Asymptotyczne zachowanie pewnych funkcji prawie okresowych
Transkrypt
Asymptotyczne zachowanie pewnych funkcji prawie okresowych
Adam Nawrocki Asymptotyczne zachowanie pewnych funkcji prawie okresowych względem miary Lebesgue’a Jednym z najważniejszych uogólnień funkcji prawie okresowych w sensie Bohra są funkcje prawie okresowe względem miary Lebesgue’a, wprowadzone przez Stiepanowa w 1926 roku. Funkcja f (x) = 1 √ 2 + cos x + cos (x 2) dla x ∈ R, jest klasycznym przykładem nieograniczonej i ciągłej funkcji µ-prawie okresowej. Dla tej funkcji zachodzi e−x √ = 0. x→+∞ 2 + cos x + cos (x 2) lim W referacie omówimy ideę dowodu powyższej równości, w którym wykorzystuje się aproksymacje diofantyczne oraz wskażemy pewną ogólną metodę obliczania granic. √ Dalej, rozważymy, czy zamiana liczby 2 na inną liczbę niewymierną może znacząco wpłynąć na zachowanie badanej funkcji. Dokładniej, omówimy konstrukcję liczby niewymiernej α takiej, że granica e−x x→+∞ 2 + cos x + cos (xα) lim nie będzie istnieć.