Ćwiczenia Inżynierskie Zastosowania Statystyki Lista 1

Ćwiczenia
Inżynierskie Zastosowania Statystyki
Lista 1
rok akademicki 2011/2012, semestr zimowy
Październik 2011 r.
kombinatoryka, zdarzenia losowe
1. Danych jest k przedmiotów typu I i l przedmiotów typu II. Obliczyć na ile
sposobów można je wszystkie rozmieścić w n różnych szufladach.
2. W kinie jest dwieście miejsc. Obliczyć, na ile sposobów można tam rozmieścić pięciu widzów, zakładając, że ich nie rozróżniamy.
3. Grupa dwudziestu studentów i dziesięciu studentek ma utworzyć sześcioosobowy komitet organizujący juwenalia. Obliczyć, ile może powstać komitetów, do których wejdą zarówno panie, jak i panowie.
4. Dane są dwa zbiory zdarzeń: A1 = {a1 , a2 , a4 , a6 } i A2 = {a1 , a3 , a5 , a6 }.
Wyznaczyć: koniunkcję, alternatywę i różnicę A1 \A2 , A2 \A1 .
5. Oznaczmy przez A przestrzeń wszystkich możliwych zdarzeń. Niech A =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Określić dopełnienie i negację zdarzenia a = {1, 2}.
6. Sieć elektryczna składa się z trzech elementów, dwóch połączonych równolegle i dołączonego do nich szeregowo jednego elementu. Jaki jest warunek
przepływu prądu przez sieć?
7. Zdarzenia E1 i E2 są opisane za pomocą zdarzeń A, B, C równościami:
• E1 = (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B),
• E2 = A ∪ AC ∪ BC ∪ AB.
Uprościć prawe strony tych wyrażeń.
8. W pojemniku są kule białe i zielone. Losujemy 3 razy po jednej kuli ze
zwracaniem. Niech
• A – polega na wylosowaniu przynajmniej jednej kuli białej,
• B – polega na wylosowaniu przynajmniej dwóch kul zielonych.
Opisać E, A ∩ B, A ∪ B, A\B oraz sprawdzić prawa de Morgana.
1
9. Co oznacza, że przestrzeń zdarzeń elementarnych opisująca doświadczenie
losowe jest skończona, przeliczalna, nieprzeliczalna? Podać przykłady.
10. W fabryce pracują 3 niezależne maszyny oznaczone jako M1 , M2 i M3 . Mechanik ma za zadanie zapewnić, że w danym odcinku czasu maszyna pracuje
prawidłowo. Zdarzenie Ai oznacza, że maszyna Mi wymaga interwencji mechanika.
(a) Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych.
(b) Za pomocą zdarzeń elementarnych opisać zdarzenia A1 , A2 , A3 , A01 ,
A02 , A03 .
(c) Opiać następujące zdarzenia za pomocą operacji koniunkcji, alternatywy i dopełnienia wykonanych na zdarzeniach Ai :
•
•
•
•
•
•
•
•
•
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
–
–
–
–
–
–
–
–
–
zajście wszystkich trzech zdarzeń A1 , A2 , A3 ,
niezajście żadnego ze zdarzeń A1 , A2 , A3 ,
zajście tylko zdarzenia A1 ,
zajście tylko jednego spośród zdarzeń A1 , A2 , A3 ,
zajście co najmniej jednego ze zdarzeń A1 , A2 , A3 ,
zajście tylko zdarzeń A1 , A2 ,
zajście dokładnie dwóch zdarzeń spośród A1 , A2 , A3 ,
zajście co najmniej dwóch zdarzeń spośród A1 , A2 , A3 ,
zajście co najwyżej jednego zdarzenia spośród A1 , A2 , A3 .
(d) Opisać zdarzenia Bi za pomocą zdarzeń elementarnych.
(e) Podaj liczbę wszystkich zdarzeń w tym doświadczeniu.
(f) Wyznaczyć σ-ciało zdarzeń przestrzeni zdarzeń elementarnych w tym
doświadczeniu.
(g) Przyjmując, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, zbuduj przestrzeń probabilistyczną doświadczenia.
11. W każdym opakowaniu znajdują się 4 sztuki towaru. Każda sztuka może
spełniać wymagania jakościowe lub ich nie spełniać. Kontrola jakości (doświadczenie) polega na sprawdzeniu jakości wszystkich czterech sztuk. Zdarzenie Ai oznacza zdarzenie, że i-ta sztuka towaru spełnia wymagania jakościowe. Na tej podstawie:
(a) Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych.
(b) Za pomocą zdarzeń elementarnych opisać zdarzenie A02 .
(c) Za pomocą zdarzeń Ai opisać następujące zdarzenia:
• B1 – wszystkie elementy towaru spełniają wymagania,
2
•
•
•
•
B2
B3
B4
B5
–
–
–
–
żaden element w opakowaniu nie spełnia wymagań,
dokładnie jeden z elementów spełnia wymagania,
przynajmniej jeden z elementów spełnia wymagania,
co najwyżej jeden z elementów spełnia wymagania.
(d) Opisać zdarzenia Bi za pomocą zdarzeń elementarnych.
12. Niech Ω = [0, 2]. Znaleźć najmniejsze σ-ciało Z zawierające rodzinę zbiorów
R = {[0, 0.5), (0.5, 2])}.
3