Zadania z dynamiki∗

Zadania z dynamiki∗
Maciej J. Mrowiński
11 marca 2010
??
Zadanie DYN1
Na ciało działa siła F (t ) = f0 cos ωt (przy czym f0 i ω to stałe). W chwili pocz˛
atkowej
f0
ciało miało pr˛edkość v(0) = 0 i znajdowało si˛e w punkcie x(0) = − mω2 . Wyznacz
położenie i pr˛edkość ciała w funkcji czasu.
Odpowiedź: v(t ) =
??
f0
ma
(1 − e −a t ), x(t ) =
f0
t
ma
+
f0
ma 2
(e −a t − 1), vgr =
f0
ma
Zadanie DYN3
W chwili t = 0 na b˛ed˛
ac˛
a w spoczynku cz˛
astk˛e o masie m zacz˛eła działać siła F~ =
~a t (τ − t ), gdzie ~a i τ to stałe. Jeżeli siła działała na cz˛
astk˛e przez czas τ, to jaki p˛ed
uzyskała w tym czasie cz˛
astka i jak˛
a drog˛e przebyła?
Odpowiedź: ~p =
??
f
sin ωt , x(t ) = − mω0 2 cos ωt
Zadanie DYN2
Na ciało działa siła F (t ) = f0 e −a t (przy czym f0 i a to stałe). W chwili pocz˛
atkowej ciało miało pr˛edkość v(0) = 0 i znajdowało si˛e w punkcie x(0) = 0. Wyznacz położenie
i pr˛edkość ciała w funkcji czasu. Do jakiej pr˛edkości vgr ciało b˛edzie przyspieszane
(jaka b˛edzie jego pr˛edkość w granicy dla nieskończonego czasu)?
Odpowiedź: v(t ) =
??
f0
mω
~a τ 3
,
6
s=
|a|τ 4
12m
Zadanie DYN4
p
Na poruszaj˛
ace si˛e ciało działa siła oporu o wartości F (t ) = −b v, gdzie v jest
pr˛edkości˛
a ciała, b - dodatni˛
a stał˛
a. Zakładaj˛
ac, że w chwili t = 0 pr˛edkość ciała
wynosiła v0 wyznacz czas τ po jakim ciało zatrzyma si˛e i drog˛e sτ jak˛
a przeb˛edzie
do chwili zatrzymania.
Odpowiedź: τ =
p
2m v0
, sτ
b
3
=
2mv02
3b
∗ Skompilowane z wielu źródeł. Tylko do użytku na zaj˛
eciach. Do rozwi˛
azania zadań oznaczonych
symbolem ? potrzebna jest jedynie wiedza matematyczna z liceum. Zadania z ?? wymagaj˛
a zastosowania
pochodnych/całek. Zadania z ??? wykraczaj˛
a poza program.
1
??
Zadanie DYN5
Samochód o masie m hamowany jest sił˛
a oporu F = −k v 2 . Jak˛
a drog˛e przeb˛edzie
samochód, zanim jego pr˛edkość zmaleje do połowy?
Odpowiedź: s =
??
m
k
ln 2
Zadanie DYN6
Pocisk przebił na wylot desk˛e o grubości h zmniejszaj˛
ac przy tym swoj˛
a pr˛edkość
z v0 do v. Oblicz czas przelotu pocisku przez desk˛e, jeżeli siła oporu z jak˛
a deska
działała na pocisk była proporcjonalna do kwadratu pr˛edkości.
Odpowiedź: τ =
h(v0 −v)
v
v0 v ln v0
??
Zadanie DYN7
Spadochroniarz wyskakuje z lec˛
acego idealnie poziomo na dużej wysokości samolotu. Jak b˛edzie zależała od czasu jego składowa pr˛edkość prostopadła do podłoża, jeżeli
działaj˛
ace na niego siły oporu powietrza s˛
a proporcjonalne do pr˛edkości (współczynnik proporcjonalności wynosi β > 0) i odwrotnie do niej skierowane? Czy pr˛edkość
spadochroniarza b˛edzie ci˛
agle rosn˛
ać? Jeżeli nie, to jak˛
a graniczn˛
a wartość osi˛
agnie?
