Wykład 6_Zapasy

Dorota Miszczyńska
Postawowe modele zapasów
OPTYMALNA POLITYKA ZAPASÓW
Problemy zapasów , kształtowania ich wielkości dotyczą dwóch
rodzajów działalności: produkcyjnej oraz handlowej. Celem jest
zapewnienie przede wszystkim ciągłości produkcji lub
sprzedaży. Utrzymywanie zapasów wiąże się jednak z pewnymi
kosztami. Do najważniejszych zaliczamy:
1. Koszty utrzymania zapasu [Ku]
2. Koszty zamówień [Kz]
3. Koszty związane z brakiem zapasów [Kb]
Przedstawimy kilka wybranych modeli kształtowania zapasów
gdzie podstawowe pytania jakie zadajemy to:
a. Ile towaru (surowca) należy kupować?
b. Jak często należy kupować
Z kolei cel jaki sobie stawiamy to minimalizacja całkowitych
kosztów związanych z potrzebą utrzymania zapasów (Koszty
całkowite [Kc], których główne składowe to koszty
wymienione w punktach 1-3.
I Przykład 1 z deterministycznym popytem
Dom sprzedaży wysyłkowej oferuje zestawy upominków
okolicznościowych, które nabywa u producenta w cenie 300
PLN za zestaw. Z doświadczeń wynika, że popyt na zestawy
jest stabilny i wynosi 50 zestawów na miesiąc. Koszt
złożenia zamówienia (bez względu na rozmiar zamawianej
partii wynosi 50 PLN. Roczne jednostkowe koszty
utrzymania zapasu (koszty magazynowania, kapitałowe itp.)
kształtują się na poziomie 20% ceny zakupu u producenta.
A) Po ile sztuk zestawów powinien każdorazowo zamawiać
dom wysyłkowy, aby roczne całkowite koszty utrzymania
zapasu były jak najmniejsze?
B) Czy zmieni się optymalny rozmiar zamawianych partii
zestawów upominkowych jeśli producent zaproponuje
następujące opusty:
 0,5% przy zamawianiu 50 lub więcej zestawów,
 1,0% przy zamawianiu 75 lub więcej zestawów oraz
 1,5% przy zamawianiu 150 lub więcej zestawów?
Klasyczny model EOQ (Economic order quantity)
Czyli inaczej ekonomiczna wielkość partii.
Zakłada się tutaj:
1. Stałe zapotrzebowania (D)
2. Zużycie zasobu jest równomierne w zadanym okresie czasu
(dzień, miesiąc, rok)
3. Zakup danego produktu (surowca) może odbywać się
partiami, T-krotnie w ciągu danego okresu czasu.
4. Cena jednostkowa zakupu jest stała (p)
5. Koszty realizacji zamówienia związane z każdą transakcją są
stałe (kz), niezależnie od jej wielkości
6. Dany jest jednostkowy koszt magazynowania (km)
7. Natychmiastowa możliwość uzupełnienia zapasów
W związku z przyjętymi warunkami oraz oznaczeniami koszt całkowity
związany z utrzymaniem zapasów można określić wzorem:
3
𝐾𝐶(𝑄) = 𝑘𝑧
𝐷
𝑄
+ 𝑘𝑚 + 𝑝𝐷
𝑄
2
KC jest więc funkcją jednorazowej dostawy, tutaj określonej jako Q.
Minimum funkcji KC wyznaczmy obliczając pierwszą pochodną
względem zmiennej Q i przyrównując ją do zera.
𝑑𝐾𝐶
𝑘𝑚
= −𝑘𝑧 𝐷 𝑄 −2 +
=0
𝑑𝑄
2
Co prowadzi nas do optymalnej wielkości jednorazowej dostawy
𝐸𝑂𝑄 = 𝑄 𝑜𝑝𝑡 = √
2𝑘𝑧 𝐷
𝑘𝑚
Natomiast optymalna liczba zakupów Topt oraz długość cyklu dostaw
𝐷
1
wynoszą odpowiednio: 𝑇 𝑜𝑝𝑡 = 𝑜𝑝𝑡 oraz 𝑜𝑝𝑡
𝑄
𝑇
Dla zagadnienia przedstawionego w przykładzie, w punkcie A mamy:
D=50* 12=600, kz =50 PLN, km=0,2 *300=60 PLN, p=300 PLN,
Czyli: 𝐾𝐶 = 50
600
𝑄
+
60
+ 300 ∗
𝑄
2
𝐸𝑂𝑄 = 𝑄 𝑜𝑝𝑡 = √
600
2 ∗ 50 ∗ 600
≈ 32
60
Optymalna liczba zakupów wyniesie 𝑇 𝑜𝑝𝑡 =
Długość cyklu wyniesie
1
𝑇 𝑜𝑝𝑡
=
1
19
600
32
≈ 19,
roku czyli co około 19 dni.
