Liga zadaniowa – styczeń 2015 1. Wyznacz wszystkie pary

Liga zadaniowa – styczeń 2015
1. Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniających równanie
.
2. Wykaż, że prosta dzieląca trójkąt na dwie figury o równych polach i równych obwodach
przechodzi przez środek okręgu wpisanego w ten trójkąt.
3. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa n-kątnego, dla
którego promienie okręgów opisanych na ścianach bocznych i na podstawie mają długość r .
4. W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD,
otrzymując trójkąt ADC i DBC o obwodach 2p oraz 2q. Oblicz obwód trójkąta ABC.
Zad. 1
Rozwiązanie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
i
i
Czyli
Zad. 2
Z warunków zadania
Niech O2 będzie punktem przecięcia dwusiecznej
, gdzie obwód trójkąta
i prostej k . Odległość O2 od |AB|
oznaczam jako r 2. Pokażę, że O2 jest środkiem okręgu wpisanego w
Przypuśćmy, że O1 jest środkiem okręgu wpisanego w
o promieniu r1 i
.
czyli
, ale
, stąd
i
zatem prosta k przechodzi przez środek okręgu wpisanego w
.
Zad. 3
W podstawie n-kąt foremny
P podstawy
Bok wielokąta
,
czyli
Ściana boczna:
Liczę wyskość ściany bocznej (rys 2)
Czyli
)
(można też wykorzystać twierdzenie cosinusów)
) a
Stąd P boczne
)=
Pc
)) =
))
Do obliczenia objętości potrzebna jest wysokość H ostrosłupa
Można ją obliczyć np. z powyższego trójkąta
=
to
Stad
Zad. 4
Obwód trójkąta
, Obwód trójkąta
Oznaczam
pole trójkąta
,
pole trójkąta
pole trójkąta
, Obwód trójkąta
oczywiście
(mają jednakowe kąty) w skali
to
analogicznie
to y
zatem
=
czyli
Zatem Obwód trójkąta
=
a stąd