Jak b˛edzie zależeć od czasu przyspieszenie spadochroniarza? Przyjmij, że pocz˛
atkowa pr˛edkość spadochroniarza wynosiła v(0) = 0.
b
b
mg
mg
Odpowiedź: v(t ) = b e − m t − 1 , vgr = b , a(t ) = − g e − m t
??
Zadanie DYN8
Współrz˛edne cz˛
astki na płaszczyźnie X Y wynosz˛
a odpowiednio x = a sin ωt i y =
b cos ωt , gdzie a, b i ω to stałe. Znajdź sił˛e działaj˛
ac˛
a na cz˛
astk˛e.
Odpowiedź: F~ = −mω 2~r
?
Zadanie DYN9
Na gładkiej powierzchni położono dwa stykaj˛
ace si˛e ze sob˛
a bokami ciała o masach
m1 i m2 . Na pierwsze z ciał (patrz rysunek) zacz˛eto działać sił˛
a równ˛
a co do wartości
F . Jakie b˛edzie przyspieszenie układu? Z jak˛
a sił˛
a b˛ed˛
a na siebie działały ciała?
Odpowiedź: a =
F
,
m1 +m2
R=
m2
m1 +m2
F
2
?
Zadanie DYN10
Ciała o masie m1 i m2 umieszczono na równi pochyłej nachylonej pod k˛
atem α.
Wyznacz a) sił˛e, z jak˛
a ciała działaj˛
a na siebie podczas ruchu i b) minimalny k˛
at nachylenia równi, przy którym ciała zaczn˛
a si˛e zsuwać. Współczynniki tarcia ciał o
powierzchnie równi wynosz˛
a odpowiednio f1 i f2 .
m m
Odpowiedź: R = ( f1 − f2 ) m 1+m2 g cos α, b) tg αmin =
1
??
2
m1 f1 +m2 f2
m1 +m2
Zadanie DYN11
Ciało o masie m jest wci˛
agane przy użyciu sznurka po równi pochyłej nachylonej
pod k˛
atem α do podłoża. Pod jakim k˛
atem w stosunku do powierzchni równi należy nachylić sznurek, aby jego naci˛
ag był jak najmniejszy? Ile b˛edzie wtedy wynosił
naci˛
ag? Zakładamy, że ciało porusza si˛e ruchem jednostajnym a współczynnik tarcia
wynosi f .
Odpowiedź: tg β = f , T =
??
m g (sin α+ f cos α)
p
1+ f 2
Zadanie DYN12
Na ciało o masie m w chwili t = 0 zacz˛eto działać sił˛
a F = a t , gdzie a to stała wi˛eksza
od zera. Siła przyłożona została pod k˛
atem α do poziomu. Jak˛
a pr˛edkość uzyska ciało
do chwili oderwania si˛e od podłoża i jak˛
a drog˛e w tym czasie przeb˛edzie?
Odpowiedź: v =
?
m g 2 cos α
,
2a sin2 α
s=
m 2 g 3 cos α
6a 2 sin3 α
Zadanie DYN13
Jak˛
a pr˛edkość pocz˛
atkow˛
a v0 trzeba nadać ciału, aby wjechało na szczyt równi o
długości l i k˛
acie nachylenia α, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f . Oblicz czas τ
trwania ruchu.
q
p
2l
Odpowiedź: v0 = 2g l (sin α + f cos α), τ = g (sin α+
f cos α)
3
?
Zadanie DYN14
Ciało znajdowało si˛e u podstawy równi pochyłej nachylonej pod k˛
atem α do podłoża.
W chwili pocz˛
atkowej t = 0 nadana została mu pewna (nieznana nam) pr˛edkość
pocz˛
atkowa i na skutek tego ciało zacz˛eło poruszać si˛e po równi. Jaka jest wartość
współczynnika tarcia, jeżeli czas ruchu ciała w gór˛e równi jest k razy mniejszy od
czasu zjeżdżania z równi?
Odpowiedź: f =
?
k 2 −1
k 2 +1
tg α
Zadanie DYN15
Znajdź przyspieszenia ciał A i B jeżeli w układzie nie wyst˛epuje tarcie a stosunek
masy ciała B do A wynosi β. K˛
at nachylenia powierzchni ciała B jest dany i wynosi
α.
