Aktywności matematyczne studentów inspirowane grami Penneya

"!$# %'& (
)"*,+ - # %'%.-/# - %.01*,# 02%.3546%7*,8 9 3%7*,# 02%.9':;9 <,*,# = 9 =2*,# %?>A@$BCC(D
46%.02# 91EF46%GE,"<IH"J %.<1K %.<1%ML%"N"!$O PQ%
RTSQUWVXYWZZSQZSQU[SQ\SQ]V
^VX_ZU
`Gacbed f gih d j This paper proposes a way to adapt theories of countable probabilistic spaces in order to use them to educate mathematical students
trained to be teachers. It presents many examples of how to develop
students’ mathematical activities using stochastic games called Penney
games. Introducing chance games delivers the opportunity of creating
and examining probabilistic spaces. The fairness of games is a problem
that inspires and motivates mathematicians to formulate problems and
tasks of a probabilistic and general mathematical character.
Współczesna dydaktyka matematyki kładzie nacisk na rozwijanie aktywności matematycznej w procesie nauczania-uczenia się matematyki. Aktywność,
o której mowa, nie może sprowadzać się wyłącznie do rozwijania technik rachunkowych, wyuczania definicji, twierdzeń i technik ich stosowania oraz do
opanowywania i stosowania schematów rozwiązywania typowych zadań. Zdaniem Z. Krygowskiej:
współczesna dydaktyka eksponuje inny rodzaj aktywności, aktywność
twórczą, czynny i świadomy udział uczącego się w odkrywaniu pojęć,
wzorów, twierdzeń, dowodów, w schematyzowaniu sytuacji, w ich matematyzowaniu, ogólnie w rozwiązywaniu problemów bardzo zróżnicowanych, obejmujących całość materiału. Chodzi zatem o aktywność typowo
matematyczną
(Krygowska, 1982, s. 13)
W literaturze naukowej matematykę przedstawia się bardzo często jako produkt aktywności matematycznej. Jest to efekt pracy wielu pokoleń matematyków, obejmujący różne teorie zawierające bogactwo abstrakcyjnych pojęć,
twierdzeń, metod i schematów działania, specyficzny język itp. Dydaktyka matematyki przeciwstawia temu matematykę w stadium tworzenia, matematykę jako aktywność obejmującą: matematyczną heurystykę, tworzenie
pojęć i ich definiowanie, odkrywanie twierdzeń, także na drodze indukcyjnej,
sposoby weryfikacji tez, specyfikacje, uogólnianie itp. W zakres tej działalności
klnmo"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
wlicza się historyczną genezę matematycznych struktur, analizę ich rozwoju
i transformacji języka (por. Duda, 1982).
Matematyka jako szczególna aktywność jest rozwiązywaniem problemów,
w zakres którego wchodzi: formułowanie matematycznego zadania, poszukiwanie narzędzi jego rozwiązywania wśród już znanych matematycznych pojęć
i metod względnie odkrywanie dopiero tych narzędzi, rozwiązywanie problemu, weryfikacja poprawności kolejnych etapów rozwiązywania, poszukiwanie
prostszych dróg rozwiązania (np. przez przejście do innego modelu), uogólnianie problemu, odkrywanie analogii, wnioskowania przez analogie itd. (zob. np.
Legutko, 1987).
Istotą „matematyki sytuacji” jest prowokowanie uczenia się przez wykorzystywanie różnych typów sytuacji problemowych. W niniejszej pracy prezentujemy pewną problematykę stwarzającą okazję do rozwijania aktywności
matematycznych studentów.
Niżej wyróżniamy pewne rodzaje aktywności składających się na ogólną
aktywność matematyczną, wymienione w pracach Z. Krygowskiej (1982; 1985;
1986), S. Turnaua (1978), W. Nowak (1989, s. 209), a występujące przy rozwiązywaniu problemów zaproponowanych w tej pracy:
1. Dostrzeganie i formułowanie problemów. Odczytywanie tekstu (opisu sytuacji, zadania, rozwiązania, opisu ogólnego rodzaju sytuacji, zadania lub
metody postępowania).
2. Konstruowanie i definiowanie nowych pojęć (także ich odkrywanie jako
narzędzi rozwiązywania problemów), weryfikacja poprawności definicji,
formułowanie kryteriów tej poprawności.
3. Odkrywanie, formułowanie i dowodzenie twierdzeń (sugerowanych np.
przez własności odkryte w konkretnych przykładach).
4. Rozwiązywanie problemów w sytuacjach nietypowych, dobór różnych
środków i metod argumentacji.
5. Schematyzacja (przedstawienie rysunkowe, opis werbalny skierowany na
matematyzację, opis symboliczny sytuacji realnej lub fikcyjnej). Matematyzacja sytuacji pozamatematycznych.
6. Działania prowadzące do dostrzeżenia i wykorzystania analogii sytuacji
lub zadania z poznaną wcześniej sytuacją lub rozwiązanym wcześniej zadaniem, dobór środków uzasadniających te analogie.
7. Ogólny opis dostrzeżonej wcześniej wspólnej struktury kilku sytuacji lub
zadań, bądź wspólnej metody postępowania.
W pracy podajemy przykłady rozwijania aktywności matematycznych studentów z wykorzystaniem pewnych gier stochastycznych. W rozdziale 2 przybliżamy problematykę wspomnianych gier, w rozdziale 3 ukazujemy różnorodne
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“kln”
aktywności inspirowane grami Penneya, a w rozdziale 4 przedstawiamy wyniki badań dotyczących możliwości wykorzystania tych gier do aktywizowania
matematycznego studentów.
W akademickich ujęciach prawdopodobieństwo wraz z przestrzenią probabilistyczną określane jest aksjomatycznie. Ta definicja pozwala natychmiast
organizować fazę dedukcji, nie daje jednak narzędzi do rachunków. Obliczanie
prawdopodobieństwa zdarzenia odbywa się już nie na podstawie definicji, ale –
w zależności od zadania – za pomocą algorytmów, które nie bardzo wiadomo
jak się mają do samej definicji.
Praca bazuje na pewnym dydaktycznym ujęciu teorii przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych, adresowanym do studentów matematyki sekcji nauczycielskich (Płocki, 1997a; 1997b; 2004; Major, Nawolska, 1999). Skończone przestrzenie probabilistyczne (w tym przestrzenie klasyczne) stanowią tylko
mały fragment tego ujęcia rachunku prawdopodobieństwa. Proponujemy zatem
inną definicję prawdopodobieństwa. W odróżnieniu od definicji aksjomatycznej
definicja ta podaje wzór na prawdopodobieństwo każdego zdarzenia w ziarnistej
przestrzeni probabilistycznej. W niektórych przypadkach prawdopodobieństwo
zdarzenia jest z definicji sumą szeregu. Sum tych szeregów często nie potrafimy znajdować na gruncie analizy matematycznej. W tej pracy proponujemy
pewne narzędzia pozwalające znajdować sumy szeregów na gruncie rachunku
prawdopodobieństwa.
Problematyka zadań dobrana jest tak, aby pojęcie prawdopodobieństwa
zdarzenia mogło być prezentowane jako narzędzie rozwiązywania konkretnych
problemów i to narzędzie możliwe do odkrywania na zajęciach ze studentami
oraz z uczniami na lekcji w szkole. W tym sensie rozwiązywanie wielu zadań,
które proponujemy w tej pracy, staje się ilustracją procesu stosowania matematyki.
Silne motywacje do intelektualnego wysiłku inspirowane są przez liczne paradoksy, które ujawniają się w trakcie rozwiązywania zadań.
•I–˜—7™7š7›2œA7ž šZ7œŸ7š7 iž š¢¡7 }£¤v¥¦ž2 iš7Ÿ7™7š7›¨§ª©7 i«¢¬ š777š7«7œ
Niech Ω = {ω1 , ω2 , . . .}. Rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω nazywamy każdą funkcję p określoną na zbiorze Ω, nieujemną i taką, że
∞
X
p(ωj ) = 1.
j=1
Parę (Ω, p) nazywamy ziarnistą (dyskretną) przestrzenią probabilistyczną.
Niech (Ω, p) będzie przestrzenią probabilistyczną ziarnistą. Jeżeli Ω jest
zbiorem możliwych wyników pewnego doświadczenia losowego, a funkcja p
przypisuje każdemu wynikowi prawdopodobieństwo, z jakim doświadczenie może zakończyć się tym wynikiem, to tę przestrzeń nazywamy modelem proba-
k­7®o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
bilistycznym wspomnianego doświadczenia. Taka przestrzeń opisuje wówczas
(modeluje) to doświadczenie losowe. Mówimy, że jest ona zgodna z tym doświadczeniem losowym.
Niech (Ω, p) będzie ziarnistą przestrzenią probabilistyczną. Niech Z = 2Ω .
Prawdopodobieństwem w przestrzeni (Ω, p) nazywamy każdą funkcję P : Z −→ R
określoną następująco:

0,
gdy A = ∅,



 p(ω),
gdy A = {ω},
P (A) = X


p(ω),
gdy A jest zbiorem co najmniej dwuelementowym.


ω∈A
Liczbę P (A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. Przestrzenią
probabilistyczną nazywamy także trójkę (Ω, Z, P ), gdzie Z = 2Ω , P zaś jest
prawdopodobieństwem na Z w sensie powyższej definicji.