Dla zagadnienia przedstawionego w punkcie B mamy:
Dla ustalonej wcześniej optymalnej wielkości partii mamy:
600
32
+ 60 ∗
+ 300 ∗ 600 ≈ 181 910 𝑃𝐿𝑁
32
2
natomiast dla zwiększonej partii, uwzględniając opusty:
𝐾𝐶 = 50 ∗
𝐾𝐶50 = 50 ∗
600
50
+ 60 ∗
+ 298,5 ∗ 600 = 181200
50
2
𝐾𝐶75 = 50 ∗
𝐾𝐶150 = 50 ∗
600
75
+ 60 ∗
+ 297 ∗ 600 = 180850
75
2
600
150
+ 60 ∗
+ 295,5 ∗ 600 = 182000
150
2
Zawsze można na bazie teoretycznego modelu uchylać założenia tak,
aby opisywana sytuacja odzwierciedlała rzeczywistość gospodarczą.
Model probabilistyczny
Sytuacje w których zapotrzebowanie jest stałe i z góry określone są
rzadkie w praktyce. To samo dotyczy czasu realizacji dostawy.
W następnym rozpatrywanym modelu zakładamy losowy popyt.
Przykład 2
Ten sam dom sprzedaży wysyłkowej ma wyłączność na kolportaż
dziennika wydawanego w stolicy po 2 PLN za egzemplarz i sprzedaje
po 3 PLN za egzemplarz. Umowa z wydawcą przewiduje, że odkupuje
on po 1,50 PLN każdy egzemplarz, który nie został kupiony przez
5
detalistów. W przypadku braku dostatecznej liczby egzemplarzy dom
sprzedaży wysyłkowej może zorganizować dodatkową dostawę, która
zwiększy koszty o 1 PLN na każdym brakującym egzemplarzu. Popyt
na dziennik jest losowy i opisuje go następujący rozkład
prawdopodobieństwa (tab.1):
Tab.1
i
popyt
prawdopodobieństwo Dystrybuanta
1
500
0,1
0,1
2
750
0,2
0,3
3
1000
0,4
0,7
4
1250
0,2
0,9
5
1500
0,1
1,0
1,0
Jaką liczbę egzemplarzy powinien zamawiać każdego dnia dom
sprzedaży wysyłkowej, aby zrównoważyć straty w przypadku
nadwyżki popytu lub nadwyżki podaży?
Traktując powyższy rozkład jako dyskretny możemy analizując koszty
wyznaczyć koszt najmniejszy, który wyznaczy wielkość zamówienia.
zamówienie
500
750
1000
1250
1500
zrealizowany
popyt
500
0
125
250
375
500
0,1
Koszty
750
250
0
125
250
375
0,2
1000
500
250
0
125
250
0,4
1250
750
500
250
0
125
0,2
1500
1000
750
500
250
0
0,1
500
287,5
150
162,5
250
Jeżeli potraktujemy rozkład jako ciągły to biorąc pod uwagę, że
dystrybuanta rozkładu popytu powinna wynosić [wyprowadzenie
wzoru można znaleźć w W. Sadowski (1973 ss.180-183)]:
𝐿2
𝐿1 + 𝐿2
Musimy ustalić taką wielkość zamówienia (zapasu), aby spodziewana
łączna suma kosztów i strat związanych z zaspokojeniem przyszłego
zapotrzebowania na gazety była możliwie najmniejsza. Inaczej
mówiąc należy wyznaczyć taką wielkość zamówienia (zapasu), dla
którego wartość dystrybuanty (prawdopodobieństwo sprzedaży xz
jednostek lub mniej będzie równe powyższemu stosunkowi
Gdzie:
L1 –gdy D < Q jednostkowa strata przy nadwyżce [2-1,5=0,5 zł]
L2 – gdy D > Q jednostkowa strata przy niedoborze [(3-2) + 1= 2 zł]
𝐹 (𝑥𝑧 ) =
W rezultacie podstawiając do wzoru na F(xz) otrzymujemy wartość 0,8
co oznacza, że nasze zamówienie powinno wynosić 1125
egzemplarzy.
L1 *P{D <=Qopt}=L2*P{D >Qopt}
L1 *P{D <=Qopt}= L2*[1-P{D <= Qopt}]
Należy znaleźć takie Qopt, że
P{D <=Qopt}= L2 / (L1+L2)= 0,8
(0,8-0,7)/(0,9-0,7)= (Qopt-1000)/(1250-1000)
Qopt= 1000+(1250-1000)*0,5=1125
Optymalny rozmiar zamówienia wynosi 1125
7
Przykład 3
Załóżmy, że mając informację z przykładu 2 zakładamy, że rozkład
popytu jest rozkładem normalnym .
