W x

Metody Numeryczne
METODY
NUMERYCZNE
dr inż. Mirosław Dziewoński
e-mail: [email protected]
Pok. 151
Wykład 2/1
Metody Numeryczne
Aproksymacja funkcji
jednej zmiennej
Wykład 2/2
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Dana jest funkcja jednej zmiennej
y  f ( x)
gdzie
x  [ a, b]
Funkcja ta podana jest w postaci wzoru analitycznego lub w postaci
zbioru punktów
f ( x1 )  y1 , f ( x2 )  y2 , ... , f ( xn )  yn
Celem aproksymacji jest dobór takiej funkcji
F ( x, p0 , ... , pk ), x [a, b]
aby w sensie przyjętego kryterium funkcja ta możliwie dokładnie
odtwarzała przebieg funkcji f (x).
Wykład 2/3
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Jeżeli funkcja dana jest w postaci dyskretnej (zbioru punktów) to
aproksymację nazywamy punktową, a jeżeli w postaci wzoru
analitycznego, to mówimy o aproksymacji integralnej.
Wykład 2/4
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje
się tak, aby zminimalizować różnice pomiędzy wartościami danej funkcji
f (x) w punktach (xi, yi), i = 1, 2 ,…, n a wartościami funkcji
F (x, p0, …, pk ) w tych samych punktach.
Wprowadzamy pojęcie odchyłki:
 i  F ( xi , p0 , ... , pk )  yi  min , i  1, 2,..., n
Należy tak dobrać parametry p0, …, pk wzoru empirycznego, aby
spełnione było kryterium minimalizacji odchyłki.
Wykład 2/5
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Wykład 2/6
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
W literaturze można spotkać następujące kryteria minimalizacji
odchyłek
• metoda wybranych punktów,
• metoda średnich,
• metoda sumowania bezwzględnych wartości,
• metoda najmniejszych kwadratów.
Wykład 2/7
Metoda najmniejszych kwadratów
Kryterium tej metody polega na takim doborze współczynników funkcji
F (x, p0, …, pk ), aby
n
n
S ( p0 , ... , pk )       F ( xi , p0 , ... , pk )  yi   min
i 1
Wykład 2/8
2
i
i 1
2
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Rozpatrujemy zbiór punktów
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ..., ( xn , yn )
którego aproksymacją ma być funkcja liniowa
y  p0  p1 x
Zgodnie z kryterium metody najmniejszych kwadratów
n
S ( p0 , p1 )    p0  p1 xi  yi   min
i 1
Wykład 2/9
2
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji dwóch
zmiennych jest zerowanie się odpowiednich pochodnych cząstkowych:
 S ( p0 , p1 )
0
 p

0

 S ( p0 , p1 )  0
 p1
Otrzymujemy zatem następujący układ równań:
n
 S
 p  2    p0  p1 xi  yi   0
i 1
 0

n

S

 2    p0  p1 xi  yi   xi  0
 p1
i 1
Wykład 2/10
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Układ ten można zapisać w następującej postaci:
n
n

 p0 n  p1  xi   yi

i 1
i 1
 n
n
n
2
p
x

p
x
0 i
1  i   xi yi
 i 1
i 1
i 1
lub macierzowo:

 n

 n
  xi
 i 1
Wykład 2/11

 n

xi 
yi 



 p0 
i 1
      i 1

n
n


2   p1 
xi 

  xi yi 
i 1

 i 1

n
Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej
Rozwiązując układ równań dowolną metodą można obliczyć parametry
p0 i p1 np.:
X  P  Y  P  X 1  Y
Wykład 2/12
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Przykład 1:
Dla zbioru punktów
Pi ( xi , yi ), i  1,2, ... , n
dobrać wzór aproksymujący w postaci:
y  p0  p1 x  p2 x 2
Wykład 2/13
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów
2
S ( p0 , p1 , p2 )    p0  p1 xi  p2 xi2  yi  = min
n
i 1
możemy zapisać następujący układ równań:
n
 S
2

