Zadanie nr 3

Samouczek
przygotowujący
do
Kuratoryjnego
Konkursu
Matematycznego
(na podstawie zadań z roku 2009)
Szkoły podstawowe
Odpowiedzi
Odpowiedzi
Zestaw I
Zadanie nr 1
Treść zadania
Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego
wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice
Arka i wujek mieszkają w bliźniaku..
Arek własny płot malował w piątek od 13:00 do
19:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o
13:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy
dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia
do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem.
O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli
pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy
szybciej od Arka?
Odpowiedź:
Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o 16:00.
2
L211W222
L221W212
L212W122
L222W112
L2121W22
L2211W22
L2122W12
L2212W12
Zadanie nr 2
Treść zadania
Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej
rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca
zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut.
W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra
Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej
od Kazika.
Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła
nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób,
od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do
zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje
rodzeństwa minęło tylko 11 minut!
Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków
przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy?
Odpowiedź:
Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnej
pracy Kazika.
18
3
Zadanie nr 3
Zadanie nr 14
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Treść zadania
Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę
rozpoczął o godzinie 6:00 rano. Gdyby pracował
bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby
zakończyć dopiero o godzinie 13:30. W trakcie
pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy
kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o
godzinie 11:00 pracowali razem. Działkowicz i
młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie,
a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie
większe.
Do której godziny od 6:00 działkowicz pracował
sam? Odpowiedź uzasadnij.
Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu
w postaci kodu L2W12122, gdzie kolejne znaki
oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem",
1 - wagon z miejscami klasy "1", 2 - wagon z
miejscami klasy "2".
Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery
L, wszystkie możliwe składy tego pociągu,
zakładając, że wagon z "Warsem" musi być
bezpośrednio połączony z wagonem klasy "1" z
jednej strony oraz z wagonem klasy "2" z drugiej
strony,
w
dowolnej
kolejności.
Liczba
poszczególnych rodzajów wagonów w składzie
musi być zachowana, każdy skład wagonów musi
rozpoczynać i kończyć wagon klasy "2"
Odpowiedź:
Młodszy kolega przyszedł z pomocą
działkowiczowi o godzinie 9:45.
Odpowiedź:
Możliwe składy pociągu:
L2W11222
L2W12122
L2W12212
L21221W2
L22121W2
L22211W2
L21W2122
L21W2212
L22W1122
L22W1212
4
17
Zadanie nr 13
Treść zadania
Zosia przechowuje
na odpowiednio długim
wieszaku w szafie następujące ubrania:
• cztery takie same zielone bluzki
• trzy takie same granatowe swetry
• dwie takie same czerwone spódnice
Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak – ma
określone zasady:
• czerwone spódnice muszą zawsze wisieć
razem – jedna obok drugiej przy czym żadna
czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu
• grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują
przy czym na środkowej pozycji (piątej od
lewej) zawsze wisi granatowy sweter
Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje
ubrania w szafie?
Odpowiedź:
Zosia może powiesić swoje ubrania na 22 sposoby.
Zestaw II
Zadanie nr 4
Treść zadania
Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w
grę o następujących zasadach:
1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna
liczbę
2. Kartki oddaje się do sędziego
3. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci
4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko
wypisuje wielokrotności liczby którą
zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200
5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują
na tablicy wielokrotności liczb zapisanych
przez siebie na kartce w przedziale od 1 do
200 według następujących zasad:
a. Jeśli danej wielokrotności nie było
na tablicy, to ta liczba jest
dopisywana.
b. Jeśli dana wielokrotność już jest na
tablicy
(powtarza
się
z
wielokrotnością
któregoś
poprzedniego dziecka) to nie jest
dopisywana.
Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na
tablicy.
Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby:
Basia:
15
Adrian:
25
16
5
Cyprian:
10
Sędzia
wylosował
następującą
wypisywania liczb na tablicy:
1. Adrian
2. Basia
3. Cyprian
kolejność
Które z dzieci wygrało grę?
Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by
wygrać tę grę?
Odpowiedź:
Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian.
Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce
jedynki która ma najwięcej wielokrotności w
dowolnym przedziale
6
Zestaw V
Zadanie nr 12
Treść zadania
Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom
ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów
Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli
żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami:
• jeden żołnierz ma kolor czerwony
• dwóch żołnierzy ma kolor granatowy
• trzech żołnierzy ma kolor zielony
Odpowiedź:
Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 60
sposobów.
15
Odpowiedź:
Zadanie nr 5
Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają
boki o długościach 1, 4, 5 oraz 6.
Pole prostokąta wynosi 99.
Treść zadania
1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą
liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000.
2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym
kolorem liczby podzielne przez 10 w
zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby
których nie ma jeszcze na tablicy.
3. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby
podzielne przez 8 w zakresie 10 000.
Również i w tym przypadku nie wypisywał
liczb jeśli były już na tablicy.
Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel?
Odpowiedź:
Nauczyciel wypisał:
166 zielonych liczb
67 czerwonych liczb
67 granatowych liczb
14
7
Zadanie nr 6
Zadanie nr 11
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Treść zadania
Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby
naturalne od 1 do 120 włącznie. Potem Ania,
Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb
według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła
Ania – wszystkie liczby podzielne przez 5, drugi w
kolejności Wojtek – skreślił spośród pozostałych
nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 4,
ostatni Antek – skreślił spośród pozostałych
nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez 3.
Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile
liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek?
Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania
całego procesu skreślania kolejnych liczb.
Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej
wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku
obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym
kolorem kwadratu wynosi 1. Oblicz długości boków
wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz
podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób
rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku
zależności
pomiędzy
długościami
boków
przylegających kwadratów.
Odpowiedź:
Ania skreśliła 24 liczby,
Wojtek skreślił 24 liczb,
Antek skreślił 24 liczby.
Pozostało 48 nieokreślonych liczb.
8
13
Zestaw III
Odpowiedź:
Długości boków kwadratów i całego prostokąta:
3
3
3
3 3 3 33 3
3
3
3
9
9
9
9
9
12
12
21
6
Treść zadania
6
6
6 6
6
3
3 3
3
3
3 3
3
3
3 3
3
6 24
24
6
9
9
9
24
9
18
21
21
Zadanie nr 7
24
6
3
3
3 33 3
3
3
6
12
6
9
9
9
9
6
9
9 9
12
9
9
42
9
9
18
18
18 18
18
21
18
18
Składając 3 jednakowe małe prostopadłościany
możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864
cm2.
Jakie pole powierzchni uzyskamy składając 3 małe
prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan
nie będący sześcianem?
Odpowiedź:
Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi
1248 cm2.
57
Zadanie nr 8
zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego
2008/2009, etap III, SP
Treść zadania
Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można
otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni
całkowitej 252 lub sześcian. Jaka jest objętość
sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania.
Odpowiedź:
Objętość sześcianu wynosi 216.
12
9
Zestaw IV
Zadanie nr 9
Treść zadania
Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich
zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o
niebieskim obwodzie?
Zadanie nr 10
Treść zadania
Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży
prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego
kwadracika wynosi 9, oblicz długości boków
każdego kwadratu jak również długości boków
dużego prostokąta.
9
9
9
Odpowiedź:
Duży niebieski kwadrat składa się ze 121
kwadracików.
10
11