Przykład 1.2.

Przykład 1.2 Kratownica płaska II.
W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć
zmianę odległości węzłów C i D oraz zmianę kąta β . Założono przekroje poprzeczne
krzyżulców (pręty ukośne) równe 2 A i pozostałych prętów jako A. Dla wszystkich prętów
przyjęto jednakowy moduł Younga E.
Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy
I. Wyznaczenie zmiany odległości węzłów C i D.
Zmianę odległości węzłów C i D wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra,
korzystając ze wzoru
9 li
N i N i1 dsi 1 9 N i N i1li
∆lCD = ∑ ∫
= ∑
Ei Ai
E i =1 Ai
i =1 0
(1)
gdzie: ∆lCD - zmiana odległości węzłów C i D,
N i - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
N i1 - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od sił jednostkowych, przyłożonych w
węzłach C i D , których kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego
li
przemieszczenia,
- długość i-tego pręta kratownicy.
1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór
∑M
∑P
∑P
A
= 0 → − P ⋅ l + P ⋅ 2l − 2 P ⋅ 3l + RB ⋅ 2l = 0 → RB =
iy
= 0 → − V A + RB − P + P − 2 P = 0 → V A =
ix
= 0 → HA = 0
1
1
P
2
5
P
2
Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi
zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił N i w kratownicy od obciążenia
zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 4).
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od sił jednostkowych P = 1 , o kierunku prostej C-D,
przyłożonych w węzłach C i D.
Rys. 2. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
∑M
∑P
∑P
1
A
= 0 → RB1 = 0
1
iy
= 0 → V A1 + RB1 = 0 → V A1 = 0
1
ix
= 0 → H 1A = 0
Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyznaczone wartości sił N i1 w kratownicy od obciążeń jednostkowych zestawiono w tablicy 1
(kolumna 5).
Tabela 1. Zestawienie wartości sił N i oraz N i1 i wyrażeń
N i N i1li
oraz ich sumy.
Ai
(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)
2
Pręt
li [m]
Ai [m ]
Ni [N]
N [N]
1
l
A
0
2
l
A
1
- P
2
1
- P
2
3
2l
2A
4
l
A
5
2l
2A
2
P
2
0
-
3 2
P
2
N i N i1li
[MN/m]
Ai
0
1
i
2
2
0
-
2 Pl
4 A
0
0
2
2
-1
3 2 Pl
2 A
2
6
l
A
7
8
2l
l
2A
A
9
l
A
P
2
2
0
- 2 2P
2P
2 Pl
2 A
0
Pl
2
A
0
11 2 Pl
4 A
2
2
0
2P
1
9
N i N i li
=
∑
Ai
i =1
3. Obliczenie zmiany odległości węzłów C i D.
Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
∆lCD =
1 9 N i N i1l i 11 2 Pl
Pl
=
⋅
≅ 3,89
∑
4
E i =1 Ai
EA
EA
Otrzymaliśmy dodatnią wartość zmiany odległości punktów C i D, co oznacza przyrost
długości odcinka CD ; zgodny z założonymi siłami jednostkowymi (Rys. 2).
II. Wyznaczenie zmiany kąta β .
Zmianę kąta β wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru
9 li
∆β = ∑ ∫
i =1 0
N i N i1 dsi 1 9 N i N i1li
= ∑
Ei Ai
E i =1 Ai
(2)
gdzie: ∆β - zmiana kąta β zawartego między prętami 4 i 5,
N i - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,
N i1 - siły normalna w i-tym pręcie kratownicy od momentów jednostkowych,
przyłożonych w postaci par sił do węzłów będących końcami prętów 4 i 5,
li - długość i-tego pręta kratownicy.
Do obliczeń wykorzystamy wielkości sił normalnych od obciążenia zewnętrznego, policzone
w p. I.1 i zestawione w tablicy 1 (kolumna 4).
2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od momentów M = 1 , przyłożonych w postaci par sił do
węzłów będących końcami prętów 4 i 5.
Momenty jednostkowe zastępujemy dwoma parami sił (P1,- P1) i (P2,- P2), przyłożonych
do węzłów będących końcami prętów 4 i 5. Tak więc:
P1 =
3
M 1
=
l4 l
P2 =
M
1
=
l5
2l
Rys. 3. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1
1
1
= 0 → − ⋅l +
⋅
⋅ 2l + RB1 ⋅ 2l = 0 → R B1 = 0
l
2l 2
1
1
1
1
∑ Piy1 = 0 → − V A1 + RB1 − 2l ⋅ 2 + 2l ⋅ 2 = 0 → V A1 = 0
1 1
1
1
1
1
∑ Pix1 = 0 → H 1A + l − l + 2l ⋅ 2 − 2l ⋅ 2 = 0 → H 1A = 0
∑M
1
A
Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyznaczone wartości sił N i1 w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w tablicy 2
(kolumna 5).
Tabela 2. Zestawienie wartości sił N i oraz N i1 i wyrażeń
N i N i1li
oraz ich sumy.
Ai
(znak „ - ” oznacza ściskanie pręta)
2
Pręt
li [m]
Ai [m ]
Ni [N]
N [N]
1
l
A
0
2
l
A
3
2l
2A
4
l
A
1
- P
2
1
- P
2
2
P
2
0
N i N i1li
[MN/m]
Ai
0
1
i
1
l
0
-
0
P
2A
0
0
4
5
6
7
8
9
2l
l
2l
l
l
2A
A
2A
A
A
3 2
P
2
P
- 2 2P
2P
2P
-
-
1
3P
2A
0
0
0
0
P
A
2l
0
0
0
0
1
9
N i N i li
=
∑
Ai
i =1
2. Obliczenie zmiany kąta β .
Wykorzystując wzór (2) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
P
1 9 N i N i1l i
∆β = ∑
=
E i =1 Ai
EA
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, przyrost kąta β (Rys. 4).
Rys. 4. Zmiana kąta β
5