Rzut monetą (symetryczną) może zakończyć się wypadnięciem reszki lub
orła. Wypadnięcie reszki będziemy kodować literą r, zaś wypadnięcie orła literą
o. Przy tej umowie {o, r} jest zbiorem jednakowo możliwych wyników rzutu
monetą.
Wynik k-krotnego rzutu monetą kodujemy k-wyrazową wariacją zbioru
{o, r}. Jej j-ty wyraz jest kodem wyniku j-tego rzutu.
Każdy wynik k-krotnego rzutu monetą nazywamy serią orłów i reszek. Liczbę k nazywamy długością serii. Ciąg rorr przedstawia serię orłów i reszek o długości 4, ciąg or jest serią orłów i reszek o długości 2. Do serii orłów i reszek zaliczamy także wyniki o i r pojedynczego rzutu monetą jako serie o długości 1.
Niech a będzie serią orłów i reszek o długości k. Jeśli w serii a zamienimy
jednocześnie każdą literę o na r i każdą literę r na o, to uzyskamy nową serię
b o długości k. Takie serie a i b nazywamy dualnymi. Serie oorrr i rrooo są
dualne. Dualne są także serie ooo i rrr.
Niech a i b będą ustalonymi seriami orłów i reszek o długości k. Powtarzanie
rzutu monetą tak długo, aż wyniki k ostatnich rzutów utworzą albo serię a, albo
serię b, nazywamy czekaniem na jedną z serii a, b orłów i reszek i oznaczamy
δa−b .
Ciąg ω, którego wyrazami są elementy zbioru {o, r} jest wynikiem czekania
δa−b wtedy i tylko wtedy, gdy: ω jest ciągiem co najmniej k-wyrazowym i takim,
że:
1◦ podciąg k jego ostatnich wyrazów tworzy serię a albo serię b,
2◦ żaden podciąg k kolejnych wcześniejszych wyrazów nie jest serią a, ani
nie jest serią b.
Oznaczmy zbiór tak określonych wyników doświadczenia δa−b symbolem Ωa−b .
Jeśli ω ∈ Ωa−b i ω jest ciągiem n-wyrazowym, to ω jest szczególnym wynikiem
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€?r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s{x}p‰ŠrI’Gs{‡{‡{s{†{p°k­nk
n-krotnego rzutu monetą, a więc jego prawdopodobieństwo jest równe 21n , czyli
( 12 )n . Wynika stąd, że modelem1 czekania δa−b jest para (Ωa−b , pa−b ), gdzie
pa−b jest funkcją określoną wzorem:
|ω|
1
pa−b (ω) =
2
dla ω ∈ Ωa−b
i gdzie |ω| oznacza liczbę wyrazów ciągu ω, czyli jego długość.
Z doświadczeniem losowym δa−b zwiążmy dwa zdarzenia przeciwne:
A = {czekanie δa−b zakończy się uzyskaniem serii a},
B = {czekanie δa−b zakończy się uzyskaniem serii b},
które oznaczamy A = {. . . a} i B = {. . . b}, a ich prawdopodobieństwa odpowiednio przez P (. . . a) i P (. . . b).
Jeśli P (. . . a) = P (. . . b), to serie a i b nazywamy jednakowo dobrymi i oznaczamy a ≈ b.
Jeśli P (. . . a) > P (. . . b), to serię a nazywamy lepszą od serii b i oznaczamy
a b.
W zbiorze serii orłów i reszek o długości k określone zostały zatem dwie
relacje: ≈ i , które nie są przechodnie (zob. Major, Nawolska, 1999, § 4.7.4,
s. 136-150).
Niech a, b i c będą ustalonymi seriami orłów i reszek o długości k. Powtarzanie rzutu monetą tak długo, aż wyniki k ostatnich rzutów utworzą albo serię
a, albo serię b, albo serię c nazywamy czekaniem na jedną z serii a, b, c orłów
i reszek i oznaczamy δa−b−c .
Ciąg ω, którego wyrazami są elementy zbioru {o, r} jest wynikiem czekania
δa−b−c wtedy i tylko wtedy, gdy: ω jest ciągiem co najmniej k-wyrazowym
i takim, że:
1◦ podciąg k jego ostatnich wyrazów tworzy jedną z serii a albo b, albo c,
2◦ żaden podciąg k kolejnych wcześniejszych wyrazów nie jest ani serią a,
ani serią b, ani serią c.
Zbiór tak określonych wyników doświadczenia δa−b−c oznaczamy symbolem
Ωa−b−c . Jeśli ω ∈ Ωa−b−c i ω jest ciągiem n-wyrazowym, to jego prawdopodobieństwo jest równe 21n , czyli ( 21 )n . Modelem czekania δa−b−c jest para
(Ωa−b−c , pa−b−c ), gdzie pa−b−c jest funkcją określoną następująco:
pa−b−c (ω) =
1 Zob.
(Płocki, 2004, rozdział 2).
|ω|
1
2
dla ω ∈ Ωa−b−c .
k­7±o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
Z doświadczeniem δa−b−c zwiążmy układ zupełny trzech zdarzeń:
A = {czekanie δa−b−c zakończy się uzyskaniem serii a},
B = {czekanie δa−b−c zakończy się uzyskaniem serii b},
C = {czekanie δa−b−c zakończy się uzyskaniem serii c}.
Wprowadźmy oznaczenia A = {. . . a}, B = {. . . b} oraz C = {. . . c}. Niech
P (. . . a), P (. . . b) i P (. . . c) oznacza dalej prawdopodobieństwo zdarzeń, odpowiednio A, B i C .
Jeśli w przestrzeni probabilistycznej, będącej modelem doświadczenia
δa−b−c , jest P (. . . a) = P (. . . b), to serie a i b nazywamy jednakowo dobrymi i oznaczamy a ≈ b, jeśli zaś P (. . . a) > P (. . . b), to serię a nazywamy lepszą
od serii b i oznaczamy a b.
W zbiorze serii orłów i reszek {a, b, c} określone zostały zatem dwie nowe
relacje: ≈ i (oznaczamy je tymi samymi symbolami jak w przypadku relacji
związanej z czekaniem δa−b ).
Niech a i b będą seriami orłów i reszek o długości k. W grze z udziałem dwu
graczy Ga i Gb przeprowadza się doświadczenie δa−b . Jeśli zakończy się ono
uzyskaniem serii a, to zwycięża gracz Ga ; jeśli zakończy się uzyskaniem serii
b, to zwycięża gracz Gb . Tego typu grę losową zaproponował Walter Penney
(1974). Nazywamy ją grą Penneya i oznaczamy ga−b .
W grze Penneya ga−b zwycięży gracz Ga wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie
zdarzenie A = {. . . a}. Zwycięstwo gracza Gb jest równoznaczne z zajściem
zdarzenie B = {. . . b}.
Jeśli P (. . . a) = P (. . . b), to gra jest sprawiedliwa, serie a i b dają graczom
równe szanse na zwycięstwo. Ten fakt tłumaczy nazwę serie jednakowo dobre.
Mamy wtedy P (. . . a) = 21 i P (. . . b) = 12 .
Jeśli P (. . . a) > P (. . . b), to seria a daje graczowi Ga w grze Penneya większe
szanse na zwycięstwo, niż seria b daje jego przeciwnikowi. Ten fakt tłumaczy
zwrot seria a jest lepsza od serii b. Mamy wówczas P (. . . a) > 21 i P (. . . b) < 12 .
Gra Penneya nie jest wówczas sprawiedliwa.
Rozstrzyganie sprawiedliwości gry Penneya, sprowadza się do obliczania
prawdopodobieństwa zdarzeń A i B w nieskończonej przestrzeni probabilistycznej (Ωa−b , pa−b ). W dalszej części pracy pokażemy, jak w przypadku pewnych
serii orłów i reszek można te rachunki upraszczać.
W analogiczny sposób określamy grę Penneya ga−b−c z udziałem trzech
graczy Ga , Gb , Gc , w której przeprowadza się doświadczenie δa−b−c .
Czekanie δa−b albo δa−b−c jest jednorodnym łańcuchem Markowa (por.
Płocki, 1997a, s. 318-339). Wystarczy uwzględniać w analizie i opisie każdego
z tych doświadczeń tylko możliwe stany czekania. W każdym przypadku wśród
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k­7l
stanów znajduje się tzw. stan początkowy, który oznaczamy przez s. W przypadku doświadczenia dorr−rrr stany tworzą zbiór W = {s, o, or, orr, r, rr, rrr}.
Stany orr oraz rrr są tzw. stanami pochłaniającymi. Czekanie kończy się wraz
z osiągnięciem jednego ze stanów orr lub rrr.
Określmy macierz Q = [p(j → k)] dla j, k ∈ W , gdzie p(j → k) jest prawdopodobieństwem przejścia ze stanu j do stanu k po jednym rzucie monetą
(a więc w jednym kroku). Para (W, Q) prezentuje graf stochastyczny (por.
Płocki, 1997a, s. 281-282).