Odpowiedź: aA =
?
g
,
1+β ctg2 α
aB =
g
tg α+β ctg α
Zadanie DYN16
Dwa ciała, o masach m1 i m2 , poł˛
aczono link˛
a i przerzucono przez bloczek (patrz
rysunek - jest to tak zwana maszyna Atwooda). Jakie b˛edzie przyspieszenie masy 1?
Jakie b˛edzie napi˛ecie linki?
Odpowiedź: a1 =
m2 −m1
m2 +m1
g, T =
2m1 m2
m1 +m2
g
4
?
Zadanie DYN17
Malarz o masie M siedzi na "krześle bosmańskim", wisz˛
acym przy ścianie wysokiego budynku (patrz rysunek). Pragn˛
ac szybko podjechać do góry, malarz ci˛
agnie za
zwisaj˛
acy koniec liny z tak˛
a sił˛
a, że jego nacisk na krzesło zmniejsza si˛e do FN . Masa krzesła wynosi m. Z jakim przyspieszeniem a porusza si˛e malarz z krzesłem do
góry? Z jak˛
a sił˛
a F ci˛
agnie malarz za lin˛e?
Odpowiedź: a =
?
2FN −(M −m)g
,
M −m
M +m
F
M −m N
Zadanie DYN18
Na linie przerzuconej przez nieruchomy blok i przyczepionej do ci˛eżarka o masie
m znajduje si˛e małpa o masie M (na drugim końcu liny). Z jakim przyspieszeniem
b˛edzie poruszać si˛e ci˛eżarek w przypadku, kiedy a) małpa nie porusza si˛e wzgl˛edem
liny, b) małpa wspina si˛e ze stał˛
a pr˛edkości˛
a v wzgl˛edem liny, c) małpa wspina si˛e po
linie ze stałym przyspieszeniem a0 wzgl˛edem liny?
Odpowiedź: a) a =
?
F=
M −m
M +m
g , b) a =
M −m
M +m
g , c) a =
M (g +a0 )−m g
M +m
g
Zadanie DYN19
Małpa o masie M wisi na linie przerzuconej przez nieważki blok i obci˛
ażonej mas˛
a m.
Jakie jest przyspieszenie a masy m, jeśli małpa przebiera łapami tak, że stale znajduje
si˛e na tej samej wysokości? Przyj˛
ać M > m i założyć, że małpa działa na lin˛e stał˛
a sił˛
a.
Š
€
Odpowiedź: a = M
−1 g
m
5
?
Zadanie DYN20
Na końcach nieważkiej nici, przerzuconej przez nieważki bloczek, zawieszono ci˛eżarki o masach m1 i m2 . Lżejszy z nich znajduje si˛e o l metrów niżej od ci˛eższego. Po
jakim czasie ci˛eżarki znajd˛
a si˛e na tej samej wysokości, jeśli puścimy je swobodnie?
Ç
l (m +m )
Odpowiedź: τ = g (m2 −m1 )
2
?
1
Zadanie DYN21
Na stole przymocowano jedna za drug˛
a masy m1 , m2 i m3 . Znajdź przyspieszenie
układu i napr˛eżenia wszystkich nici.
Odpowiedź: a =
?
Mg
, F1
M +m1 +m2 +m3
=
M (m1 +m2 +m3 )g
, F2
M +m1 +m2 +m3
=
M (m2 +m3 )g
, F3
M +m1 +m2 +m3
=
M m3 g
M +m1 +m2 +m3
Zadanie DYN22
Dla układu takiego, jak na rysunku, wyznacz przyspieszenie zwisaj˛
acego ci˛eżarka,
jeżeli ci˛eżarki maj˛
a masy m0 , m1 i m2 , a współczynnik tarcia pomi˛edzy ci˛eżarkami a
podłożem wynosi f . Wyznacz również napi˛ecie linki ł˛
acz˛
acej ci˛eżarki znajduj˛
ace si˛e
na podłożu.
