatic forces
STABILITY OF FLOATING BODIES
Równowaga ciała pływającego:
→
→
W = −G
WEIGHT OF THE BODY
G – ciężar ciała = ρ c ⋅ g ⋅ V = ρ p ⋅ g ⋅ V
I
ρc > ρp
G>W
p=G−W<0
BODY SINKS
ciało tonie
II
ρc = ρp
G=W
p=0
NEUTRALLY BUOYANT
równowaga obojętna
( BODY FLOATS IMMERSED AT ANY DEPTH )
(ciało pływa zanurzone na dowolną głębokość)
III
ρc < ρp
W>G
V (całość)
Vz
Wz = ρ p ⋅ Vz = ρ c ⋅ V
( BODY FLOATS PARTIALLY IMMERSED )
(ciało pływa częściowo zanurzone)
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
40
Chapter 2 - Hydrostatic forces
STABILITY CONDITIONS FOR FLOATING BODIES
Warunki równowagi ciał pływających
CASE
– przypadek II (W=G)
a)
M
RESTORING MOMENT
W
moment
prostujący
W
a
G
G
UNCONDITIONALLY STABLE
M = Wa
równowaga stateczna
b)
M=0
W
W
G
G
NEUTRALLY STABLE
równowaga obojętna
M
c)
OVERTURNING MOMENT
G
G
W
W
a
UNSTABLE
równowaga niestateczna
M = Wa
moment
przechylający
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
41
Chapter 2 - Hydrostatic forces
CASE
- przypadek III
M
a)
W
W
a
G
STABLE
G
RESTORING MOMENT
równowaga stateczna
moment prostujacy
M=0
b)
W
G
W
G
NEUTRALLY STABLE
równowaga obojętna
M
c)
G
W
W
G
a
UNSTABLE
równowaga niestała
nietrwała
niestateczna
OVERTURNING MOMENT
moment przechylający
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
42
Chapter 2 - Hydrostatic forces
STABILITY CONDITIONS FOR FLOATING BODIES
Warunki stateczności ciała pływającego:
BUOYANCY FORCE MUST EQUAL BODY WEIGHT
- siła wyporu musi równoważyć ciężar ciała
CENTER OF BUOYANCY AND CENTRE OF WEIGHT MUST BE LOCATED
- środek ciężkości i środek wyporu muszą leżeć na tej samej linii
(-oś pływania)
BUOYANCY CENTER MUST BE LOCATED HIGHER THAN CENTRE OF WEIGHT
- środek wyporu musi leżeć wyżej niż środek ciężkości
STABILITY AREA OF FLOATING BODIES
Obszar stateczności obiektów pływających
a)
b)
c)
ϕ
ϕkr
W
W
G
G
G
W
d)
−ϕkr ϕkr
STABILITY AREA
obszar stateczności
INTRODUCTION
TO FLUID
MECHANICS
Part I - HYDROSTATICS
43
Chapter 2 - Hydrostatic forces
M
m
W
C
G
METACENTRIC HEIGHT MEASURED FROM
C TO M
m – wysokość metacentryczna mierzona od C do M
IF
STABLE RANGE
jeżeli CM=m>0 – zakres stateczny
w praktyce:
m = 0,15 ÷ 1,3 [m]
okres wahań ciała pływającego:
T~
1
m
m↑
T↓
m↓
T↑
(gwałtowna reakcja na
zaburzenie równowagi)
(wrażliwość na błędy
wyważenia)