Elementy zbioru W , tj. stany, przedstawiamy jako punkty płaszczyzny i nazywamy węzłami. Węzeł reprezentujący stan j oznaczamy przez j , j jest etykietą tego węzła2 . Stan s nazywamy początkowym. Węzeł reprezentujący stan
początkowy oznaczamy przez s i nazywamy startem. Jeśli p(j → k) > 0, to
parę j → k nazywamy krawędzią grafu i przedstawiamy na płaszczyźnie jako zorientowany odcinek (prostej lub krzywej) o początku w węźle j i końcu w węźle
k , a liczbę p(j → k), wpisujemy obok krawędzi j → k. Jeśli p(j → j) > 0, to
krawędź j → j nazywamy pętlą. Jeśli p(j → j) = 1, to węzeł j nazywamy
brzegowym, albo metą. Węzeł brzegowy reprezentuje stan pochłaniający. Pętle
j → j, dla których p(j → j) = 1 pomijamy. Zbiór węzłów brzegowych nazywamy brzegiem grafu i oznaczamy przez B. Ciąg krawędzi prowadzących od
węzła startowego do pewnego węzła brzegowego wb nazywamy trasą. Symbolem {s
wb } oznaczamy zbiór wszystkich tras prowadzących z węzła s do
węzła brzegowego wb .
Macierz Q jest kwadratowa, jej wyrazy są liczbami nieujemnymi i suma
wyrazów w każdym jej wierszu jest równa 1. Macierz Q jest więc macierzą stochastyczną. Grafy, o których mówimy, są szczególnymi digrafami (tj. grafami
zorientowanymi), spójnymi (por. Deo, 1980, s. 548) i takimi, że każdej krawędzi przypisana jest liczba dodatnia i suma liczb przypisanych krawędziom
o wspólnym początku jest równa 1.
W przypadku czekania na serie orłów i reszek jest p(j → k) = 0 lub
p(j → k) = 21 . Prawdopodobieństwo przypisane krawędzi grafu jest prawdopodobieństwem jednego z wyników rzutu monetą. W niniejszej pracy, obok
krawędzi grafu wpisujemy ten wynik zamiast jego prawdopodobieństwa.
Rysunek 1 prezentuje graf stochastyczny doświadczenia δorr−rrr . Graf ten
można traktować jako planszę dla gry Penneya gorr−rrr .
Niech Ω∗ oznacza zbiór wszystkich tras na grafie stochastycznym (W, Q).
Przypiszmy każdej trasie na grafie stochastycznym iloczyn liczb przyporządkowanych kolejnym jej krawędziom. Ten iloczyn nazywamy wagą trasy. Niech p ∗
będzie funkcją, która każdej trasie na grafie przypisuje jej wagę. Para (Ω ∗ , p∗ )
jest przestrzenią probabilistyczną. Nazywamy ją przestrzenią probabilistyczną
2 Czasami
węzeł będziemy utożsamiać z jego etykietą.
k­7­o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
indukowaną przez graf stochastyczny. Regułę, za pomocą której zostaje tu określona funkcja p∗ na zbiorze tras, nazywamy regułą mnożenia dla grafu stochastycznego.
Zbiór {s
wb } jest zdarzeniem w przestrzeni (Ω∗ , p∗ ). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia oznaczamy P ∗ (s
wb ).
orr
r
or
r
o
o
o
o
o
s
r
o
r
r
rr
r
rrr
Rysunek 1
² –˜³›1´e«v¥¢7¡7µv¶Gžv·¸œ¹´eš7·¸œ¹´e«7¶G™77šž 7Ÿ7º7ž i¡v¥¢œA7š¢¶G™7š7›2œA7ž š7·»7œWŸ7š7 iž š¢¡7 }£¤v¥¦ž2 iš7Ÿ7™7š7›
Formułowanie i rozwiązywanie zadań powstałych na tle gier Penneya, jest
działalnością matematyczną obejmującą takie aktywności matematyczne, jak:
— przekład na język matematyki pozamatematycznych problemów powstałych na tle gry;
— konstruowanie przestrzeni probabilistycznej jako modelu pewnej sytuacji,
chodzi tu o tworzenie przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych, ale
także o ich redukcje do przestrzeni skończonych;
— dobór środków matematyzacji (chodzi o organizację fazy matematyzacji);
— stawianie hipotez i ich weryfikacja, w tym weryfikacja intuicyjnych ocen
(także środkami statystycznymi);
— dobór środków argumentacji, w tym elementarnych narzędzi rachunków
w nieskończonych przestrzeniach probabilistycznych;
— wyjaśnianie na gruncie matematyki błędów i odkrywanych paradoksów;
— formułowanie wniosków, jakie dla praktyki wynikają z wielkości wyliczonych prawdopodobieństw.
Przeanalizujmy aktywności, jakie pojawiają się w trakcie rozwiązywania
jednego problemu związanego z grą Penneya gorr−rrr . Seria orłów i reszek
o długości m jest wynikiem m-krotnego rzutu monetą, a wszystkie wyniki takiego doświadczenia losowego są jednakowo prawdopodobne. Z tego powodu,
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k­7¼
w przypadku gdy gracze czekają na serie tej samej długości, gra wydaje się
sprawiedliwa. Można tu mówić o pewnej, sugerowanej przez intuicję, hipotezie
H: gra gorr−rrr jest sprawiedliwa. Poddajmy ją najpierw weryfikacji metodami
statystycznymi.
Załóżmy, że gracz Ga zwycięża, ilekroć czekanie zakończy się serią rrr,
gracz Gb – gdy czekanie zakończy się serią orr. Rozważmy zdarzenia: A =
{. . . rrr} oraz B = {. . . orr}. Hipoteza H orzeka, że P (A) = 21 = P (B).
Powtarzajmy teraz grę dostatecznie wiele razy. Zebrane i opracowane dane statystyczne ukazują zaskakujący fakt: częstości zdarzeń A i B różnią się
w sposób istotny (zdarzenie B zachodzi prawie 7 razy częściej niż A), co daje
podstawy do kwestionowania hipotezy H. Odwołujemy się tym samym do rzeczywistości, ale tę działalność można także zaliczyć do aktywności o charakterze
matematycznym. Dane empiryczne kreują w opisanej sytuacji matematyczne
myślenie. Chodzi o wyjaśnienie na gruncie rachunku prawdopodobieństwa tego
sprzecznego z intuicją faktu (zob. Penney, 1974). W pracy A. Płockiego (1998)
omawiana sytuacja ilustruje organizację refleksji a posteriori jako specyficzną
dla stochastyki formę matematycznej aktywności.
W trakcie powtarzania rzutu monetą można dostrzec istotny fakt: wypadnięcie orła przesądza o rezultacie gry (dalsze rzucanie monety jest już zbędne,
bo gracz Ga został w istocie wyeliminowany z gry). Dane statystyczne inspirują
tym samym matematyczne odkrycie.
W trakcie powtarzania rzutu monetą w grze Penneya trzeba stale kontrolować wyniki ostatnich rzutów, aby móc rozstrzygnąć, czy gra już się kończy
i czyim zwycięstwem. Tę procedurę można racjonalizować interpretując przebieg czekania na jedną z ustalonych serii orłów i reszek jako błądzenie losowe
po grafie stochastycznym. Graf pełni tu rolę planszy do gry. Motywacją do
konstrukcji tego grafu jest racjonalizacja zbierania danych statystycznych jako
podstawy do pewnych wnioskowań stochastycznych. Wspomniana racjonalizacja gromadzenia danych jest jedną z form matematycznej aktywności w rachunku prawdopodobieństwa.
Graf stochastyczny z rys. 1 jest planszą do gry gorr−rrr . Konstrukcja tego
grafu jest specyficznym zadaniem matematycznym kreującym specyficzne formy matematycznej aktywności (chodzi o wyłanianie możliwych stanów, czyli
węzłów grafu oraz określanie prawdopodobieństw przejść z jednego stanu do innego). Graf stochastyczny jest więc środkiem matematyzacji, a także argumentacji, pozwala bowiem znaleźć dla każdego z graczy prawdopodobieństwo jego
zwycięstwa. Dotarcie do węzła o eliminuje z gry gracza Ga . Z grafu wynika zatem, że P (. . . orr) jest sumą prawdopodobieństw przejść z węzła s do węzła o .
Chodzi o przejścia: s → o, s → r → o i s → r → rr → o. Prawdopodobieństwa tych
przejść są odpowiednio równe 21 , ( 12 )2 i ( 12 )3 , a zatem P (. . . orr) = 12 + 41 + 81 = 78 .
Powyższa argumentacja opiera się na idei redukcji grafu (z pętlami i cyklami)
do grafu skończonego (por. Major, Nawolska, 1999, s. 291-293). Odkrywanie
takiej idei redukcji opartej na przejściu do innej, skończonej przestrzeni pro-
k­7½o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
babilistycznej, jej weryfikacja na gruncie rachunku prawdopodobieństwa (zob.
także tekst niżej), stanowią kolejny przykład szczególnych aktywności matematycznych, nieznanych w innych dziedzinach matematyki.
Mamy zatem P (. . . orr) = 12 + 14 + 18 = 78 , co wynika ze wspomnianych
redukcji grafu, bądź – co na jedno wychodzi – z faktu, że ilekroć orzeł wypadnie
nie później niż w trzecim rzucie, gra gorr−rrr w istocie się kończy (zajście
zdarzenia {. . . rrr} nie jest w tej sytuacji możliwe).
Obliczmy P (. . . orr) w modelu probabilistycznym doświadczenia losowego dorr−rrr , klasyfikując wyniki doświadczenia dorr−rrr pod kątem zdarzeń
{. . . rrr} i {. . . orr}.
