Wytrzymałość materiałów II

Wytrzymałość materiałów II
kierunek Budownictwo, sem. IV
materiały pomocnicze do ćwiczeń
opracowanie: dr inż. Irena Wagner, mgr inż. Jolanta Bondarczuk-Siwicka
TREŚĆ WYKŁADU
Sprężyste skręcanie prętów pryzmatycznych. Deplanacja. Funkcja naprężeń Prandtla.
Analogia membranowa i hydromechaniczna. Typowe przekroje. Przekrój cienkościenny
otwarty. Przekrój cienkościenny zamknięty. Statycznie niewyznaczalne przypadki skręcania.
Skręcanie sprężysto-plastyczne. Nośność graniczna prętów skręcanych. Hipotezy wytężenia
materiału. Zagadnienia wytrzymałości złożonej. Wpływ sił poprzecznych na ugięcie. Teoria II
rzędu ugięcia belki. Stateczność prętów ściskanych.
LITERATURA
Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów
Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych
Jastrzębski P., Mutermilch J., Orłowski W., Wytrzymałość materiałów
Banasiak M., Grossman K., Trombski M., Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów
Grabowski J., Iwanczewska A., Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów
Orłowski W, Słowański L., Wytrzymałość materiałów, Przykłady obliczeń
Łódź, luty 2009
PROGRAM ĆWICZEŃ PROJEKTOWYCH
1.
2.
3.
4.
5.
Statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne sprężyste skręcanie prętów pryzmatycznych.
Nośność graniczna prętów skręcanych.
Wytrzymałość złożona.
Wpływ sił poprzecznych na ugięcie belki.
Stateczność prętów ściskanych.
PROGRAM ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH
5 ćwiczeń laboratoryjnych wybranych z poniższej listy tematów:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Próba rozciągania.
Próba ściskania.
Wyznaczanie siły krytycznej.
Wyznaczanie środka sił poprzecznych i sztywności skręcania.
Wyznaczanie naprężeń wycinkowych.
Wyznaczanie stałych sprężystości.
Wyznaczanie stałych tensometru.
Wyznaczanie naprężeń dynamicznych.
Wyznaczanie częstości drgań własnych.
Wyznaczanie twardości.
2
Zadania przykładowe
Sprężyste skręcanie prętów pryzmatycznych
Zadanie 1.
Narysować rozkład momentu skręcającego i kąta skręcenia w funkcji Jo, M, G, l.
2M
l
Jo
l
2Jo
M
l
Zadanie 2.
Obliczyć maksymalne naprężenia styczne i maksymalny kąt skręcenia przekroju pręta
skręcanego pokazanego na rysunku.
2 Jo
3 ma
Jo
m
2a
2a
Zadanie 3.
Obliczyć Jo oraz Wo prętów o przekrojach a), b), c), d). Porównać sztywność na skręcanie
przekrojów cienkościennych (otwartego i zamkniętego) przyjmując R=10δ.
a)
c)
b)
d)
δ
δ
3b
D
R
R
2b
Zadanie 4.
Obliczyć maksymalne naprężenia styczne τ dla podanego przekroju obciążonego momentem
skręcającym MS= 1500Nm, jeśli G=8.1 10 10 MPa i δ =0.5cm.
2δ
δ
14δ
2δ
7δ
Jeśli przekraczają one wartość naprężeń dopuszczalnych τdop = 100MPa, wyznaczyć
dopuszczalne obciążenie tego przekroju.
3
Nośność graniczna prętów skręcanych
Zadanie 1.
Obliczyć graniczny moment skręcający przy pełnym uplastycznieniu przekroju dla
przypadków prętów: okrągłego, prostokątnego, trójkątnego oraz przekrojów pokazanych na
rysunku:
3a
2a
3a
3a
2a
a
2a
3a
a
Zadanie 2.
Wyznaczyć obciążenie graniczne dla pręta o zadanym schemacie statycznym przy ustalonych
naprężeniach τpl.
I
l
II
l
l
przekroje
2M
I
I
D
l
II
0.6D
M
D
4
Hipotezy wytężenia materiałów. Zagadnienia wytrzymałości złożonej.
Zadanie 1.
