1( - + = yyy - WSL

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE
mgr Żaneta Pruska
Ćwiczenia 2
Zadanie 1
Firma Alfa jest jednym z głównych dostawców firmy Beta. Ilość produktu X, wyrażona
w tysiącach wyprodukowanych i dostarczonych sztuk firmie Beta, w poszczególnych
kwartałach, począwszy od I kwartału 2007 roku kształtowała się następująco:
Kwartał Ilość wyprodukowanego
t
produktu X [tys. szt.]
1
125
prognozę na I kwartał 2010 roku korzystając
2
126
z modelu Browna.
3
115
2) Stwórz wykres.
4
118
3) Oceń trafność prognozy korzystając ze średniego
5
112
6
125
7
127
8
118
9
122
10
117
11
119
12
108
1) Stwórz model prognostyczny oraz wyznacz
kwadratowego błędu prognozy.
13
Ad 2) Model Browna - prosty model wygładzania wykładniczego
Wzór na obliczanie prognozy na jeden okres w przód
yt*  yt 1  (1   ) yt*1
W przypadku prostego modelu wygładzania wykładniczego niezbędne do wyznaczenia
prognozy jest ustalenie wartości początkowej y1 *. Zazwyczaj przyjmuje się:
pierwszą wartość rzeczywistą zmiennej prognozowanej lub
średnią arytmetyczną rzeczywistych wartości zmiennej z przyjętej próbki wstępnej.
1
Następnie można dokonać prognozy według modelu Browna korzystając ze wzoru:
yt*  yt 1  (1   ) yt*1
2
Ad 3). Oceń trafność prognozy korzystając ze średniego kwadratowego błędu prognozy
Zbudowany model Browna, z przyjętą wcześniej wartością parametru wygładzania α, nie
musi być „najlepszy” do prognozowania danego szeregu czasowego. Za model „najlepszy”
uznaje się model z taką wartością parametru α, dla którego błędy ex post prognoz wygasłych
będą najmniejsze. Dużym ułatwieniem w celu obliczenia średniego kwadratowego błędu
prognozy jest zastosowanie funkcji matematycznej SUMA.XMY.2.
W celu znalezienia „najlepszego” modelu powinno się tak zmienić wartości parametru α, aby
uzyskać jak najmniejszą wartość funkcji SUMA.XMY.2. Bardzo pomocny do rozwiązania
tego zadania jest dodatek Solver. Okno dialogowe parametrów Solvera zostało przedstawione
na poniższym rysunku.
3
Wartość „najlepszej” wartości α dla badanego szeregu czasowego wynosi 0,15. Średni
kwadratowy błąd prognozy uległ zmniejszeniu do 6,04 tys. szt.
4
produkt X [tys.szt]
130
125
120
rzeczywista
ilość
produktu X
115
prognoza
110
105
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PR
O
N
G
O
ZA
kwartał
ZADANIE 2
Ilość przetransportowanych jednostek paletowych [szt.] przez przedsiębiorstwo XYZ
realizujące usługi transportowo-spedycyjne w poszczególnych miesiącach 2009 roku wynosi:
Miesiąc
Ilość jednostek
t
paletowych [szt.]
Zbuduj model prognostyczny oraz wyznacz prognozę dla
1
1254
przedsiębiorstwa XYZ na styczeń oraz luty 2010 roku
2
1405
korzystając z:
3
1595
4
1846
przyjmując: F1 = y1 , S1 = y2 – y1
5
2042
modelu funkcji liniowej,
6
2287
modelu funkcji wykładniczej,
7
2620
modelu funkcji potęgowej,
8
2620
modelu funkcji logarytmicznej.
9
2880
10
3216
11
3500
12
3800
modelu Holta,
5
Wzór na obliczenie prognozy według modelu Holta:
yt*  Ft 1  St 1
Do budowy liniowego modelu wygładzania wykładniczego Holta potrzebne są początkowe
wartości F i S czyli F1 i S1. Jeden z możliwych wariantów to: F1 = y1 , S1 = y2 – y1
Po wyznaczeniu wartości początkowych można zastosować wzory:
Ft    yt  1     Ft 1  St 1 
St   Ft  Ft 1   1     St 1
6
Prognoza:
Dla modelu Holta, podobnie jak dla zbudowanego modelu Browna w poprzednim zadaniu,
wykorzystujemy dodatek Solver oraz funkcję matematyczną SUMA.XMY.2 w celu
znalezienia
„najlepszego”
modelu.