Ciąg rrr jest wynikiem czekania δorr−rrr . Jest to jedyny wynik sprzyjający
zdarzeniu {. . . rrr}. Sklasyfikujmy pozostałe wyniki pod kątem ich początkowych wyrazów. Niech {o . . . orr} oznacza klasę wyników rozpoczynających się
od orła, {ro . . . orr} oznacza klasę wyników rozpoczynających się od ro . . . (tj.
od orła wyrzuconego po raz pierwszy za drugim razem), {rro . . . orr} oznacza
klasę wyników rozpoczynających się od rro . . . (orzeł po raz pierwszy za trzecim razem). Zbiór {{rrr}, {o . . . orr}, {ro . . . orr}, {rro . . . orr}} jest układem
zupełnym zdarzeń. Jeśli rachunki odnieść do przestrzeni (Ω∗ , p∗ ) indukowanej
przez graf, to mamy
P (. . . orr) = P ∗ (s
o) =
1
+
2
2 3
1
1
1 1 1
7
+
= + + = .
2
2
2 4 8
8
Z drugiej strony, jeśli rachunki prowadzić w przestrzeni probabilistycznej
(Ω, p), to prawdopodobieństwo zdarzenia {. . . orr} jest sumą prawdopodobieństw wszystkich wyników doświadczenia dorr−rrr oprócz rrr. Jest więc P (A)
sumą pewnego szeregu, którą można przedstawić jako sumę trzech składników
1 1 1
1
2 , 4 i 8 . Ułamek 2 jest tu sumą prawdopodobieństw wyników tworzących klasę
{o . . . orr}, ułamek 14 jest sumą prawdopodobieństw wyników tworzących klasę {ro . . . orr}, ułamek 18 jest sumą prawdopodobieństw wyników tworzących
klasę {rro . . . orr}.
Graf jest tu jednym z narzędzi rozumowania. Chodzi tu o argumentacje
dotyczące konfrontacji dwu różnych metod rozwiązania tego samego problemu.
Wystarczy teraz wykazać, że prawdopodobieństwo dotarcia z węzła o do
mety orr na grafie z rys. 1 (s. 144) jest równe 1. Graf stochastyczny jest
w omawianej sytuacji wygodnym środkiem argumentacji.
Wielkości wyliczonych prawdopodobieństw tłumaczą, dlaczego w dużej liczbie powtórzeń gry, tak istotnie różnią się częstości zwycięstw poszczególnych
graczy.
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€?r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s{x}p‰ŠrI’Gs{‡{‡{s{†{p°k­7¾
¿7–˜À"·¸ž šiÁeÂG´e7¡7µv¶Gž7Ã7¡7ŸG´e i™7š7©7œA7ž œ¢ž2¥¢«7›2¡7 i™7«7ŸG´e«v¥¢œA7ž œWŸ7«7·¸šG´e iž žvž2œA7œAÄ ¡7©7ž ž
¥ª i¡7™7Å7·¸¡v¥¢œA7ž œA¶GÆ¢ŸG´e¡7¶GÆ7œAŸG´e«7¶G™77«7¶GƝ7œWº7 i™7«7›1£œAÃ7™7ž šZ™7œAÃ7œAÇ
Ã7¡G´e«7¶G™7ÈA¶G«7¶GÆ©7ž š7 ‘¬ š777š7«7œ
W poprzednim rozdziale omówione zostały różnorodne aktywności matematyczne inspirowane grą gorr−rrr . Badania, które prowadziliśmy wśród studentów III i IV roku matematyki, miały pokazać, że odpowiednio dobrana problematyka ćwiczeń (np. wykorzystująca gry Penneya) może wywoływać wspomniane aktywności również wśród studentów, że tak dobrana problematyka
jest źródłem ciekawych zadań, które kształtują pewne pojęcia probabilistyczne, rozwijają intuicje prawdopodobieństwa, są środkiem kontroli wiedzy studentów oraz dobrym surowcem do kształcenia nie tylko stochastycznego, ale
też ogólnomatematycznego.
lnÉ kÉ_Ê7Ë{ÌnÍnθÏnÐnÎ2ÍnϨÑnÒ,Î2Ë{ÐnÓÕÔÖÑnÒ,Ðn̨×vÌnÍnÍnÌnÓnÎ ga−b Ø Ò,ÐnÌnÐÕÏ{Ù$ÚnÛnÌnÍ{Ù$ÜnÔÞÝ Ý ÝÒ,ßnàÚ
á ÎÙ$Ì á ÎÙ$ÓnàâGÍnθã{Ô¨â Ë{ÐnÌnÍnâ Î2Ë{äTШÒ,Î2Ë{änÚnÍnàÚ Ø Ò,Î2Ô¨Ûnß Ø ßnÛnßnånâ ÌnænÏ{Ù$Ô¨Î
Badania przeprowadzono na ćwiczeniach z rachunku prawdopodobieństwa
na III roku matematyki Akademii Pedagogicznej w Krakowie, w trakcie realizacji na wykładzie tematu Graf stochastyczny jako środek matematyzacji i argumentacji. Na wcześniejszych zajęciach studenci poznali graf stochastyczny jako
prezentację przestrzeni probabilistycznej będącej modelem czekania na reszkę
oraz jako planszę do gry, w której dwaj (trzej) gracze rzucają na przemian
monetą, a zwycięża ten, kto pierwszy wyrzuci reszkę. Na wykładzie bezpośrednio poprzedzającym badania studenci poznali grę Penneya gorr−rrr , graf
stochastyczny jako planszę do tej gry oraz jako pewne narzędzie obliczania
prawdopodobieństwa zwycięstwa każdego z graczy.
Na ćwiczeniach studenci otrzymali do rozwiązania serię czterech zadań, za
pomocą których chcieliśmy sprawdzić, czy studenci potrafią zastosować w nowej
sytuacji wiedzę poznaną na ostatnim wykładzie.
Zadanie 1
W grze gooo−roo uczestniczy dwóch graczy Ga i Gb . Gracz Ga czeka na serię
ooo, gracz Gb zaś na serię roo. Czy taka gra jest sprawiedliwa?
Zadanie 2
Rozważ analogiczny problem jak w zadaniu 1 w sytuacji, gdy gracz G a czeka
na serię ror, gracz Gb zaś na serię oro.
Zadanie 3
Czy sprawiedliwa jest gra opisana w zadaniu 1 w sytuacji, gdy Ga czeka na
serię oor, gracz Gb zaś na serię roo?
k­7mo"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
Zadanie 4
Porównaj ze sobą wszystkie pary serii orłów i reszek długości 3 pod kątem
szans, jakie każda z nich daje graczowi w grze Penneya z udziałem dwu graczy.
Zadania rozwiązywane były kolejno (po rozwiązaniu danego zadania studenci otrzymywali do rozwiązania kolejne). W przypadku pierwszych trzech
zadań chodziło o sprawdzenie umiejętności organizacji fazy matematyzacji (interpretacja przebiegu procesu stochastycznego jako błądzenia losowego po grafie stochastycznym, konstrukcja tego grafu i przestrzeni probabilistycznej przezeń indukowanej) oraz organizacji fazy rachunków i dedukcji (argumentacje dotyczące prawdopodobieństw zdarzeń). Szczególnym obiektem obserwacji były
sposoby rozwiązywania ostatniego zadania. Pierwsze trzy zadania miały dostarczyć studentom środków argumentacji do rozwiązywania tego ostatniego
zadania. Chodzi tu o umiejętności organizacji fazy dedukcji, w tym o umiejętności dostrzegania i wykorzystywania symetrii i analogii we wnioskowaniach
stochastycznych.
Zadanie 1. dotyczy gry Penneya gooo−roo (zob. Major, Nawolska, 1999,
s. 125).
Na pytanie, czy gra jest sprawiedliwa, studenci zgodnie odparli, że nie jest
i że rozstrzygnięto to na wykładzie. Studentka (oznaczana dalej przez S2) odpowiedziała, że na wykładzie rozważano analogiczną grę. Poproszona o uzasadnienie odpowiedzi, studentka zaprezentowała graf z rys. 2. i określiła zdarzenie
A = {wygra gracz Ga } = {. . . ooo}.
roo
o
ro
o
r
r
r
r
r
s
o
r
o
o
oo
o
ooo
Rysunek 2
Poniżej przedstawiamy fragment protokołu z nagranego na taśmie wideo
zapisu ćwiczeń, na których rozwiązywano wspomniane zadanie. W cytowanych
fragmentach protokołu zachowana jest oryginalna numeracja wersów. Cały protokół oraz nagranie wideo jest w posiadaniu autorów pracy.
12
S2: P (. . . ooo) [zapisuje P (. . . ooo) =] obliczymy sumując tutaj. . . [wskazuje na
poziomą część grafu]
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€?r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s{x}p‰ŠrI’Gs{‡{‡{s{†{p°k­7”
13
14
15
16
17
18
19
MM:
S2:
MM:
S2:
MM:
S2:
MM:
Co sumując?
Mnożąc. Czyli to będzie prawdopodobieństwo, każdej krawędzi jest. . .
przypisane
. . . przypisane, każdej krawędzi przypisane jest prawdopodobieństwo 12 .
Krawędź nie ma prawdopodobieństwa, można je tylko jej przypisać.
Czyli P (. . . ooo) to będzie jedna ósma [zapisuje P (. . . ooo) = 18 ].
