Rezonanse indukowane grawitacyjnie

Rezonanse indukowane
grawitacyjnie
Tomasz Sowiński
Rezonans grawitacyjny – p.1/10
Wprowadzenie
IBB i ZBB, Phys. Rev. A 65 063606 (2002)
Dynamika środka masy w układzie dowolnie oddziałujacych
˛
czastek
˛
(potencjałem
˛
zależnym tylko od wzajemnej odległości) umieszczonych w dowolnym zewnetrznym
˛
w
potencjale harmonicznym jest zgodna z klasyczna˛ dynamika˛ pojedyńczej czastki
takim potencjale.
dotychczas zajmowano sie˛ pułapkami obracajacymi
˛
sie˛
wokół jednej z osi głównych pułapki
całkowicie zaniedbywano wpływ pola grawitacyjnego w
analizie problemu
Rezonans grawitacyjny – p.2/10
Wprowadzenie
IBB i ZBB, Phys. Rev. A 65 063606 (2002)
Dynamika środka masy w układzie dowolnie oddziałujacych
˛
czastek
˛
(potencjałem
˛
zależnym tylko od wzajemnej odległości) umieszczonych w dowolnym zewnetrznym
˛
w
potencjale harmonicznym jest zgodna z klasyczna˛ dynamika˛ pojedyńczej czastki
takim potencjale.
dotychczas zajmowano sie˛ pułapkami obracajacymi
˛
sie˛
wokół jednej z osi głównych pułapki
całkowicie zaniedbywano wpływ pola grawitacyjnego w
analizie problemu
TS i IBB, quant-ph/040970
przekrzywiona oś obrotu = dodatkowe efekty
IBB
przekrzywiona oś obrotu + grawitacja = rezonanse
Rezonans grawitacyjny – p.2/10
Troch˛e mechaniki klasycznej...
hamiltonian (m = 1)
p2
1
p2 1
+ rV̂ (t)r ⇒ H =
+ rΩ̂p + rV̂ r
H(t) =
2
2
2
2




0
− Ωz
Ωy
Vx 0
0
V̂ =  0 Vy 0 
Ω̂ =  Ωz
0
− Ωx 
− Ωy
Ωx
0
0
0 Vz
równania ruchu
(
ṙ = p − Ω̂r
ṗ = −V̂ r − Ω̂p
Rezonans grawitacyjny – p.3/10
Rozwiazania
˛
poprzez mody
Równania ruchu w całej okazałości:
d r
=
dt p
− Ω̂
− V̂
! r
I
p
− Ω̂
Szukamy rozwiaza
˛ ń w postaci:
~
~ 0 eiωt
R(t)
=R
r
~
R=
p
~ = Ω~n)
Równanie na cz˛estości własne (Ω
ω 6 + aω 4 + bω 2 + c = 0
χ = ω2
gdzie parametry a, b, c sa˛ funkcjami orientacji pułapki ~
n i predkości
˛
jej obrotu Ω.
Rezonans grawitacyjny – p.4/10
Przypadek dwuwymiarowy
Vx = 3, Vz = 2, Vy = 1
~ = (0, 0, Ω)
Ω
4
3
Ω 2
1
0
1
2
3
χ
4
5
6
Rezonans grawitacyjny – p.5/10
Dowolne ustawienie osi obrotu
Vx = 3, Vy = 2, Vz = 1
~ =
Ω
Ω
√
(1, 1, 1)
3
4
3
Ω 2
1
0
1
2
3
χ
4
5
6
Rezonans grawitacyjny – p.6/10
Rezonansowy wpływ grawitacji
Jak powstaje rezonans?
Rezonans grawitacyjny – p.7/10
Rezonansowy wpływ grawitacji
Jak powstaje rezonans?
/ predkość
˛
pułapki Ω
O
cz˛estości własne ω
o
cz˛estość rezonansowa ω = Ω
Warunek rezonansu
ω(Ω) = Ω
Rezonans grawitacyjny – p.7/10
Punkty rezonansowe
Vx = 3, Vy = 2, Vz = 1
2π
nx = cos( 2π
)
,
n
=
0
,
n
=
sin(
y
z
5
5 )
4
3
Ω 2
1
0
1
2
3
χ
4
5
6
Rezonans grawitacyjny – p.8/10
Punkty rezonansowe
Vx = 3, Vy = 2, Vz = 1
nx = cos( π4 ), ny = 0, nz = sin( π4 )
4
3
Ω 2
1
0
1
2
3
χ
4
5
6
Rezonans grawitacyjny – p.8/10
Punkty rezonansowe
Vx = 3, Vy = 2, Vz = 1
π
π
nx = cos( 60
), ny = 0, nz = sin( 60
)
4
3
Ω 2
1
0
1
2
3
χ
4
5
6
Rezonans grawitacyjny – p.8/10
Trajektoria czastki
˛
Pole grawitacyjne WYŁACZONE
˛
Rezonans grawitacyjny – p.9/10
Trajektoria czastki
˛
Rezonans grawitacyjny
Rezonans grawitacyjny – p.9/10
Trajektoria czastki
˛
W pobliżu cz˛estości rezonansowej
Rezonans grawitacyjny – p.9/10
Podsumowanie
Dynamika w obracajacym
˛
sie˛ potencjale harmonicznym
diametralnie zależy od ustawienia osi jej obrotu
w ogólności istnieja˛ dwa różne obszary niestabilności
układu o odmiennym charakterze dynamiki
grawitacja w pewnych warunkach może rezonansowo
destabilizować dynamik˛e układu
Rezonans grawitacyjny – p.10/10