2

p

p
x

p
x


0
1 i
2 i  yi  1  0
 p
i 1
 0
n
 S
 2    p0  p1 xi  p2 xi2  yi   xi  0

i 1
 p1
n
 S
 2    p0  p1 xi  p2 xi2  yi   xi2  0

i 1
 p2
Wykład 2/14
Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej
Zapis macierzowy:

 n

 n
  xi
 i 1
 n 2
  xi
 i 1
n
x
i 1
i
n
2
x
i
i 1
n
3
x
i
i 1
n



2
xi 

  yi 
i 1
  p0   i 1

n
n
3 
 x y 
x

p

i   1
 i i 
i 1
  p2   i 1

n
 n 2 
4
xi 

  xi yi 
i 1

 i 1

n
Z powyższego układu równań wyznacza się
Wykład 2/15
p0, p1, p2.
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Przykład 2:
Dla zbioru punktów
Pi ( xi , yi ), i  1,2, ... , n
dobrać wzór aproksymujący w postaci:
1
y  b0  b1 2  b2 x 2
x
Wykład 2/16
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów
2


1
2
S (b0 , b1 , b2 )    b0  b1 2  b2 xi  yi  = min
xi
i 1 

n
zapisujemy następujący układ równań:
n
 S


1
2
 2    b0  b1 2  b2 xi  yi  1  0

xi
i 1 

 b0
 S
n

 1
1

2
 2    b0  b1 2  b2 xi  yi   2  0

xi
i 1 
 xi
 b1
 S
n

 2
1
2

 2    b0  b1 2  b2 xi  yi   xi  0
xi
 b2
i 1 

Wykład 2/17
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
Zapis macierzowy:

 n

 n 1
 x 2
 i 1 i
 n 2
  xi
 i 1
n
1

2
i 1 xi
n
1

4
i 1 xi
n

 n

x 

  yi 
i 1
 b0   i 1

    n yi 
n   b1    2 
 
 b2   i 1 xi 
n

 n 2 
4
xi 
  xi yi 

i 1

 i 1

n
2
i
Z powyższego układu równań wyznacza się
Wykład 2/18
b0, b1, b2.
Metody Numeryczne
Interpolacja funkcji
jednej zmiennej
Wykład 2/19
Interpolacja - definicja
Dana jest funkcja:
y  f ( x) , x  x0 , xn 
dla której znamy tablicę jej wartości
f ( x0 )  y0 , f ( x1 )  y1 , ..., f ( xn )  yn
Wartości tworzące n +1 par punktów
( x0 , y0 ),( x1 , y1 ), ...,( xn , yn )
zwane są węzłami interpolacji.
Wykład 2/20
Interpolacja - definicja
Celem interpolacji jest wyznaczenie takiej funkcji W(x), aby:
W ( x0 )  y0 , W ( x1 )  y1 ,..., W ( xn )  yn
Funkcja ta nazywana jest wielomianem interpolacyjnym i węzłach
interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f (x).
Wykład 2/21
Interpolacja - definicja
Wielomian interpolacyjny definiuje się jako kombinację liniową
n + 1 funkcji bazowych i współczynników ai
n
W ( x)   ai i ( x)
i 0
ai – współczynniki wielomianu interpolacyjnego
i(x) – przyjęte funkcje bazowe
Wykład 2/22
Interpolacja - definicja
Definiując:
Φ  0 ( x), 1 ( x), 2 ( x),..., n ( x)
 0 ( x0 ) 1 ( x0 )
 (x )  (x )
1 1
X 0 1
...
 ...

0 ( xn ) 1 ( xn )
... n ( x0 ) 
... n ( x1 ) 

...
... 

... n ( xn ) 
 a0 
a 
A   1
 
 
 an 
wtedy:
XA  Y
W ( x)    X1Y
Wykład 2/23
 y0 
y 
Y   1
 
 
 yn 
Interpolacja naturalna
Funkcje bazowe:
0 ( x)  x0  1, 1 ( x)  x, 2 ( x)  x 2 , ..., n ( x)  x n
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n
Wykład 2/24
Interpolacja naturalna
Opierając się na warunku koniecznym istnienia interpolacji:
a0  a1 x0  a2 x02  ...  an x0n  y0
a0  a1 x1  a2 x12  ...  an x1n  y1
a0  a1 xn  a2 xn2  ...  an xnn  yn
można zapisać, że
AX  Y
Wykład 2/25
1

1

X
...