Jedna ósma, zgadzałoby się.
Następnie studentka określiła zdarzenie B = {wygra gracz Gb } = {. . . roo}.
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
S2:
MM:
S2:
MM:
S2:
MM:
S2:
MM:
S2:
MM:
S2:
Czyli tak, może dotrzeć od razu [wskazuje krawędź s → r], czyli 21 .
Od razu.
Teraz będzie dodać [zapisuje 12 +].
Uhm.
Teraz może dotrzeć tutaj [wskazuje przejście s → o → r], 12 razy 12 .
Zgoda.
Czyli jest dodać jedna czwarta [uzupełnia rozpoczęty zapis], dodać. . . Może
dotrzeć tą drogą [wskazuje przejście s → o → oo → r] czyli dodać 18 [kończy
zapis uzyskując P (. . . roo) = 21 + 14 + 18 ].
No i tyle, tak?
Uhm.
Jak to się jeszcze pododaje, to. . .
Czyli to będzie 4 plus 2 plus 1 czyli 87 .
Powyższa argumentacja oparta była na idei zaprezentowanej na wykładzie
w przypadku gry gorr−rrr . Student S1 zauważył ponadto, że pomiędzy grami gorr−rrr (gra z wykładu) i groo−ooo (gra z zad. 1) nie ma żadnej różnicy
jeśli chodzi o prawdopodobieństwa zwycięstwa poszczególnych graczy, gdyż serie rozważane w jednej z tych gier można uzyskać z serii z drugiej gry przez
jednoczesne zamienienie orłów z reszkami. Student w rozumowaniu swoim wykorzystał dostrzeżone analogie między omawianymi grami.
Po tej dyskusji studenci otrzymali do rozwiązania zadanie 2. Odpowiedź
studenta S1 na pytanie o sprawiedliwość gry brzmiała: chyba będzie. Zadanie
rozwiązywała na tablicy studentka S4, która poprawnie skonstruowała graf stochastyczny jako planszę dla rozważanej gry. W tym czasie student S1 zauważył
pewną prawidłowość. Poniżej przedstawiono fragment protokołu z rozwiązywania tego zadania.
46
47
48
49
50
S1:
S3:
MM:
S1:
Tu jest taka symetria. . .
Ale jaka?
Jaka symetria?
Symetria na grafie. . . z możliwością dojścia do obydwu wyników, to się da
zrobić. . .
MM: Tak można, ale trzeba to uzasadnić. . .
k¼n®o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
Studentka S4 nie słyszy tych uwag i kontynuuje rysowanie grafu i uzyskuje
graf z rys. 3. Następnie określa zdarzenia A i B:
A = {wygra gracz Ga } = {. . . ror},
B = {wygra gracz Gb } = {. . . oro}.
51
52
53
54
55
56
57
MM: Tutaj nie będzie tak łatwo obliczyć prawdopodobieństwa, bo nie mamy takiego węzła, jak przedtem, że dodarcie do niego już determinuje zwycięstwo
jednego z graczy. Tylko mety są takimi węzłami. (. . . )
Ale tutaj pan [S1] coś sugerował przed chwilą, jak pani rysowała. Coś
istotnego.
S1: Pewnego rodzaju symetria tu będzie. Znaczy możliwość. . . Aaa, jak sobie
narysujecie prostą przechodzącą przez punkt s pod kątem czterdziestu pięciu stopni. . .
S4: [rysuje prostą]
MM: No dobrze. To jest oczywiście symetria „w sensie rysunku”. Rysunek jest
symetryczny. A co z tego wynika? Da się z tego jakiś wniosek wyciągnąć?
S5: Dróg będzie tyle samo.
MM: (. . . ) Każdej trasie, która prowadzi do tej mety [pokazuje ror], odpowiada
jedna trasa tej samej długości prowadząca do tej mety [pokazuje oro] i na
odwrót. (. . . ) To wynika z tej symetrii. (. . . )
S5: Gra jest sprawiedliwa.
ror
r
ro
r
o
r
o
r
r
s
o
o
r
or
o
oro
o
Rysunek 3
W czasie kiedy studentka S4 konstruowała graf, student S1 zauważył, że
jest on symetryczny (46-50). Po narysowaniu grafu, studentka S4 zastanawiała
się, jak obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń {. . . ror} i {. . . oro}. Student S1
zasugerował, aby narysować prostą przechodzącą przez punkt s pod kątem 45 ◦
(52-56). Studentka narysowała tę prostą i stwierdziła, że gra jest sprawiedliwa,
bo graf ma „oś symetrii”. Nie chodzi tu o symetrie geometryczne, lecz o fakt,
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s{x}p‰ŠrI’Gs{‡{‡{s{†{p“k¼{k
że każdej trasie prowadzącej do mety ror odpowiada dokładnie jedna trasa
tej samej długości prowadząca do mety oro i na odwrót.
Następnie studenci otrzymali do rozwiązania zadanie 3.
Studentka S4 odpowiedziała, że chyba będzie sprawiedliwa, zaś student S1,
że nie, ponieważ „lepsza” jest seria roo, gdyż wyrzucenie w dowolnym momencie
reszki, ale nie po dwóch orłach, zaczyna cykl reszka-orzeł-orzeł.
74
75
76
S1: Bo wyrzucenie w dowolnym momencie reszki, ale nie po dwóch orłach,
zaczyna cykl reszka, orzeł, orzeł.
S2: Ale i tak samo jest na odwrót.
S1: Tak samo jest na odwrót? To się okaże na grafie.
Z tą tezą nie zgodziła się studentka S2, stwierdzając, że tak samo jest na
odwrót. Wypowiedź studenta S1, choć nie jest w pełni precyzyjna, ujawnia, że
student ów dostrzegł ważny fakt, iż po wyrzuceniu reszki zwycięstwo gracza
Ga nie jest już możliwe.
Zadanie 3. rozwiązywała przy tablicy studentka S5. Poprawnie narysowała
graf stochastyczny (rys. 4) oraz określiła zdarzenia {. . . oor} i {. . . roo}, a następnie, wykorzystując metodę stosowaną na wykładzie i przy rozwiązywaniu
zadania 1, uzyskała poprawne rozwiązanie. Studenci zauważyli, że węzły r
oraz oo są osobliwe, w tym sensie, że dotarcie do jednego z nich przesądza
o zwycięstwie jednego z graczy.
roo
o
ro
o
r
r
r
r
r
s
o
o
o
oo
r
oor
o
Rysunek 4
81
82
83
84
85
S3:
MM:
S3:
MM:
Jak jesteśmy w węźle r . . .
Gdzie jesteśmy?
W r .
W stanie r, czyli tutaj [pokazuje węzeł r ], to nie mamy szans przejść na
tę drugą część grafu. Czyli dotarcie. . .
S5: do r. . .
k¼n±o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
86
87
88
89
90
91
S3: . . . już przesądza o zwycięstwie. A tutaj, [wskazuje drugą część grafu] dotarcie do jakiego węzła przesądza o zwycięstwie jednego z graczy?
S5: Dopiero przy orzeł, orzeł [chodzi o węzeł oo ].
MM: Dobrze. To spróbujmy policzyć te prawdopodobieństwa, skoro dotarcie do
tego węzła [wskazuję węzeł r ] przesądza sprawę. A jak do tego węzła
możemy dotrzeć?
S5: 12 , tj. [zapisuje P (. . . roo) = 12 ], albo orzeł, reszka, [chodzi o przejście s →
o → r] to jest 41 [kontynuuje zapis P (. . . roo) = 21 + 14 ].
MM: Chyba wszystko. A to jest ile?
S5: [dopisuje = 34 , następnie oblicza P (. . . oor) jako iloczyn 21 · 12 ].
Po rozwiązaniu trzech zadań na tablicy wypisano, jeden pod drugim, wszystkie wyniki trzykrotnego rzutu monetą i polecono rozwiązać zadanie 4.
Zaproponowano, aby uzyskiwane informacje o tych seriach zbierać w odpowiedniej tabeli. Zadanie rozwiązywał przy tablicy student S1. Propozycja, by
wiersz tabeli odpowiadał serii gracza Ga , kolumna zaś serii gracza Gb , wyszła
od studenta S1. W przecięciu się wiersza odpowiadającego serii a i kolumny
odpowiadającej serii b zaproponowano wpisywać liczbę P (. . . a) (por. tabela
z rys. 5). Na przekątnej tabeli student umieścił znaki ×. Na początku student
wpisał do tabeli już znalezione prawdopodobieństwa obliczone w trakcie analizy gier gooo−roo , gror−oro , goor−roo i grrr−orr . Następnie rozważana była para
serii rro − orr, jako powstała z pary oor − roo przez zamianę orłów na reszki
i reszek na orły. W dalszym ciągu rozpatrywane były pary oro − ror, orr − rrr,
orr − rro, roo − oor, roo − ooo. Po chwili zastanowienia rozważono jeszcze pary
rrr −ooo i ooo−rrr. W przypadku dwu ostatnich par serii student wpisał w tabeli liczbę 12 (argumentując to tym, że grafy są symetryczne). Pod wpływem
sugestii studenta S3 rozważono następnie pary serii oor − ooo oraz ooo − oor.
