wpływ porowatości na sprężystość materiału. ocena analityczna

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 473-478, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
WPŁYW POROWATOŚCI NA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁU.
OCENA ANALITYCZNA
ANDRZEJ WILCZYŃSKI
Instytut Mechaniki i Konstrukcji, Politechnika Warszawska
Streszczenie. Szereg prac poświęcono opisom i przewidywaniom właściwości
mechanicznych kompozytów wzmacnianych wtrąceniami, zarówno o osnowie
metalowej jak i polimerowej, jednak jedynie nieliczne z nich wykorzystują wyniki
teorii wzmocnienia do opisu materiałów porowatych, będącej dobrym modelem dla
uwzględniania wpływu porowatości osnowy na własności kompozytu. Rozważa
się materiał porowaty, utworzony ze sprężystej osnowy oraz pustek kulistych,
rozmieszczonych w osnowie zgodnie ze schematem najgęstszego upakowania, bez
kierunków wyróżnionych. Jako jednostkowy element objętościowy przyjmuje się
dwunastościan foremny z pustką kulistą w środku. Zgodnie z założeniem Hilla,
często stosowanym w teorii wzmocnienia, zakłada się, że materiał otaczający
pustkę ma własności globalne materiału spienionego.
1. WSTĘP
Szereg prac poświęcono opisom i przewidywaniom właściwości mechanicznych
kompozytów wzmacnianych wtrąceniami, zarówno o osnowie metalowej jak i polimerowej,
jednak jedynie nieliczne z nich wykorzystują wyniki teorii wzmocnienia do opisu materiałów
porowatych, będącej dobrym modelem dla uwzględniania wpływu porowatości osnowy na
własności kompozytu. Czynnikiem dodatkowym jest niezbyt zrozumiałe występowanie dość
często błędów [2], [3], wreszcie poprawionych [4] dotyczących rozwiązań zagadnień wtrąceń
kulistych i ziarnistych. W tej sytuacji wydaje się celowe z jednej strony podać opracowane na
podstawie [5], przydatne w teorii wzmocnienia rozwiązanie problemu, z drugiej algorytm
postępowania przy opisie materiału spienionego.
2. ZAŁOŻENIA
Rozważa się materiał porowaty, utworzony ze sprężystej osnowy oraz pustek kulistych,
rozmieszczonych w osnowie zgodnie ze schematem najgęstszego upakowania,
odpowiadającym stałej odległości pomiędzy sąsiadującymi pustkami, bez kierunków
wyróżnionych. Jako jednostkowy element objętościowy przyjmuje się dwunastościan foremny
z pustką kulistą w środku. Zgodnie z założeniem Hilla [1], często stosowanym w teorii
wzmocnienia, zakłada się, że materiał otaczający pustkę ma własności globalne materiału
spienionego. Prowadzi to do zastępczego stopnia porowatości f, odniesionego do
rzeczywistego stopnia porowatości φ, związkiem
f = 1.325 φ
(1)
474
A. WILCZYŃSKI
co też wyznacza zastępczy, średni promień pustki kulistej
ro = 1.0983 r
(2)
φ
Rys.1. Powtarzalny element struktury
Powyższe rozumowanie, zaproponowane przez Hilla [1], wynika z konieczności zapewnienia
spójności powtarzalnym jednostkom objętości modelu porowatego materiału. Powtarzalny,
jednostkowy element objętościowy spienionego materiału, zawierający pustkę kulistą
przedstawiono na rys. 1. Współrzędne układu sferycznego, użytego do opisu własności
materiału, zostały przedstawione na rys. 2.
θ
ϕ
Rys.2. Współrzędne układu kulistego
W opisach tych, ze względów numerycznych, przyjęto promień kuli wpisanej w
dwunastościan R = 1. Ze względu na przyjęte założenia geometryczne, a także cel dalszych
rozważań, najwygodniejszym układem do rozwiązania jest zagadnienie osiowo-symetryczne
zapisane w układzie współrzędnych kulistych. Poza tymi stwierdzeniami klasyczne założenia
teorii sprężystości pozostają w mocy. Zastosowane rozwiązanie, po usunięciu licznych błędów
znajdujących się w podstawowej literaturze zagadnienia, zestawiono w Dodatku.
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
Po wprowadzeniu powyższych założeń można stwierdzić, że możliwe jest osiągnięcie
rozwiązania dotyczącego przewidywania właściwości sprężystych materiału porowatego.
Wprawdzie nie wprowadzono tutaj ograniczeń na temat stopnia porowatości, jednak w
przypadku polimerów i kompozytów polimerowych za porowatość można uważać także
zapowietrzenie, w takim przypadku zazwyczaj ograniczone do kilku procent objętości.