Dla zadanych sił przekrojowych N = 800 kN, Ms = 150 kNm, Mgy = 300 kNm, Mgz = 80 kNm.
określić maksymalne naprężenia zredukowane dla prętów o przekroju: a) prostokątnym, b)
kołowym, według hipotez: maksymalnych naprężeń stycznych i energetycznej. Wskazać
punkt (punkty), gdzie one występują.
współczynniki skręcania przekroju a)
α = 0,493, β = 0,457, γ = 0,795
τmax = Ms / Ws
Ws = α b3 Js = β b4 τ* =γτmax
a)
2b
b)
D
b
Zadanie 2.
Narysować wykresy sił przekrojowych. Zaprojektować wymiar przekroju poprzecznego pręta
wg hipotezy Tresci. Przeprowadzić dyskusję na temat wpływu sił tnących na wyniki obliczeń.
α
α
2a
q
2qa
a
3 qa
α-α
D
2a
5
Wpływ sił poprzecznych na ugięcie belki
Zadanie 1.
Wyznaczyć równanie linii ugięcia belki o zadanym przekroju poprzecznym z uwzględnieniem
wpływu siły tnącej
q
2b
l
b
P
l
l
M
l
6
Stateczność prętów ściskanych
Zadanie 1.
Udowodnić, że wartość siły krytycznej wynosi:
Pkr
EJ
Pkr
EJ
l
l
Pkr =π2EJ / (0,7l)2
Pkr = π2EJ / (2l)2
Zadanie 2.
Określić w której płaszczyźnie nastąpi wyboczenie słupa; przy jakiej sile krytycznej?
P
schemat statyczny
przekrój poprzeczny
b
x
z
H=30b
H
y
y
z
z
y
x
x
2b
Zadanie 3.
Wyznaczyć siłę krytyczną dla układu prętowego
Pkr
Pkr
Pkr
EA
EA
2EA
EJ→∞
EA
2l
l
EJ→∞
l
4×l
l
l
7
Przykładowe ćwiczenia projektowe
zadanie 1
Skręcanie prętów
Dobrać potrzebną średnicę wału skręcanego z warunku wytrzymałości. Sporządzić wykres
kąta skręcenia dla przyjętej średnicy.
M
1
m
a
zadanie 2
M
Dane:
G=
M1 =
a=
2
τdop =
M2 =
b=
m=
c=
c
b
Wytrzymałość złożona
Narysować wykresy sił przekrojowych. Wskazać niebezpieczne przekroje belki.
Zaprojektować średnicę kołowego przekroju poprzecznego, wykorzystując hipotezy:
a) maksymalnych naprężeń stycznych
b) energetyczną.
q
P
Dane
P=
a=
q=
b=
G=
k r=
c=
a
c
P
b
zadanie 3
b
Wpływ siły poprzecznej na ugięcie
Wyznaczyć równania i wykresy ugięcia, momentu zginającego i siły poprzecznej belki
o podanym schemacie. Obliczyć strzałkę ugięcia (określić położenie) i porównać jej wartość
z wartością maksymalnego ugięcia obliczonego z pominięciem siły poprzecznej.
q
2l
2l
a
3a
l
a
Dane:
E=
G=
q=
l=
a=
a a
8
zadanie 4
Stateczność prętów ściskanych
Wyznaczyć siłę krytyczną belki o podanym schemacie:
• metodą analityczną
• metodą energetyczną dla dwóch różnych funkcji linii ugięcia.
Porównać otrzymane rozwiązania.
Pkr
EJ1=EJ
EJ2= 4EJ
l
l
Pkr
EJ=const
EJ=const
3l
l
2l
Pkr
2l
EJ
EJ1= ∞
2l
l
Pkr
9
Ćwiczenia laboratoryjne
Wyznaczanie stałych sprężystości – modułu Younga i wsp. Poissona.
Wyznaczanie stałych tensometru.
Wyznaczanie sztywności skrętnej pręta.
Wyznaczanie modułu Kirchoffa.
Wyznaczanie naprężeń dynamicznych.
Wyznaczanie częstości drgań własnych belki.
10
Próba rozciągania. Próba ściskania.
Wyznaczanie siły krytycznej.
Wyznaczanie środka sił poprzecznych.
Wyznaczanie naprężeń wycinkowych.
Wyznaczanie twardości.
Opisy tych ćwiczeń oraz stanowisk badawczych znaleźć można w programie przedmiotów:
Wytrzymałość materiałów (st. dzienne, Inżynieria Środowiska ) (str. 8-15) otwórz
Mechanika techniczna (st. zaoczne, Inżynieria Środowiska) (str. 6-15) otwórz
11