1
 a0 
 y0 
x0 ... x0n 

a 
y 
x1 ... x1n 
A   1 Y   1
 
 
... ... ... 
 
 
n
xn ... xn 
 an 
 yn 
Interpolacja naturalna
Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
•
macierze układu równań, z których wyznacza się
współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji
wielomianowej
•
wielomian interpolacyjny
Węzły:
(1,3)
(2,5)
(4,7)
( x0 , y0 ) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
Wykład 2/26
Interpolacja naturalna
 x00
 0
 x1
 x20

 10

0
(

2)

 40

x01
x11
x12
11
(2)1
41
x02   a0   y0 
1 
x1   a1    y1 
   
2
x2   a2   y2 
12   a0   3 

(2) 2    a1   5 
   
2
4   a2  7 
1 1 1   a0   3 
1 2 4    a    5 

  1  
1 4 16   a2  7 
Wykład 2/27
Interpolacja naturalna
A  X1  Y
1
1
a0  3, a1   , a2 
3
3
W ( x)  a0  a1 x  a2 x 2
1
1 2
W ( x)  3  x  x
3
3
Wykład 2/28
Interpolacja Lagrange’a
Funkcje bazowe:
0 ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )......................( x  xn )
1 ( x)  ( x  x0 )( x  x2 )( x  x3 )......................( x  xn )
....................................................................................
i ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xi 1 )( x  xi 1 )...( x  xn )
...................................................................................
n ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )....................( x  xn1 )
Dla każdej i(x), i = 0, 1, ..., n brakuje składnika (x - xi) !!!
Wykład 2/29
Interpolacja Lagrange’a
Postać wielomianu interpolacyjnego:
W ( x)  a0 0 ( x)  a11 ( x)  ...  an n ( x) 
 a0 ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn ) 
 a1 ( x  x0 )( x  x2 )...( x  xn )  ... 
 an ( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn1 )
Wykład 2/30
Interpolacja Lagrange’a
Macierz X:
0 ( x0 )
0

X  0


0
0
0
1 ( x1 ) 0
0
2 ( x2 )
0
0


0

0



n ( xn ) 
0
Dla punktu xi wszystkie funkcje bazowe oprócz i(x) zerują się,
bo występuje w nich składnik (x - xi)
Wykład 2/31
Interpolacja Lagrange’a
Ponieważ macierz X ma tylko główną przekątną niezerową to:
y0
a0 
( x0  x1 )( x0  x2 )
y0

( x0  xn ) 0 ( x0 )
y1
a1 
( x1  x0 )( x1  x2 )
y1

( x1  xn ) 1 ( x1 )
an 
Wykład 2/32
yn
( xn  x1 )( xn  x2 )
( xn  xn1 )

yn
n ( xn )
Interpolacja Lagrange’a
Przykład
Dla podanych węzłów zapisz:
•
macierze układu równań, z których wyznacza się
współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji
wielomianowej
•
wielomian interpolacyjny
Węzły:
(2,3)
(0,5)
(2, 3)
( x0 , y0 ) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
Wykład 2/33
Interpolacja Lagrange’a
(2,3)
(0,5)
(2, 3)
( x0 , y0 ) ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 )
( x  x0 )( x  x2 )
( x  x0 )( x  x1 )
( x  x1 )( x  x2 )
W ( x)  y0
 y1
 y2
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x0  x2 )
( x2  x0 )( x2  x1 )
x  (2) ( x  2)
x  (2)  ( x  0)


( x  0)( x  2)
W ( x)  3
5
 (3)
(2  0)(2  2)
0  (2) (0  2)
 x  (2)  (2  0)
( x  0)( x  2)
( x  2)( x  2)
( x  2)( x  0)
W ( x)  3
5
3
(2  0)(2  2)
(0  2)(0  2)
(2  2)(2  0)
Wykład 2/34