WPŁYW POROWATOŚCI NA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁU. OCENA ANALITYCZNA
475
Przystępując do rozwiązania z wymienionych względów, zajęto się nieograniczonym
ośrodkiem jednorodnym, obciążonym w kierunku 3 naprężeniem rozciągającym o wartości 1.
W wybranym układzie kulistym stan naprężenia daje się przedstawić jako
1
(1 + cos 2θ )
2
1
σ rt = − sin 2θ
2
σ rr =
(3)
Prowadzi to do warunków brzegowych w rozwiązywanym układzie
1
(1 + cos 2θ )
2
1
σ rt (1, θ , ϕ ) = − sin 2θ
2
σ rr (1,θ , ϕ ) =
(4)
Niezależnie od nich należy wprowadzić warunek powierzchni pustki wolnej od naprężeń, czyli
σ rr ( r0 ,θ , ϕ ) = σ rt ( r0 ,θ , ϕ ) = 0
(5)
Warunki brzegowe (4) i (5) prowadzą łącznie do układu 6 równań liniowych, pozwalając na
wyznaczenie wszystkich stałych rozwiązania. Znajomość tych stałych pozawala następnie
opisać, korzystając z zależności podanych w Dodatku, zarówno stan naprężenia jak i stan
odkształcenia badanego materiału porowatego.
4. PRZEWIDYWANIE WŁAŚCIWOŚCI SPRĘŻYSTYCH
To zagadnienie daje się rozwiązać najprościej. Przy spełnieniu postawionych założeń
średnie wartości modułu Younga i współczynnika Poissona są określone przez wywołane
jednostkowym naprężeniem przemieszczenia na powierzchni kuli, mierzone w kierunku
działania obciążenia i w kierunku prostopadłym. We współrzędnych kulistych zapisuje się to
jako
1
= ur (1, 0, ϕ )
E
ν
 π 
= −ur  1, , ϕ 
E
 2 
(6)
co pozwala, korzystając z zależności zapisanych w Dodatku wyznaczyć dość łatwo ich
wartości.
476
A. WILCZYŃSKI
5. NUMERYCZNA SYMULACJA SZTYWNOŚCI MATERIAŁU SPIENIONEGO
Przyjmując jako osnowę żywicę epoksydową o właściwościach opisanych stałymi
E = 5.55 [GPa]
ν = 0.37
i wykorzystując przedstawiony algorytm można wyznaczyć zmienność modułu Younga
materiału porowatego w funkcji stopnia napełnienia, przedstawioną wykresem z rys. 3.
5
4
3
E
2
1
0
5 .5 5
0 .3 7
0 .4
0 .3
0 .2 v
0 .1
0
0 .1 0 .2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 .6 0 .7 0 . 8
f
Rys.3. Moduł Younga i współczynnik Poissona
Jak widać, modułu Younga nie można obliczać, korzystając z teorii mieszanin w zakresie
porowatości większej niż 10 – 20 %. Odpowiednie liniowe (małej porowatości) związki
przybliżone mają postać
E ≅ E (1 − 2.85 f )
(7)
ν ≅ ν (1 − 0.13 f )
Podobne, dokładniejsze związki do oceny otrzymanych zależności dla osnowy sprężystej
można stosunkowo łatwo uzyskać na drodze analitycznej na podstawie zależności z Dodatku.
6. DODATEK
W osiowo symetrycznym układzie współrzędnych sferycznych szczególnie wygodnie jest
posługiwać się równaniami Love’a, co sprowadza się do przyjęcia wyrażeń naprężeń w
postaci
σ rr =
∂  2 ∂2 
ν∇ − 2  Φ
∂z 
∂r 
σ tt =
∂  2 1 ∂
ν∇ −
Φ
∂z 
r ∂r 
∂ 
∂2 
σ zz = ( 2 −ν ) ∇ 2 − 2  Φ
∂z 
∂z 
σ rz =
∂ 
∂2 
2
1
−
ν
∇
−
Φ
(
)
∂r 
∂z 2 
(A1)
WPŁYW POROWATOŚCI NA SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁU. OCENA ANALITYCZNA
477
gdzie wprowadzono oznaczenie
∂ 2 1 ∂ ∂2
+
+
∂r 2 r ∂r ∂z 2
z = r cos θ
∇2 =
(A2)
natomiast funkcja naprężeń Φ spełnia równanie biharmoniczne
∇ 2∇ 2 Φ = 0
(A3)
Szereg zagadnień dotyczących kuli, zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych,
rozwiązuje się przy użyciu szeregów funkcji kulistych Legendre’a. Niektóre proste
zagadnienia, takie jak pustka kulista lub wtrącenie kuliste, można rozwiązać, używając
jedynie funkcji kulistych Legendre’a pierwszego i drugiego rzędu. Pozwala to na określenie
wykorzystywanej funkcję Φ jako kombinację tych funkcji, mnożonych przez zmienną r w
wybranej potędze. W badanym zagadnieniu wygodnie jest napisać składowe odpowiedniej
osiowo symetrycznej funkcji biharmonicznej we współrzędnych kulistych jako
1
Φ1 = r
Φ4 = 2
r
x
Φ2 = r 2 x
Φ5 = 3
(A4)
r
1
Φ 3 = r 3 ( 3x 2 − 1)
Φ 6 = 4 ( 3x 2 − 1)
r
x = cos ϕ
Kombinacja liniowa tych rozwiązań daje poszukiwaną funkcję biharminiczną, za pomocą
której, z wykorzystaniem zależności (A1), otrzymuje się wyrażenia naprężeń, jak w [5].
Naprężenia występujące w badanym zagadnieniu osiowo symetrycznym można
ostatecznie przedstawić wzorami
B
C
 A