Przy takim założeniu i przy danych wielkościach wartości
oczekiwanej na poziomie 1000 oraz odchylenia standardowego na
poziomie 274 mamy:
𝑄 𝑜𝑝𝑡 − 1000
𝐹(
) = 0,8
274
Z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego
odczytujemy, że wartości dystrybuanty 0, 8 odpowiada wartość
argumentu funkcji F na poziomie 0,85 co pozwala nam ustalić:
𝑄 𝑜𝑝𝑡 − 1000
= 0,85
274
czyli Qopt = 0,85*274+1000= 1232,9
Przykład 4 [przykład z książki: Z.Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz, Badania
Operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, 2004]
Przedsiębiorstwo Alfa produkuje obrabiarki na indywidualne
zamówienie odbiorcy- przyszłego użytkownika. Podstawowym
elementem obrabiarki jest urządzenie tnące, które jest produkowane z
wysokogatunkowej stali. Koszt wytworzenia tego urządzenia wynosi
k1=2000 zł, jeśli urządzenie produkowane jest razem z obrabiarką.
Natomiast w przypadku konieczności wyprodukowania tego samego
urządzenia jako części zamiennej, na żądanie użytkownika, koszt
wytworzenia jest zdecydowanie wyższy i wynosi k2=4500zł (zmiana
oprzyrządowania, przygotowanie produkcji, sprowadzenie
odpowiednio gatunkowej stali itp.). Powstaje problem wyznaczenia
optymalnej wielkości zapasu części zamiennych (urządzeń tnących
obrabiarki) dla producenta i dla użytkownika z punktu widzenia
minimalizacji oczekiwanego kosztu utworzenia zbyt dużego lub zbyt
małego zapasu. Użytkownik traci wartość ceny zakupu urządzenia
c1=3000 zł w przypadku utworzenia nadmiernego zapasu lub poniesie
stratę w wysokości podwyższonej ceny zakupu c2=5000 zł oraz
poniesie stratę z powodu unieruchomienia całej obrabiarki- L=12000
zł. Z przeprowadzonych badań wynika rozkład prawdopodobieństwa
liczby niezbędnych wymian urządzenia tnącego ( tab.2)
Z
Pz
Fz
0
0,30
0,30
1
0,25
0,55
2
0,20
0,75
3
0,10
0,85
4
0,08
0,93
5
0,05
0,98
6
0,02
1,00
Wyznaczyć optymalną wielkość zapasu urządzenia tnącego z punktu
widzenia producenta oraz użytkownika.
9
1. Dla producenta będzie to taki zapas (z), który spełnia warunek:
𝑘2 − 𝑘1
≤ 𝐹𝑧
𝑘2
𝑘2 − 𝑘1 4500 − 2000
𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖
=
= 0,555
𝑘2
4500
𝐹𝑧−1 <
Dla z=2 (F2=0,75; F2-1=0,55)
2. Dla użytkownika będzie to zapas spełniający warunek:
𝐹𝑧−1 <
𝑐2 − 𝑐1 + 𝐿
≤ 𝐹𝑧
𝑐2 + 𝐿
Czyli:
𝑐2 −𝑐1 +𝐿
𝑐2 +𝐿
=
5000−3000+12000
5000+12000
= 0,82
Z=3 ( Fz-1=0,75; Fz=0,85).
Wygodnym sposobem podejścia do struktury zapasów jest ich
podział według ich cenności. Dotyczy to najczęściej zapasów
materiałowych. Z reguły tylko około 5-10 % ilości zapasów stanowi o
75-80% ich wartości. Są to zapasy cenne, zalicza się je do grupy A.
Druga grupa (zapasy typu B) stanowi od 15 do 20 % wartości. W
grupie C znajdują się zapasy występujące w dużych ilościach
(masowe) ale o małym znaczeniu w tworzeniu wartości produktu.
Przy ustalaniu optymalnego poziomu zapasów należy przede
wszystkim poświęcić uwagę zapasom w grupie A. Mają one bowiem
duży wpływ na koszty.
Procedura postepowania wg zasady ABC jest następująca:
1. Obliczanie rocznej wartości zużycia każdej pozycji zapasów
2. Uszeregowanie tych wartości malejąco
3. Zsumowanie wartości wszystkich pozycji materiałowych
4. Obliczenie udziału każdej pozycji materiałowej w wartości ogółem
5. Obliczenie skumulowanych udziałów procentowych każdej pozycji
materiałowej.
6. Podjęcie decyzji o podziale materiałów na grupy ABC
Dodatkowo, poza analizą ABC, która obejmuje określony
przedział czasowy przeprowadza się analizę XYZ badając zmiany
zjawiska w czasie. Wskazane jest aby to było kilkanaście okresów.
Na tej podstawie wyróżnia się:
1. Klasę X- obejmującą obiekty, dla których cecha wykazuje
statystyczną stałość, przy czym dopuszczalne są sporadyczne
zakłócenia.
2. Klasę Y, obejmującą obiekty, dla których cecha wykazuje zmienność
wynikającą najczęściej z sezonowości lub trendu
3. Klasę Z, do której zalicza się pozostałe obiekty, dla której
wyróżniona cecha wykazuje istotną nieregularność [Krawczyk S., Metody
ilościowe w planowaniu, wyd Beck, 2001]
W praktyce wykorzystuje się kombinację obu podziałów.