Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Prowadzący dr Agata Fronczak
Zestaw 4. Potencjały termodynamiczne i ich własności.
2.23 Wykonując odpowiednie transformacje Legendre’a energii wewnętrznej
U (S, X, N ) = T S + XY + µN , wyprowadź zależności opisujące energię swobodną Helmholtza F (T, X, N ) oraz energię swobodną
Gibbsa G(T, Y, N ). Podaj wzory opisujące przyrosty otrzymanych
potencjałów termodynamicznych dF oraz dG.
2.24 Pokaż, że:
i. ciepło zaabsorbowane przez układ termodynamiczny w procesie zachodzącym pod stałym ciśnieniem zewnętrznym p0
jest równe zmianie entalpii tego układu.
ii. praca wykonana nad układem w odwracalnym procesie izotermicznym T0 = T = const (T0 oznacza temperaturę otoczenia,
zaś T temperaturę badanego układu) jest równa zmianie energii swobodnej Helmholtza tego układu.
2.25 Pokaż, że wymienione nierówności
µ
¶
∂S
>0
oraz
∂V U
µ
∂S
∂p
¶
<0
(1)
H
są zawsze spełnione.
2.27 Stany równowagi termodynamicznej. Pokaż, że w stanie równowagi
termodynamicznej, gdy układ nie wymienia materii z otoczeniem dZ = 0 oraz jego temperatura i ciśnienie pozostają stałe
T, p = const, wtedy energia swobodna Gibbsa osiąga wartość minimalną.
Wskazówka: Skorzystaj z pierwszej i drugiej zasady termodynamiki oraz
z definicji potencjałów termodynamicznych.
2.29 Korzystając z zależności opisujących przyrosty energii swobodnych Helmholtza dF oraz Gibbsa dG wyprowadź odpowiednie
relacje Maxwella.
1
2.34 Oblicz energię swobodną Helmholtza F = nf gazu doskonałego
oraz wyraź ten potencjał termodynamiczny w jego naturalnych
zmiennych. Załóż, że entropia gazu jest opisana wzorem
"µ ¶
µ ¶3/2 #
v ³ n0 ´ T
5
s = R + R ln
.
(2)
2
v0
n
T0
"µ
Odpowiedź: F = nf = −nRT − nRT ln
V
V0
¶³
n0 ´
n
µ
T
T0
¶3/2 #
.
2.36 Oblicz energię swobodną Gibbsa G, entalpię H oraz entropię S
pewnego układu termodynamicznego, którego równanie stanu
ma postać
pV = A(T ) + B(T )p + C(T )p2 .
(3)
Załóż, że A(T ), B(T ) oraz C(T ) są znanymi funkcjami temperatury.
Odpowiedź:
G =
S
=
H
=
1
A ln p + Bp + Cp2 + G0 ,
2
1
−A0 ln p − B 0 p − C 0 p2 + S0 ,
2
1
(A − A0 T ) ln p + (B − B 0 T )p + (C − C 0 T )p2 + H0 ,
2
gdzie G0 , S0 i H0 = G0 + T S0 zależą jedynie od temperatury.
2.39 Dwa identyczne zbiorniki o pojemności cieplnej Cp i temperaturach T1 oraz T2 (T1 > T2 ) pracują jako źródła ciepła silnika (rys.
1). Wyznacz maksymalną pracę, jaką może wykonać rozważany
silnik. Załóż, że podczas pracy silnika ciśnienie obydwu zbiorników
ciepła nie ulega zmianie. Potraktuj silnik razem ze zbiornikami
jako układ izolowany.
√
Odpowiedź: Wmax = Cp (T1 + T2 − 2 T1 T2 ).
2.40 Dwa identyczne układy o temperaturze Tp i skończonej pojemności cieplnej Cp są źródłami ciepła pewnej chłodziarki (rys. 2).
Oblicz, ile wynosi minimalna praca, jaką należy wykonać, aby
jeden ze zbiorników ciepła ochłodzić do temperatury T2 < Tp .
Załóż, że podczas pracy chłodziarki ciśnienie obydwu zbiorników
pozostaje niezmienione.
Odpowiedź: Wmin = Cp
(Tp − T2 )2
.
T2
2
Zbiornik T1
Q1
Praca W
Silnik
Q2
Zbiornik T2
Rysunek 1: Do zadania 2.39.
Zbiornik T1
Q1
Praca W
Chłodz.
Q2
Zbiornik T2
Rysunek 2: Do zadania 2.40.
3
a)
G
G
p→p0-
T→T0+
T→T0-
p→p+0
II
p0≠pC
II
T0≠TC
I
I
p0
p
T0
T
b)
v
S
vI
SI
T0≠TC
vII
p0
p0≠pC
SII
p
T0
T
Rysunek 3: Do zadania 3.9.
3.9 Niech (p0 , T0 ) 6= (pc , Tc ) reprezentuje pewien punkt położony na
dowolnej krzywej koegzystencji dowolnego diagramu fazowego.
Znając zachowanie się energii swobodnej Gibbsa w pobliżu tego
punktu (rys. 3a), naszkicuj zachowanie się pierwszych pochodnych tego potencjału.
Wskazówka: Przerywane linie widoczne na rysunku rys. 3a reprezentują
styczne do wykresu energii swobodnej G w odpowiednich punktach (np.
dla p → p+
0 ).
3.12 Pokaż, że jeśli nieciągła przemiana fazowa następuje w kierunku:
od fazy niskotemperaturowej A do fazy wysokotemperaturowej
B, wtedy ciepło tej przemiany jest zawsze dodatnie 1 QA→B > 0
(tzn. ciepło jest pochłaniane).
Wskazówka: QA→B = T0 ∆S = T0 (SB − SA )).
1 Ciepło
ciągłej przemiany fazowej jest zawsze równe zero Q = 0.
4