Student S1 zauważył, że w przypadku tych par serii gra jest sprawiedliwa, gdyż
obydwie serie mają ten sam początek oo, a o zwycięstwie decyduje tylko ostatni
rzut monetą. Student uzasadnił swój sąd następująco: Jeżeli mamy wyrzucone
dwa orły, to decyduje ostatni rzut, czyli czy wypadł orzeł czy reszka, czyli po 21 .
Natomiast, jeżeli nie mamy dwóch orłów, a gdzieś się pojawi reszka wracamy na
start. Cały czas czekamy na dwa orły. Po tym spostrzeżeniu student rozpatrzył
pozostałe pary serii o wspólnym początku długości 2 różniące się tylko ostatnim
wyrazem), tj. następujące pary serii: rrr − rro, rro − rrr, oro − orr, orr − oro,
ror−roo, roo−ror. Jako ostatnie rozpatrzył pary rro−oor, oor−rro, roo−orr,
orr − roo. Środkiem argumentacji były tu symetrie grafu stochastycznego.
Liczby w nawiasach w tabeli z rys. 5 oznaczają kolejność wypełniania poszczególnych kratek tabeli. Student nie wpisywał tych liczb.
Głównym celem badań było sprawdzenie, jak w zależności od pary serii
orłów i reszek studenci dobierają środki argumentacji przy rozstrzyganiu, w jakiej relacji pozostają serie tej pary. Badani studenci nie znali jeszcze algorytmu
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k¼nl
pochłaniania3 , a więc nie dysponowali efektywnym narzędziem obliczania prawdopodobieństw zdarzeń {. . . a} i {. . . b} jako prawdopodobieństw dotarcia do
pewnych węzłów brzegowych grafu stochastycznego. Zadania 1, 2 i 3 pełniły tu
pomocniczą rolę w odkrywaniu niektórych środków (redukcje grafu, wnioskowania przez symetrie, dualizm serii itp.).
ooo
oor
ooo
×
1
2 (14)
1
8 (1)
oor
1
2 (13)
×
1
4 (3)
roo
7
8 (10)
3
4 (9)
1
2 (20)
×
ror
1
2 (2)
1
2 (19)
rrr
1
2 (11)
rrr
1
2 (22)
1
2 (23)
1
2 (24)
rro
1
2 (12)
×
1
2 (18)
1
2 (21)
ror
1
2 (6)
orr
rro
orr
1
2 (17)
×
oro
roo
oro
3
4 (8)
7
8 (7)
1
4 (5)
×
1
2 (16)
1
4 (4)
1
2 (15)
×
×
Rysunek 5
Przegląd wszystkich, ujawnionych na naszych zajęciach środków argumentacji, przedstawiliśmy w monografii (Major, Nawolska, 1999). Rozwiązywanie
trzech pierwszych wymienionych wyżej zadań pozwala (dzięki symetriom i analogiom) porównywać ze sobą serie aż w przypadku dwudziestu czterech spośród
56 par serii. Należy tu podkreślić, że studenci na ogół dostrzegali symetrie
i analogie, które są podstawą wnioskowań. Fakt, że dwie serie różniące się tylko
ostatnim wyrazem, a także każde dwie serie dualne są w grze Penneya seriami
jednakowo dobrymi, został na zajęciach odkryty przez studentów, co zasługuje
na podkreślenie.
lnÉ ±7É_Ê7Ë{ÌnÍnθÏnÐnÎ2ÍnϨÑnÒ,Î2Ë{ÐnÓÕÔÖÑnÒ,ÐnÌÕ×vÌnÍnÍnÌnÓnÎ gooo−rrr−roo Ø Ò,ÐnÌnШÏ{Ù$ÚnÛnÌnÍ{Ù$ÜnÔÞÝ çÒ,ßnàÚ
á ÎÙ$Ì á ÎÙ$ÓnàâGÍnθã{Ô¨â Ë{ÐnÌnÍnâ Î2Ë{äTШÒ,Î2Ë{änÚnÍnàÚ Ø Ò,Î2Ô¨Ûnß Ø ßnÛnßnånâ ÌnænÏ{Ù$Ô¨Î
Niżej prezentowana jest analiza przebiegu ćwiczeń przeprowadzonych w innej grupie studentów IV roku matematyki AP w Krakowie pod koniec dru3 Algorytm pochłaniania pozwala na efektywne wyznaczanie prawdopodobieństw dotarcia do węzłów brzegowych grafu. Ten algorytm, jako narzędzia rachunków, ma zastosowanie
w sytuacji, gdy przebieg doświadczenia jest interpretowany jako błądzenie losowe po grafie
stochastycznym. Obliczanie prawdopodobieństwa pewnych zdarzeń sprowadza się do rozwiązywania układu równań liniowych. Algorytm ten przedstawiono w (Engel, 1980) oraz – wraz
z dowodem – w (Płocki, 1997a, s. 303).
k¼n­o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
giego semestru kursu rachunku prawdopodobieństwa. Badani studenci poznali
gry Penneya dopiero na czwartym roku podczas realizacji tematu Łańcuchy
Markowa, a więc póżniej niż studenci stanowiący grupę badaną, której wyniki
opisano wcześniej. Na jednym z wykładów porzedzających ćwiczenia studenci
zostali zapoznani z grafem stochastycznym, przestrzenią generowaną przez graf
oraz z metodami redukcji grafów pozwalającymi przechodzić z przeliczalnych
do skończonych przestrzeni probabilistycznych. Studenci posiadali też narzędzia
obliczania prawdopodobieństw dotarcia do węzłów brzegowych grafu (algorytm
pochłaniania). Nie mieli jednak zbyt wiele okazji do wykorzystania poznanych
narzędzi. Opisywane ćwiczenia (rejestrowane kamerą wideo) miały sprawdzić,
czy studenci potrafią wykorzystać wiadomości zdobyte na wykładzie do rozwiązywania nowych zadań.
Zadaniem studentów była ocena szans graczy Ga , Gb i Gc w grze Penneya
gooo−rrr−roo, w której gracz Ga zwycięża, ilekroć czekanie δooo−rrr−roo zakończy się serią ooo, gracz Gb zwycięża, gdy czekanie δooo−rrr−roo zakończy się serią
rrr, a gracz Gc , gdy czekanie δooo−rrr−roo zakończy się serią roo. W pierwszej
ocenie szans graczy w grze Penneya gooo−rrr−roo (jeszcze bez odwoływania się
do grafu i bez żadnych obliczeń) studenci odkryli, że wypadnięcie reszki eliminuje z gry gracza Ga .
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
A: Wystarczy, że raz wypadnie reszka, wtedy gracz Ga nie może wygrać
[Ga — ooo], po prostu jedna reszka go eliminuje. Po reszce nie mogą być
trzy orły, bo po dwóch orłach gra się kończy. Natomiast gracz Gb [rrr]
przy jednej reszce ciągle jeszcze może wygrać.
BN: Co zatem pan sugeruje?
A: To jest taka sytuacja, jakby tego gracza Gb nie było. . .
S-gr: [kilka głosów] Ga !
A: Nie!, Gb gdyby nie było, bo wtedy właśnie. . . była taka sytuacja, że rysowaliśmy graf dla takiej sytuacji . . . [on myśli o grafie dla gry gooo−roo,
w której seria roo jest siedem razy lepsza niż seria ooo].
S-2: Przecież Gb może zwyciężyć!
A: Dobrze, ale jakby go nie było, dlaczego Ga nie ma szans.
S-2: No właśnie, Ga nie ma szans, bo jak r wypadnie, to albo ci wypadną dwa
orły, albo. . . [śmiech grupy]
A: Ja bym pominął tego Gb na razie i uzasadniam, dlaczego Ga nie ma szans,
bo myśmy coś takiego robili [zapewne znowu myśli o grze gooo−roo] i to
było uzasadniane, że wypadnięcie. . . tam chyba 7 razy większe było prawdopodobieństwo, właśnie tylko jedna droga prowadzi do Ga . Natomiast
wypadnięcie reszki eliminuje go [gracza Ga ], natomiast Gb [wypadnięcie
reszki] nie eliminuje.
BN: Jest to pewne uzasadnienie. Wypadnięcie reszki eliminuje gracza Ga , więc
szanse gracza Gb są większe. Jak inaczej można to uzasadnić?
P: Jak wypadnie reszka, to gracz Ga . . .
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k¼n¼
30
31
32
33
34
35
36
37
38
A: Dla gracza Ga gra się kończy. Można rozważać tylko dla dwu graczy Gb
i Gc .
P: Na początku jak mamy pierwszy rzut, to wypadnie orzeł lub reszka. Jak
wypadnie reszka, to ten gracz Ga już nie może wygrać. Jak wypadnie orzeł,
to gracz Gb jeszcze może wygrać.
A: Tak.
P: Wylosowanie orła zamyka szanse graczowi Ga . . .
A: Reszki!
P: Reszki, zamyka szanse graczowi Ga , natomiast wylosowanie orła nie zamyka szansy graczowi Gb . Dlatego. . .
A: Reszka eliminuje gracza Ga .
BN: Z tego, co państwo mówicie, można wnioskować, że seria ooo daje graczowi
Ga najmniejsze szanse na zwycięstwo. Spróbujmy zobaczyć, jak rozkłada
się prawdopodobieństwo pomiędzy graczy. Jak to zrobić, co możemy do
tego wykorzystać?
G: Jak wypadnie reszka, to wiemy, że zwycięży Gb albo Gc .