Odpowiedź: a =
?
m0 − f (m1 +m2 )
m0 +m1 +m2
g,T =
(1+ f )m0 m2 g
m0 +m1 +m2
Zadanie DYN23
Dwa ciała o masach m1 i m2 powi˛
azanie nierozci˛
agliw˛
a nici˛
a umieszczono na równi pochyłej. Wyznacz przyspieszenie ciał oraz naci˛
ag nici. Współczynnik tarcia pomi˛edzy masami a podłożem wynosi f , k˛
aty pomi˛edzy równi˛
a a podłożem wynosz˛
a
odpowiednio α i β.
Odpowiedź: a =
m2 (sin β− f c o s β)−m1 (s i nα+ f c o s α)
m1 +m2
6
g , FN =
m1 m2 g [ f (cos α−cos β)+sin α+sin β]
m1 +m2
?
Zadanie DYN24
Jak˛
a sił˛
a należy działać na sznur, aby ciało o masie M pozostawało w spoczynku?
Odpowiedź: F = 12 M g
?
Zadanie DYN25
Dwa ciała, o masach m1 i m2 , poł˛
aczono ze sob˛
a przy pomocy systemu bloczków
(patrz rysunek). Jakie b˛edzie przyspieszenie masy 2?
Odpowiedź: a2 =
?
m2
m2 +4m1
g
Zadanie DYN26
Ci˛eżar wózka umieszczonego na równi pochyłej (o k˛
acie nachylenia Θ) zrównoważony jest ci˛eżarkiem w. Tarcie wszystkich cz˛eści pomijamy. Jaki jest ci˛eżar wózka
W?
Odpowiedź: W =
4w
sin Θ
7
?
Zadanie DYN27
Współczynnik tarcia pomi˛edzy klockiem o masie m a równi˛
a o masie M wynosi
f . Znajdź wartość przyspieszenia klocka. Tarcie pomi˛edzy podłożem a równi˛
a nie
wyst˛epuje.
p
g 2
+2
Odpowiedź: a =
?
M
+f
m
Zadanie DYN28
W układzie pokazanym na rysunku wszystkie powierzchnie s˛
a gładkie. W pewnej
chwili masie m, pocz˛
atkowo spoczywaj˛
acej w odległości d od podstawy utworzonej
przez mas˛e M , pozwalamy swobodnie si˛e poruszać. Po jakim czasie od chwili uwolnienia masa m uderzy w t˛e podstaw˛e?
Odpowiedź: t =
?
d (5m+M )
2m g
Zadanie DYN29
Jakie b˛edzie przyspieszenie ciała 2, jeżeli jego masa jest η razy wi˛eksza od masy ciała
1? K˛
at nachylenia równi wynosi α, tarcia nie uwzgl˛edniamy.
Odpowiedź: a2 =
2 g (2η−sin α)
4η+1
8
?
Zadanie DYN30
Masa ciała 1 jest η razy wi˛eksza od masy ciała 2. W chwili t = 0 ciało 1 znajduje si˛e na
wysokości h a ciało 2 styka si˛e z podłożem. Na jak˛
a maksymaln˛
a wysokość wzniesie
si˛e ciało 2?
Odpowiedź: H =
??
6hη
4+η
Zadanie DYN31
Małe ciało A ześlizguje si˛e po sferze o promieniu R. Znajdź k˛
at, przy którym ciało
oderwie si˛e od powierzchni i pr˛edkość, jak˛
a do tego czasu osi˛
agnie.
Æ
Odpowiedź: θ = cos−1 23 , v = 23 R g
???
Zadanie DYN32
Wyznacz wartość całkowitej siły grawitacyjnej, z jak˛
a na ciało o masie m działa jednorodny pr˛et o masie M i długości 2a. Załóż, że ciało m leży na osi dziel˛
acej pr˛et na
dwie równe połowy, w odległości b od niego.
G mM
Odpowiedź: F = p
2
b
???
a +b 2
Zadanie DYN33
Wyznacz wartość całkowitej siły grawitacyjnej, z jak˛
a na ciało o masie m działa jednorodny dysk o masie M i promieniu R. Załóż, że ciało m leży na przechodz˛
acej
przez środek dysku osi prostopadłej do jego powierzchni.
2mM G
b
Odpowiedź: F = R2
1− p 2 2
b +R
9