σ rr = −2µ  2 3 + 4 5 + 2 ( 5 −ν ) 3 + D + 2 (1 + ν ) F + ν Hr 2  −
r
r
 r

C
 B

− 6 µ  4 5 + 2 ( 5 −ν ) 3 + D + ν Hr 2  cos 2θ
r
 r

C
A B

σ tt = 2 µ  3 + 5 + 5 (1 − 2ν ) 3 − D − 2 (1 +ν ) F − 5ν Hr 2  +
r
r r

C
 B

+ 2µ  7 5 + 3 (1 − 2ν ) 3 + 3D − 7 ( 2 + ν ) Hr 2  cos 2θ
r
 r

B
C
A

σ ϕϕ = 2µ  3 + 3 5 − (1 − 2ν ) 3 + 2 D − 2 (1 + ν ) F − ( 7 + ν ) Hr 2  +
r
r
r

C
 B

+ 2µ 5 5 + 9 (1 − 2ν ) 3 − ( 7 + 11ν ) Hr 2  cos 2θ
r
 r

C
 B

σ rt = −2 µ 8 5 + 6 (1 + ν ) 3 − 3D + ( 7 + 2ν ) Hr 2  sin 2θ
r
 r

(A5)
478
A. WILCZYŃSKI
Przemieszczenia w rozważanym układzie natomiast zapisuje się jako
C
A B

ur =  2 + 4 + ( 5 − 4ν ) 2 − Dr − 2 (1 − 2ν ) Fr + 2ν Hr 3  +
r
r
r

C
B

+ 3  4 + ( 5 − 4ν ) 2 − Dr + 2ν Hr 3  cos 2θ
r
r

(A6)
C
 B

ut =  2 4 − 6 (1 − 2ν ) 2 + 3Dr − ( 7 − 4ν ) Hr 3  sin 2θ
r
 r

W obu przypadkach wielkości A, B, C, D, F, H oznaczają stałe dowolne, wyznaczane z
warunków brzegowych. Dla zagadnienia wewnętrznego stałe A, B, C przyjmują wartości
zerowe ze względu na konieczność zapewnienia ograniczoności rozwiązaniom. W
przypadku nieograniczonego zagadnienia zewnętrznego z tego samego powodu stała H
musi przyjmować wartość zerową.
Rozwiązanie badanego zagadnienia sprowadza się do spełnienia warunków brzegowych i
warunków sprzężenia dla obu zagadnień. W praktyce oznacza to zgodność przemieszczeń i
naprężeń na powierzchniach zewnętrznych obu zagadnień oraz na ich powierzchniach
wspólnych, o ile takie występują. Prowadzi to do układu co najwyżej 6 równań liniowych,
wyznaczających stałe A, B, C, D, F, H.
LITERATURA
1.
2.
3.
4.
5.
Hill, R.,J.Mech.Phys.Solids,12,(1964),199
Goodier, J.N.,J.Appl.Mech.,A39,(1933),55
Nielsen,L.,E.,J.Comp.Mater.,1,(1967),100
Wilczynski, A.,P.,Comp.Sci.Techn.,51,(1994),525
Nowacki, W., Teoria sprężystości,(1970),PWN
ANALYTICAL ASSESMENT OF POROSITY INFLUENCE
ON MATERIAL ELASTICITY
Summary. A number of papers on description and prediction of mechanical
properties of composites reinforced by inclusions, both for polymeric and metallic
matrices, only in rare occasions use the theory of reinforcement, being a useful tool
in modeling of composites, for describing influence of porosity of the matrix and of
the whole composite. For this purpose a porous material is taken into
consideration, consisting of an elastic matrix and spherical cavities, placed
according to the closest packing scheme, with no exceptional directions. As a
representative cell a regular dodecahedron is selected, with the spherical cavity
inside. According to Hill’s assumption, normally used in theories of reinforcement,
the material surrounding the cavity exhibits average properties of the composite.