Okno
dialogowe
parametrów
Solvera
zostało
przedstawione na poniższym rysunku.
7
Wyniki uzyskane po zastosowaniu dodatku Solver dla wyznaczenia „najlepszego” modelu.
8
MODEL LINIOWY
yt    t
gdzie:
t – kolejna jednostka czasu
α, β – estymowane parametry
W celu uzyskania wartości estymowanych parametrów oraz parametru dopasowania R2
(współczynnik determinacji) można posłużyć się poleceniem: „Dodaj linię trendu”. Linię
trendu dodaje się do wcześniej zbudowanego wykresu.
Okno dialogowe: Wykres / Dodaj linię trendu - Typ
Okno dialogowe: Wykres / Dodaj linię trendu – Opcje
9
Dzięki temu uzyskujemy wykres wraz z linią trendu / wykres poniżej.
4000
y = 228,83x + 934,7
jednostki paletowe
3500
2
R = 0,9909
3000
dane rzeczywiste
2500
Liniowy (dane
rzeczywiste)
2000
1500
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
miesiące
Dodatkowo, w przypadku trendu liniowego, do oszacowania parametrów można wykorzystać
funkcję: REGLINP. W wyniku zastosowania tej funkcji, uzyskuje się tablicę zawierającą
następujące informacje:
Współczynnik kierunkowy funkcji trendu: b
Błąd oceny parametru b: s(b)
Współczynnik determinacji:R2
Statystyka Fishera
Regresyjna suma kwadratów odchyleń: ssreg
Wyraz wolny funkcji trendu: a
Błąd oceny parametru a: s(a)
Standardowy błąd oceny modelu: s
Liczba stopni swobody
Resztowa suma kwadratów odchyleń: ssresid
Okno dialogowe: funkcja REGLINP :
10
Formułę należy wprowadzić do zaznaczonego obszaru arkusza, który powinien mieć wymiar
pożądanej tablicy wynikowej (2 kolumny, 5 wierszy). Po uzupełnieniu okna dialogowego
należy użyć kombinacji klawiszy : Ctrl + Shift + Enter.
Znając wartości parametrów wiemy, iż oszacowany model przyjmuje postać :
. Na jego podstawie możliwe jest dokonanie prognoz:
11
MODEL FUNKCJI WYKŁADNICZEJ
yt   * e  *t
e – liczba Euler’a - e ~ 2,71
W celu uzyskania wartości estymowanych parametrów oraz parametru dopasowania R2
(współczynnik determinacji) można posłużyć się poleceniem: „Dodaj linię trendu”.
Okno dialogowe:
Wykres:
4500
0,0994x
y = 1198,7e
jednostki paletowe
4000
2
R = 0,9863
3500
dane rzeczywiste
3000
Wykł. (dane
rzeczywiste)
2500
2000
1500
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
miesiące
Dodatkowo, w przypadku modelu wykładniczego, do oszacowania parametrów można
wykorzystać funkcję: REGEXPP:
12
Znając wartości parametrów możliwe jest zbudowanie modelu prognostycznego:
13
MODEL FUNKCJI POTĘGOWEJ
yt  t 
4000
0,4626
y = 1058,5x
jednostki paletowe
3500
2
R = 0,9388
3000
dane rzeczywiste
2500
Potęg. (dane
rzeczywiste)
2000
1500
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
miesiące
14
MODEL FUNKCJI LOGARYTMICZNEJ
yt     ln t
4000
y = 1014,2Ln(x) + 732,78
jednostki paletowe
3500
2
R = 0,8555
3000
dane rzeczywiste
2500
Log. (dane
rzeczywiste)
2000
1500
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
miesiące
15
Funkcja:
16