Odkrycie faktu, że wypadnięcie reszki eliminuje z gry gracza Ga , było możliwe dzięki wcześniejszej analizie gry gooo−roo . Student A w swojej argumentacji
wykorzystał uzyskane tam rozwiązanie (por. wersy 21-27). Świadczy to o umiejętności dostrzegania pewnych analogii. Po uzyskaniu reszki w grze pozostają
tylko gracze Gb i Gc (wers 38). Aby ocenić ich szanse, studenci pominęli osiągnięty już pierwszy wyraz (r) serii roo i serii rrr (bo pierwsza reszka już jest
uzyskana) i analizowali szanse graczy Gb i Gc , jakby odtąd uczestniczyli w grze
goo−rr .
40
41
42
45
46
47
G: No! Potem mamy dwie reszki albo dwa orły. Zacznijmy od reszki i rozważajmy dwukrotny rzut. . . Serie rr i oo . . . One są dualne.
A: Chodzi o Gb i Gc ?
G: Tak, że są równe.
A: Jeśli policzymy sobie Ga , to prawdopodobieństwa Gb i Gc będą po połowie.
G: Reszty.
A: Po połowie reszty.
Jak ukazuje powyższy fragment ćwiczeń, studenci stwierdzili, że po uzyskaniu reszki chodzi o czekanie na jedną z dwu serii: oo albo rr i rozważali możliwe wyniki dwukrotnego rzutu monetą. Serie oo i rr są dualne, a te – o czym
studenci już słyszeli – są jednakowo dobre, wnioskują więc dalej, że różnica
1 − P (. . . ooo) rozdziela się pomiędzy graczy Gb i Gc (jako miara ich sznas) „po
połowie” (prawdopodobieństwa Gb i Gc będą po połowie reszty). Wnioskowali
tym samym, że w grze gooo−rrr−roo serie rrr i roo są jednakowo dobre.
Aby zweryfikować swoje sądy i znaleźć liczbowe wartości ocenianych wcześniej prawdopodobieństw, studenci narysowali graf stochastyczny (zob. rys. 6),
z którego odczytali, że P (. . . ooo) – jako prawdopodobieństwo dotarcia do mety
ooo – jest równe 18 .
k¼n½o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
58
59
60
S-2: To jest tylko, jeżeli pójdziemy tą trasą [wskazuje na grafie trasę s → o →
oo → ooo]. Gdybyśmy się wrócili [wskazuje węzeł r ], to już jesteśmy
w stronę Gb lub Gc , czyli tylko 18 .
BN: Zgadzacie się państwo? Do mety ooo prowadzi tylko jedna trasa i ma ona
długość trzy.
S-2: [zapisuje na tablicy] A = {zwycięży Ga } = {. . . ooo}, P (A) = 18 .
Studenci zauważyli też, że prawdopodobieństwo dotarcia do węzła r jest
równe 78 . Korzystając z grafu, analizowali liczby tras prowadzących do met
ooo i rrr , ich długości i na tej podstawie wykazali, że w grze gooo−rrr−roo ,
seria rrr jest lepsza niż seria ooo. Jest to ocena raczej jakościowa, bo w tym
momencie nie potrafili jeszcze podać wartości liczbowych prawdopodobieństwa
dotarcia do mety rrr . Do oceny ilościowej prawdopodobieństwa wykorzystali
inną metodę.
rrr
r
rr
o
r
o
roo
o
ro
r
r
r
r
s
o
r
o
o
oo
o
ooo
Rysunek 6
95
G: Jak policzymy prawdopodobieństwo z r do rrr , to już będziemy mieli
wszystko! Oznaczmy sobie przez x [prawdopodobieństwo] dotarcie z r do
mety rrr . Możemy iść [wskazuje najkrótszą trasę i zapisuje:] x = 21 · 12 ,
możemy iść tędy [pokazuje cykl r → rr → ro → r], wtedy będzie [dopisuje]
+ 12 · 12 · 21 · x możemy iść tędy [chodzi o cykl r → ro → r], to będzie
[i dopisuje] + 21 · 12 ·x. [na tablicy widnieje zapis x = 12 · 12 + 12 · 12 · 12 ·x+ 12 · 12 ·x]
Jak ukazuje powyższy fragment ćwiczeń student G przez x oznaczył prawdopodobieństwo dotarcia z węzła r do mety rrr i ułożył równanie: x =
1
1
1
2
4 + 4 · x + 8 · x, (wers 95), z którego wynika, że x = 5 .
Powyższe rozwiązanie jest poprawne, niemniej jeden ze studentów poddał
jednak w wątpliwość jego poprawność. Do tej pory studenci tylko raz stosowali
podobną metodę obliczania prawdopodobieństwa za pomocą równania liniowego4 . Aby zweryfikować kwestionowaną poprawność, studenci rozwiązali zadanie
4 Było tak w kontekście gry, w której dwaj gracze rzucają na przemian monetą i zwycięża
ten, kto pierwszy wyrzuci reszkę (zob. Płocki, 1997a, s. 247 - 248).
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k¼n¾
jeszcze raz, tym razem z wykorzystaniem algorytmu pochłaniania. Zmodyfikowali jednak jego zastosowanie, przyjmując węzeł r jako węzeł początkowy.
111
112
113
114
115
116
117
A: Przyjmijmy za węzeł startowy r i z algorytmu pochłaniania liczmy te
dwa prawdopodobieństwa, a potem przemnóżmy przez prawdopodobieństwo dojścia do węzła r .
G: A może tak zrobić [chce od początku].
A: Możesz zrobić, ale będzie dużo więcej równań.
G: [zastanawia się].
A: Przy r musi być 87 . Gdyby przyjąć, że gra się kończy przy r , to jest
wtedy 78 i stąd policzyć do każdej mety i przemnożyć przez 87 . [Grzegorz
korzystając z algorytmu i „startując z węzła r ” oblicza, że P ∗ (r
rrr) =
pr−rrr = 52 .]
G: Zastanawialiśmy się, czy te szanse są równe [pokazuje mety rrr i roo]. No,
nie są równe. Tu jest 52 , to tam jest 35 .
BN: Czy z tych rachunków potrafimy już powiedzieć, jakie są prawdopodobieństwa zwycięstwa poszczególnych graczy? [studenci dokonują obliczeń:
7
· 52 = 14
i 87 · 35 = 21
i wpisują otrzymane wyniki przy odpowiednich
8
40
40
metach]
Pomysł racjanalizacji rozwiązania pochodzi od studentów (por. wers 111).
Ten zabieg w znacznym stopniu skraca i upraszcza rachunki. Uzyskany wynik
był zgodny z poprzednim rozwiązaniem, nie było więc podstaw do kwestionowania poprawności wspomnianej metody. Ostatecznie pojawił się wniosek, że
serie roo i rrr nie są jednakowo dobre (wers 116), jest roorrr.
Odnosząc opisane argumentacje do przestrzeni probabilistycznej indukowanej przez graf stochastyczny czekania δooo−rrr−roo mamy: P ∗ (s
ooo) = 81 ,
7
2
7 2
∗
∗
∗
P (s
r) = 8 oraz P (r
rrr) = 5 , a zatem P (s
rrr) = 8 · 5 = 14
40 oraz
7 3
21
∗
P (s
roo) = 8 · 5 = 40 .
Rozpatrując argumentacje i błędy studentów w omawianej sytuacji z punktu widzenia strategii heurystycznych Kahnemana–Tversky’ego5 można uznać,
że została tu zastosowana strategia C, której istotą jest wiązanie informacji występujących bezpośrednio po sobie i wykorzystywanie ich we wnioskowaniach,
chociaż nie mają one żadnego związku z rozwiązywanym problemem, lub też
5 Człowiek nie posiadający wystarczającej wiedzy probabilistycznej lub kombinatorycznej
wykorzystuje pewne strategie heurystyczne przy ocenach prawdopodobieństwa w sytuacjach
losowych, a więc związanych z niepewnością i ryzykiem oraz podejmowaniem w tych okolicznościach decyzji. Niektóre z tych strategii wyodrębnili i opisali Kahneman i Tversky (1971),
(porównaj też Shaughenessy, 1977; Walter, 1983; Płocki, 1997b). Strategie te pozwalają wyjaśniać (i to raczej na gruncie psychologii) pewne decyzje i postępowania ludzi, którzy redukują
złożony problem stochastyczny do prostszego. Kahneman i Tversky wyodrębnili trzy zasadnicze strategie heurystyczne:
— A Availiability (strategia dostępności, możliwości wskazania przykładu),
— B Representativeness (strategia reprezentatywności),
— C Anchoring (reguła powiązania, zakotwiczenia).
k¼nmo"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p~np1€w1 ‚{ƒIp
związek ten jest pozorny6 . Studenci wiedzieli, że dualne serie oo i rr są jednakowo dobre w grze goo−rr i wykorzystali tę informację, która w opisanej sytuacji
nie ma zastosowania. Doprowadziło to do błędnych wniosków.
Swój błąd studenci odkryli dopiero po stosownych obliczeniach. Można jednak było ten błąd zauważyć znacznie wcześniej, bo już po narysowaniu grafu
jako planszy do gry gooo−rrr−roo , ponieważ podgraf tego grafu zaczynający się
w węźle r nie jest grafem dla gry goo−rr (jak to się studentom wydawało).
Wynika to z faktu, że z węzła ro , po wyrzuceniu reszki, czekanie przechodzi
w stan r , a nie w stan rr . Krawędź ro→r burzy symetrie sugerowane przez
intuicję. W grze gooo−rrr−roo nie ma takiej symetrii, jaka jest w grze goo−rr .
W swych wnioskowaniach studenci wykorzystywali analogie (skoro wypadnięcie
reszki w grze gooo−roo uniemożliwia uzyskanie serii ooo, to w grze gooo−rrr−roo
jest analogicznie). Badani stawiali hipotezy (w grze gooo−rrr−roo serie ooo i rrr
nie są jednakowo dobre, zaś serie rrr i roo są w tej grze jednakowo dobre),
które następnie poddawali weryfikacji. Dokonywali ocen szans graczy w grze
w sposób jakościowy, a następnie ilościowy. Przy wyznaczaniu wartości liczbowych prawdopodobieństw zdarzeń korzystali z definicji prawdopodobieństwa
rrr) = 52 ) z mało znanej me(P ∗ (s
ooo) = 18 ) oraz (przy obliczaniu P ∗ (r
tody równań liniowych (zob. Płocki, 2004, s. 138-139) a następnie z algorytmu
pochłaniania. Studenci zastosowali algorytm, aby zweryfikować wcześniej zastosowaną metodę równań liniowych. Nie zastosowali algorytmu automatycznie,
tylko samodzielnie dokonali jego modyfikacji, aby uprościć rachunki, co jest
kolejnym przykładem ich aktywności matematycznej. Zauważmy, że rozwiązywanie zadań wieloma sposobami jest kolejną aktywnością matematyczną.
Opisane zajęcia ujawniają szereg aktywności matematycznych specyficznych dla stochastyki oraz rolę błędnych wnioskowań w matematycznej aktywizacji studentów, w tym także w matematycznym odkryciu (chodzi o specyficzne
argumentacje w nieskończonych przestrzeniach probabilistycznych).
è"–˜é"œA›2¡7Ç7¶G™7š77ž š
Praca jest propozycją adaptacji teorii przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych dla potrzeb kształcenia studentów matematyki sekcji nauczycielskiej.
Wprowadzenie gry losowej (gra Penneya) dostarcza procesowi tworzenia i badania wspomnianych przestrzeni probabilistycznych pewnych motywacji. Problem sprawiedliwości gry inspiruje i motywuje formułowanie problemów i zadań
o charakterze zarówno probabilistycznym, jak i ogólnomatematycznym.
6 Istotą strategii C, jest wiązanie informacji występujących kolejno po sobie i wykorzystywanie ich we wnioskowaniach, chociaż nie mają one żadnego wpływu na rozwiązanie problemu.
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€'r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s‘{x}p‰Šri’Gs{‡{‡{s{†{p“k¼n”
W pracy:
— Zaproponowano szczególny „surowiec” do tworzenia matematycznych zadań.
— Ukazano wykorzystanie elementarnych środków badania nieskończonych
przestrzeni probabilistycznych, takich jak graf, symetrie i analogie, dzięki którym możliwe były nowe metody obliczania prawdopodobieństwa
zdarzenia w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej oparte na interpretacji przebiegu łańcucha Markowa jako błądzenia losowego po grafie
stochastycznym (redukcje grafu, wyróżnianie węzłów osobliwych, symetrie grafu, algorytm pochłaniania i jego modyfikacje).
— Przedstawiono szereg sytuacji problemowych jako źródła problemów i zadań, których formułowanie i rozwiązywanie przedstawiono zarazem jako szeroko rozumianą działalność matematyczną. Proponowane w pracy
(a także prezentowane w monografii Major, Nawolska, 1999) zadania
i problemy związane z grami Penneya, zostały tak sformułowane, aby
ich rozwiązywanie nie tylko sprawdzało rozumienie pojęć stochastycznych, ale także wyzwalało aktywności matematyczne, rozwijało intuicje
stochastyczne i ujawniało błędy sugerowane przez intuicje oraz by ujawnione w ten sposób błędy motywowały do matematycznej aktywizacji.
— Wyróżniono kilka typów argumentacji specyficznych dla rachunku prawdopodobieństwa, ukazujących, jak rozmaite formy matematycznej aktywności może kreować problematyka stochastyczna i jak ważny udział może
mieć ona w kształceniu stochastycznym i ogólnomatematycznym studenta matematyki sekcji nauczycielskiej.
Omówione wyżej zajęcia stanowią ilustrację szczególnego w formie oraz
treści sposobu kształtwania takich pojęć rachunku prawdopodobieństwa, jak:
przestrzeń probabilistyczna, zdarzenie i jego prawdopodobieństwo. Te elementarne pojęcia stochastyczne pojawiają się w kontekście nieskończonych przestrzeni probabilistycznych, dzięki czemu możliwe jest analizowanie osobliwych
aspektów tych pojęć (prawdopodobieństwo zdarzenia jako sumy pewnych szeregów, ujawnianie własności pojęć wynikających z faktu, że je rozpatrujemy
w przestrzeniach przeliczalnych, własności uwarunkowane własnościami szeregów itd.). Dzięki zaproponowaniu elementarnych narzędzi organizacji fazy
matematyzacji oraz fazy dedukcji i rachunków (pozwalających np. pomijać
w rachunkach szeregi) badanie nieskończonych przestrzeni probabilistycznych
stało się możliwe na gruncie matematyki elementarnej (tj. szkolnej matematyki,
a tym samym propedeutyki rachunku prawdopodobieństwa na sekcji nauczycielskiej).
k½7®o"pqcr sutvo"pet w1x$y1z{px}|{px}p‘~np1€w1 ‚{ƒIp
ê{â Ù$ÌnÒ,ÎÙ$ÚnÒ,Î
Deo, N.: 1980, Teoria grafów i jej zastosowanie w technice i informatyce, PWN, Warszawa.
Duda, R.: 1982, Zasada paralelizmu w dydaktyce, Roczniki Polskiego Towarzystwa
Matematycznego, Seria V, Dydaktyka Matematyki 1, 127 - 138.
Engel, A.: 1980, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Ernst Klett Verlag, Stuttgart.
Kahneman, D., Tversky, A.: 1971, Subjective probability: A judgment of representativeness, Cognitive Psychology 3, 430 - 454.
Krygowska, Z.: 1982, Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria V, Dydaktyka
Matematyki 1, 7 - 60.
Krygowska, Z.: 1985, Kształcenie aktywności matematycznej uczniów i rola problemów w tym kształceniu, w: G. Treliński, H. Siwek (red.), Modernizacja kształcenia matematycznego i jej wpływ na rozwój dydaktyki matematyki. Wybór artykułów Anny Zofii Krygowskiej z lat 1958 - 1972, Wydawnictwo Naukowe WSP,
Kraków, 71 - 99.
Krygowska, Z.: 1986, Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać
znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich, Roczniki Polskiego Towarzystwa
Matematycznego, Seria V, Dydaktyka Matematyki 6, 25 - 41.
Legutko, M.: 1987, Przykłady behawioralno-poznawcze postaw uczniów klasy czwartej
szkoły podstawowej wobec zadań matematycznych, Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria V, Dydaktyka Matematyki 8, 512 - 102.
Major, M., Nawolska, B.: 1999, Matematyzacja, dedukcja, rachunki i interpretacja
w zadaniach stochastycznych, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.
Nowak, W.: 1989, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa.
Penney, W.: 1974, Problem 95: Penney–ante, Jurnal of Recreational Mathematics
7, 321.
Płocki, A.: 1997a, Stochastyka 1. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna jako matematyka „in statu nascendi”, Wydawnictwo Naukowe WSP,
Kraków.
Płocki, A.: 1997b, Stochastyka 2. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Zarys dydaktyki, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.
Płocki, A.: 1998, Refleksja a posteriori – mało znana w nauczaniu stochastyki forma
aktywności matematycznej, Wyż. Szkoła Ped. Kraków. Rocznik Nauk.-Dydakt.
Prace z Rachunku Prawdopodobieństwa i jego Dydaktyki 2, 146 - 178.
Płocki, A.: 2004, Prawdopodobieństwo wokół nas – rachunek prawdopodobieństwa
w zadaniach i problemach, Wydawnictwo „Dla szkoły”, Wilkowice.
Shaughenessy, J.: 1977, Misconception of probability, Educational Studies in Mathematics 3, 295 - 316.
„ ƒ… †I€‡{w1ˆ{qcrI‰Špi… s{‰Špi… †{qc‹{‡{s¯‚,… Œ{{s{‡,… Ž{€?r ‡{‚{{r x}w{€p‡{s{x}p‰ŠrI’Gs{‡{‡{s{†{p°k½nk
Turnau, S.: 1978, Rola podręcznika szkolnego w kształtowaniu pojęć i rozumowań matematycznych na poziomie pierwszej klasy panadpoczątkowej, Wydawnictwo Naukowe WSP, Kraków.
Walter, H.: 1983, Heurystische strategien und fehlvorstellungen in stochastischen situationen, Der Mathematikunterricht 1, 11 - 23.
Instytut Matematyki
Akademia Pedagogiczna
ul. Podchorążych 2
PL-30-084 Kraków
e-mail: [email protected]
Instytut Pedagogiki Przedszkolnej i Szkolnej
Akademia Pedagogiczna
ul. Ingardena 4
PL-30-060 Kraków
e-mail: [email protected]